Номер 678, страница 153 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 24. Признаки делимости на 9 и на 3. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 678, страница 153.

678. Запишите наименьшее:

1) четырёхзначное число, кратное 3;

2) пятизначное число, кратное 9;

3) шестизначное число, кратное 3 и 2;

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9.

Цифры в записи числа не могут повторяться.

1) четырёхзначное число, кратное 3

Чтобы число было наименьшим, оно должно начинаться с наименьших возможных цифр. Для четырёхзначного числа это 1, 0, 2 и так далее, при условии, что цифры не повторяются. Возьмём первые три наименьшие цифры: 1, 0, 2. Их сумма равна $1 + 0 + 2 = 3$. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Пусть четвёртая цифра будет $x$. Тогда сумма всех цифр $S = 3 + x$. Чтобы $S$ было кратно 3, $x$ также должно быть кратно 3. Возможные значения для $x$: 0, 3, 6, 9. Цифры 0 и 2 уже использованы. Следующая наименьшая подходящая цифра — 3. Итак, мы имеем набор цифр {1, 0, 2, 3}. Чтобы составить из них наименьшее четырёхзначное число, расположим их в порядке возрастания, поставив 1 на первое место: 1023. Проверка: цифры не повторяются, сумма $1+0+2+3=6$, кратна 3.

Ответ: 1023.

2) пятизначное число, кратное 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Чтобы число было наименьшим, будем подбирать цифры слева направо, используя наименьшие возможные. Начнём с 102... Пусть четвёртая цифра $d$, а пятая $e$. Пробуем наименьшие возможные старшие разряды: 1023... Сумма цифр $1+0+2+3=6$. Пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы сумма $6+e$ делилась на 9. Это возможно, если $e=3$ (но цифра 3 уже используется) или $e=12$ (не является цифрой). Этот вариант не подходит. Пробуем следующий префикс: 1024... Сумма $1+0+2+4=7$. Для делимости на 9 пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы $7+e$ делилось на 9. Это возможно, если $e=2$ (уже используется) или $e=11$ (не цифра). Пробуем префикс: 1026... Сумма $1+0+2+6=9$. Для делимости на 9 пятая цифра $e$ должна быть такой, чтобы $9+e$ делилось на 9. Это возможно, если $e=0$ (уже используется) или $e=9$ (не используется). Таким образом, мы нашли набор цифр {1, 0, 2, 6, 9}. Сумма $1+0+2+6+9 = 18$, что кратно 9. Наименьшее число, составленное из этих цифр: 10269.

Ответ: 10269.

3) шестизначное число, кратное 3 и 2

Число, кратное 3 и 2, делится на 6. Это означает, что оно должно быть чётным (оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8) и сумма его цифр должна делиться на 3. Для получения наименьшего числа, начнём с наименьших цифр: 1, 0, 2, 3, 4. Сумма этих пяти цифр равна $1+0+2+3+4=10$. Пусть шестая цифра будет $x$. Сумма всех шести цифр $S = 10+x$. $S$ должна быть кратна 3. Возможные значения для $S$: 12, 15, 18, ... - Если $S=12$, то $x=2$. Цифра 2 уже используется. - Если $S=15$, то $x=5$. Цифра 5 не используется. Число должно быть чётным, а 5 — нечётная цифра, поэтому она не может быть последней. - Если $S=18$, то $x=8$. Цифра 8 не используется и является чётной. Итак, мы получили набор цифр {1, 0, 2, 3, 4, 8}. Сумма цифр 18, кратна 3. Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на 0, 2, 4 или 8. Чтобы число было наименьшим, старшие разряды должны быть наименьшими, а значит, на последнее место лучше поставить наибольшую из возможных чётных цифр. Ставим 8 в конец. Из оставшихся цифр {1, 0, 2, 3, 4} составляем наименьшее пятизначное число: 10234. Итоговое число: 102348.

Ответ: 102348.

4) четырёхзначное число, кратное 5 и 9

Число, кратное 5 и 9, делится на 45. Это означает, что оно должно оканчиваться на 0 или 5, и сумма его цифр должна делиться на 9. Рассмотрим два случая. Случай 1: число оканчивается на 0. Искомое число имеет вид $abc0$. Сумма цифр $a+b+c+0$ должна быть кратна 9. Чтобы число было наименьшим, $a$ должно быть наименьшим возможным (1). Тогда $b$ — следующее наименьшее (2, так как 0 и 1 заняты). Сумма известных цифр: $1+2+0=3$. Чтобы общая сумма $3+c$ была кратна 9, $c$ должно быть равно 6. Цифра 6 не использовалась. Получаем число 1260. Случай 2: число оканчивается на 5. Искомое число имеет вид $abc5$. Сумма цифр $a+b+c+5$ должна быть кратна 9. Чтобы число было наименьшим, $a=1$, $b=0$. Сумма известных цифр: $1+0+5=6$. Чтобы общая сумма $6+c$ была кратна 9, $c$ должно быть равно 3. Цифра 3 не использовалась. Получаем число 1035. Сравнивая два полученных числа, 1260 и 1035, выбираем наименьшее.

Ответ: 1035.