Номер 823, страница 183 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 29. Объём прямоугольного параллелепипеда. Упражнения - номер 823, страница 183.

Условие.

823. В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см (рис. 201). Найдите объём оставшейся части.

Рис. 201

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи необходимо найти первоначальный объем куба, затем определить объем вырезанной части и вычесть второй из первого.

1. Нахождение объема исходного куба

Объем куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$. В данном случае ребро куба $a = 3$ см.

$V_{куба} = 3^3 = 27$ см³.

2. Нахождение объема вырезанной части

В кубе сделано три сквозных отверстия. Каждое отверстие представляет собой призму с квадратным основанием $1 \times 1$ см и длиной $3$ см. Если бы эти призмы не пересекались, объем вырезанной части был бы равен $3 \times (1 \times 1 \times 3) = 9$ см³. Однако отверстия пересекаются в центре куба, и объем их общей части учитывается несколько раз. Чтобы правильно рассчитать объем удаленной части, можно использовать метод декомпозиции на единичные кубики.

Представим, что большой куб состоит из $3 \times 3 \times 3 = 27$ маленьких кубиков с ребром 1 см. Объем каждого маленького кубика равен $1$ см³.

Теперь посчитаем, сколько маленьких кубиков было удалено:

• Первое отверстие (например, просверленное сверху вниз) удаляет центральный столбец, состоящий из 3-х маленьких кубиков.
• Второе отверстие (спереди назад) удаляет центральный ряд из 3-х кубиков. Но один кубик из этого ряда — центральный — уже был удален первым отверстием. Следовательно, второе отверстие удаляет еще 2 новых кубика.
• Третье отверстие (слева направо) также удаляет центральный ряд из 3-х кубиков. Центральный кубик уже удален. Два других кубика в этом ряду также являются новыми, так как они не лежали на пути первых двух отверстий (за исключением центрального). Таким образом, третье отверстие удаляет еще 2 новых кубика.

Общее количество удаленных кубиков составляет $3 + 2 + 2 = 7$.

Следовательно, объем вырезанной части ($V_{удал}$) равен:

$V_{удал} = 7 \times 1 \text{ см³} = 7$ см³.

3. Нахождение объема оставшейся части

Объем оставшейся части ($V_{ост}$) равен разности объема исходного куба и объема вырезанной части:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{удал}$

$V_{ост} = 27 \text{ см³} - 7 \text{ см³} = 20$ см³.

Ответ: 20 см³.