Номер 680, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 24. Признаки делимости на 9 и на 3. Упражнения - номер 680, страница 153.

Условие.

680. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:

1) 1275; 3) 25 718; 5) 10 203 040;

2) 3333; 4) 987 652; 6) 19 191 919 191?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Чтобы найти наименьшее число, которое нужно прибавить к исходному числу для получения числа, кратного 9, нужно найти сумму цифр исходного числа, определить, сколько не хватает до ближайшего числа, кратного 9, и это и будет искомое число.

1) 1275;

Найдем сумму цифр числа 1275: $S = 1 + 2 + 7 + 5 = 15$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $15 \div 9 = 1$ (остаток $6$).

Чтобы сумма цифр стала кратной 9, она должна быть равна ближайшему большему числу, делящемуся на 9, то есть 18. Следовательно, к исходному числу нужно прибавить $18 - 15 = 3$. Или, что то же самое, $9$ минус остаток: $9 - 6 = 3$.

Проверка: $1275 + 3 = 1278$. Сумма цифр числа 1278 равна $1 + 2 + 7 + 8 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 3

2) 3333;

Найдем сумму цифр числа 3333: $S = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $12 \div 9 = 1$ (остаток $3$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 3 = 6$.

Проверка: $3333 + 6 = 3339$. Сумма цифр числа 3339 равна $3 + 3 + 3 + 9 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 6

3) 25 718;

Найдем сумму цифр числа 25 718: $S = 2 + 5 + 7 + 1 + 8 = 23$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $23 \div 9 = 2$ (остаток $5$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 5 = 4$.

Проверка: $25 718 + 4 = 25 722$. Сумма цифр числа 25 722 равна $2 + 5 + 7 + 2 + 2 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 4

4) 987 652;

Найдем сумму цифр числа 987 652: $S = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 2 = 37$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $37 \div 9 = 4$ (остаток $1$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 1 = 8$.

Проверка: $987 652 + 8 = 987 660$. Сумма цифр числа 987 660 равна $9 + 8 + 7 + 6 + 6 + 0 = 36$, а 36 делится на 9.

Ответ: 8

5) 10 203 040;

Найдем сумму цифр числа 10 203 040: $S = 1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 0 + 4 + 0 = 10$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $10 \div 9 = 1$ (остаток $1$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 1 = 8$.

Проверка: $10 203 040 + 8 = 10 203 048$. Сумма цифр числа 10 203 048 равна $1 + 0 + 2 + 0 + 3 + 0 + 4 + 8 = 18$, а 18 делится на 9.

Ответ: 8

6) 19 191 919 191;

Найдем сумму цифр числа 19 191 919 191. В этом числе 6 единиц и 5 девяток.

Сумма цифр: $S = 6 \cdot 1 + 5 \cdot 9 = 6 + 45 = 51$.

Найдем остаток от деления суммы цифр на 9: $51 \div 9 = 5$ (остаток $6$).

Наименьшее число, которое надо прибавить, равно $9 - 6 = 3$.

Проверка: Сумма цифр нового числа будет $51 + 3 = 54$, а 54 делится на 9 ($54 = 6 \cdot 9$).

Ответ: 3