Номер 6, страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 31. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 6, страница 196.

6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.

6.

Чтобы сравнить любую неправильную дробь с любой правильной дробью, необходимо рассмотреть их определения и свойства относительно числа 1.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению, $a < b$. Результат деления меньшего положительного числа на большее всегда меньше 1. Следовательно, любая правильная дробь всегда меньше 1.

Например: $\frac{3}{5} < 1$, $\frac{12}{17} < 1$.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Пусть дана неправильная дробь $\frac{c}{d}$, где $c$ и $d$ — натуральные числа. По определению, $c \ge d$. Результат деления числа на меньшее или равное ему положительное число всегда больше или равен 1. Следовательно, любая неправильная дробь всегда больше или равна 1.

Например: $\frac{8}{5} > 1$, $\frac{19}{10} > 1$, $\frac{7}{7} = 1$.

Теперь, основываясь на этих свойствах, можно провести сравнение. Мы имеем два факта:

1. Значение любой правильной дроби меньше 1.

2. Значение любой неправильной дроби больше или равно 1.

Так как любое число, которое меньше 1, очевидно, меньше любого числа, которое равно 1 или больше 1, мы можем сделать однозначный вывод. Любая правильная дробь всегда меньше любой неправильной дроби.

Это можно записать в виде общего неравенства. Для любой правильной дроби $\frac{a}{b}$ и любой неправильной дроби $\frac{c}{d}$ выполняется следующее соотношение:

$\frac{a}{b} < 1 \le \frac{c}{d}$

Из этого следует, что $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.

Ответ: Любая неправильная дробь всегда больше любой правильной дроби.