Страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

585. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?

Пусть искомое число, на которое делил Миша, равно $x$. При делении числа 111 на $x$ получается некоторый неполный частное $q$ и остаток 7.

Согласно определению деления с остатком, мы можем записать это в виде формулы:
$111 = x \cdot q + 7$

Важным свойством деления с остатком является то, что делитель всегда должен быть больше остатка. В данном случае:
$x > 7$

Выразим произведение $x \cdot q$ из основной формулы:
$x \cdot q = 111 - 7$
$x \cdot q = 104$

Это означает, что искомое число $x$ является делителем числа 104. Найдем все натуральные делители числа 104:
Делители 104: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104.

Теперь из всех найденных делителей нужно выбрать те, которые удовлетворяют условию $x > 7$.
Этому условию удовлетворяют числа: 8, 13, 26, 52, 104.
Следовательно, Миша мог разделить 111 на любое из этих чисел.

Ответ: 8, 13, 26, 52 или 104.

586. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4.

На какое число делил Павел?

Пусть $x$ — это неизвестное число (делитель), на которое Павел разделил 70. По условию, при делении числа 70 на $x$ получается остаток 4. Это можно записать в виде формулы деления с остатком:

$70 = q \cdot x + 4$

где $q$ — это неполное частное.

Важным правилом деления с остатком является то, что делитель всегда должен быть строго больше остатка. Следовательно:

$x > 4$

Теперь найдем число, которое делится на $x$ без остатка. Для этого вычтем остаток из делимого:

$q \cdot x = 70 - 4$

$q \cdot x = 66$

Это означает, что искомое число $x$ является делителем числа 66. Найдем все натуральные делители числа 66. Это числа, на которые 66 делится без остатка:

1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66.

Теперь из этого списка нужно выбрать только те числа, которые удовлетворяют нашему условию $x > 4$. Этому условию соответствуют следующие числа:

6, 11, 22, 33, 66.

Проверим:

• 70 : 6 = 11 (остаток 4)
• 70 : 11 = 6 (остаток 4)
• 70 : 22 = 3 (остаток 4)
• 70 : 33 = 2 (остаток 4)
• 70 : 66 = 1 (остаток 4)

Все эти числа подходят.

Ответ: Павел мог делить на одно из следующих чисел: 6, 11, 22, 33, 66.

587. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?

Чтобы найти наибольшее количество понедельников в году, необходимо рассмотреть два варианта: обычный год, в котором 365 дней, и високосный год, в котором 366 дней.

Сначала проанализируем обычный год. В неделе 7 дней. Разделим количество дней в году на 7, чтобы найти число полных недель и оставшихся дней: $365 = 52 \times 7 + 1$. Это означает, что обычный год состоит из 52 полных недель и 1 дополнительного дня. В 52 полных неделях содержится ровно 52 понедельника. Чтобы общее число понедельников было максимальным, этот один дополнительный день также должен быть понедельником. Это возможно, если год начинается в понедельник. В этом случае общее количество понедельников составит $52 + 1 = 53$.

Теперь рассмотрим високосный год, состоящий из 366 дней. Проведем аналогичные вычисления: $366 = 52 \times 7 + 2$. Високосный год состоит из 52 полных недель и 2 дополнительных дней. 52 недели снова дают нам 52 понедельника. Чтобы получить максимальное количество понедельников, необходимо, чтобы один из двух дополнительных дней был понедельником. Это произойдет, если год начинается в воскресенье (дополнительные дни — воскресенье и понедельник) или в понедельник (дополнительные дни — понедельник и вторник). В обоих этих вариантах к 52 понедельникам добавляется еще один, и их общее число становится равным 53.

Сравнивая результаты для обычного и високосного года, мы видим, что наибольшее возможное количество понедельников в году равно 53.

Ответ: 53

588. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?

Какой это был месяц?

Для решения задачи проанализируем количество дней в осенних месяцах и условие о количестве дней недели.

1. Осенние месяцы: сентябрь (30 дней), октябрь (31 день), ноябрь (30 дней).

2. В каждом месяце любой день недели встречается как минимум 4 раза, так как 4 полные недели — это $4 \times 7 = 28$ дней. Если в месяце больше 28 дней, то некоторые дни недели будут встречаться 5 раз.

3. Условие "суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц" означает, что количество суббот и понедельников равно 5, а количество пятниц — 4.

Рассмотрим возможную продолжительность месяца:

• В месяце с 30 днями ($30 = 4 \times 7 + 2$) ровно два дня недели повторяются 5 раз. Эти два дня недели обязательно идут подряд (например, если месяц начинается в понедельник, то 5 раз будут понедельник и вторник). Суббота и понедельник не являются днями, идущими подряд, поэтому в месяце не может быть 30 дней. Следовательно, это не сентябрь и не ноябрь.
• В месяце с 31 днём ($31 = 4 \times 7 + 3$) ровно три дня недели повторяются 5 раз. Эти три дня также идут подряд. Чтобы и суббота, и понедельник встречались 5 раз, эти три дня должны быть субботой, воскресеньем и понедельником. В этом случае все остальные дни недели, включая пятницу, будут встречаться по 4 раза, что полностью соответствует условию задачи.

Единственный осенний месяц, в котором 31 день, — это октябрь.

Ответ: это был октябрь.

Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца?

Из предыдущего пункта мы выяснили, что это был октябрь, и в нём по 5 раз встречались суббота, воскресенье и понедельник. Это возможно только в том случае, если месяц начался в субботу.

Таким образом, 1-е число этого месяца — суббота.

Чтобы найти день недели для 19-го числа, можно составить календарь или рассчитать.

Даты, приходящиеся на субботу: 1, 8, 15, 22, 29.

Мы знаем, что 15-е число — это суббота. Отсчитаем от него:

• 16-е число — воскресенье
• 17-е число — понедельник
• 18-е число — вторник
• 19-е число — среда

Ответ: девятнадцатое число этого месяца было средой.

589. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

2) при делении на 8 даёт в остатке 3.

1) Нам нужно придумать буквенное выражение, значение которого при подстановке любого натурального числа всегда будет давать остаток 1 при делении на 3.
Общий вид числа, которое при делении на 3 даёт в остатке 1, можно записать формулой $3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.
Чтобы наше выражение всегда соответствовало этому виду, мы можем взять произведение любого натурального числа (обозначим его буквой $a$) на 3. Выражение $3a$ всегда будет делиться на 3 без остатка. Если к этому выражению прибавить 1, то полученное выражение $3a + 1$ при делении на 3 всегда будет давать в остатке 1.
Проверим для нескольких натуральных значений $a$:
- Если $a=1$, то $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 в остатке.
- Если $a=7$, то $3 \cdot 7 + 1 = 22$. При делении 22 на 3 получаем 1 в остатке ($22 = 3 \cdot 7 + 1$).
- Если $a=50$, то $3 \cdot 50 + 1 = 151$. При делении 151 на 3 получаем 1 в остатке ($151 = 3 \cdot 50 + 1$).
Выражение $3a + 1$ удовлетворяет условию.
Ответ: $3a + 1$.

2) Аналогично, нам нужно придумать буквенное выражение, значение которого при подстановке любого натурального числа всегда будет давать остаток 3 при делении на 8.
Общий вид числа, которое при делении на 8 даёт в остатке 3, можно записать формулой $8k + 3$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.
Возьмём произведение любого натурального числа (обозначим его буквой $a$) на 8. Выражение $8a$ всегда будет делиться на 8 нацело. Если к этому выражению прибавить 3, то полученное выражение $8a + 3$ при делении на 8 всегда будет давать в остатке 3.
Проверим для нескольких натуральных значений $a$:
- Если $a=1$, то $8 \cdot 1 + 3 = 11$. При делении 11 на 8 получаем 3 в остатке.
- Если $a=5$, то $8 \cdot 5 + 3 = 43$. При делении 43 на 8 получаем 3 в остатке ($43 = 8 \cdot 5 + 3$).
- Если $a=20$, то $8 \cdot 20 + 3 = 163$. При делении 163 на 8 получаем 3 в остатке ($163 = 8 \cdot 20 + 3$).
Выражение $8a + 3$ удовлетворяет условию.
Ответ: $8a + 3$.

590. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого при делении на 11 даёт в остатке 7.

Для того чтобы значение выражения при делении на 11 давало в остатке 7, оно должно иметь вид $11 \cdot k + 7$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Это общая формула для всех чисел, которые дают остаток 7 при делении на 11.

Нам необходимо составить буквенное выражение, которое будет соответствовать этой формуле при подстановке любого натурального числа вместо буквы. Пусть нашей буквой будет $n$, где $n$ — любое натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Составим выражение, в котором одна часть будет гарантированно делиться на 11, а вторая будет равна требуемому остатку. Самым простым таким выражением является:

$11n + 7$

Давайте проверим, почему это выражение всегда будет работать. Для любого натурального числа $n$ произведение $11n$ является кратным числу 11, то есть делится на 11 без остатка. Если к числу, которое делится на 11 нацело, прибавить 7, то полученная сумма при делении на 11 всегда будет давать в остатке 7.

Проверим на нескольких примерах:
Если $n=1$, то значение выражения равно $11 \cdot 1 + 7 = 18$. При делении 18 на 11 получаем в частном 1 и в остатке 7.
Если $n=3$, то значение выражения равно $11 \cdot 3 + 7 = 33 + 7 = 40$. При делении 40 на 11 получаем в частном 3 и в остатке 7.
Если $n=10$, то значение выражения равно $11 \cdot 10 + 7 = 110 + 7 = 117$. При делении 117 на 11 получаем в частном 10 и в остатке 7.

Таким образом, данное выражение удовлетворяет условию задачи для любого натурального $n$.

Ответ: $11n + 7$.

591. Ольга выбрала некоторое натуральное число и нашла остатки при делении его на 3, на 6 и на 9. Оказалось, что сумма остатков равна 15. Найдите эти остатки.

Пусть $N$ — выбранное натуральное число, а $r_3$, $r_6$ и $r_9$ — остатки от деления этого числа на 3, 6 и 9 соответственно.

По определению остатка от деления, для этих остатков существуют следующие ограничения:
- остаток при делении на 3: $0 \le r_3 \le 2$
- остаток при делении на 6: $0 \le r_6 \le 5$
- остаток при делении на 9: $0 \le r_9 \le 8$

По условию задачи, сумма этих остатков равна 15:
$r_3 + r_6 + r_9 = 15$

Чтобы сумма трех остатков была равна 15, они должны быть как можно больше. Найдем максимально возможную сумму остатков, сложив их максимальные значения:
$r_{3_{max}} + r_{6_{max}} + r_{9_{max}} = 2 + 5 + 8 = 15$

Полученная максимальная сумма в точности равна 15. Это возможно только в одном случае: когда каждый остаток равен своему максимальному возможному значению. Если хотя бы один из остатков был меньше своего максимума, то итоговая сумма была бы меньше 15.

Следовательно, искомые остатки:
- Остаток при делении на 3 равен 2.
- Остаток при делении на 6 равен 5.
- Остаток при делении на 9 равен 8.

Для проверки можно убедиться, что такое число $N$ существует. Например, число 17.
При делении 17 на 3 получаем остаток 2 ($17 = 5 \cdot 3 + 2$).
При делении 17 на 6 получаем остаток 5 ($17 = 2 \cdot 6 + 5$).
При делении 17 на 9 получаем остаток 8 ($17 = 1 \cdot 9 + 8$).
Сумма остатков: $2 + 5 + 8 = 15$. Условие выполняется.

Ответ: остаток при делении на 3 равен 2, остаток при делении на 6 равен 5, остаток при делении на 9 равен 8.

592. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $14a \cdot 6b$, если $a = 2$, $b = 3$;

2) $25m \cdot 3n$, если $m = 8$, $n = 1$;

3) $5x + 8x - 3x$, если $x = 17$;

4) $16y - y + 5y$, если $y = 23$.

1) $14a \cdot 6b$, если $a = 2, b = 3$

Сначала упростим выражение. Для этого сгруппируем числовые множители и буквенные множители:

$14a \cdot 6b = (14 \cdot 6) \cdot (a \cdot b) = 84ab$

Теперь подставим в полученное выражение значения переменных $a = 2$ и $b = 3$:

$84 \cdot 2 \cdot 3 = 168 \cdot 3 = 504$

Ответ: 504

2) $25m \cdot 3n$, если $m = 8, n = 1$

Упростим выражение, перемножив числовые коэффициенты:

$25m \cdot 3n = (25 \cdot 3) \cdot (m \cdot n) = 75mn$

Подставим значения $m = 8$ и $n = 1$:

$75 \cdot 8 \cdot 1 = 600 \cdot 1 = 600$

Ответ: 600

3) $5x + 8x - 3x$, если $x = 17$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$5x + 8x - 3x = (5 + 8 - 3)x = 10x$

Теперь подставим значение $x = 17$:

$10 \cdot 17 = 170$

Ответ: 170

4) $16y - y + 5y$, если $y = 23$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые. Помним, что $-y$ это то же самое, что и $-1y$:

$16y - y + 5y = (16 - 1 + 5)y = (15 + 5)y = 20y$

Подставим значение $y = 23$:

$20 \cdot 23 = 460$

Ответ: 460

593. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, ширина на 3 см меньше длины, значит, ширина равна $(x - 3)$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина. По условию, периметр равен 54 см. Составим уравнение:

$2(x + (x - 3)) = 54$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала упростим выражение в скобках:

$2(2x - 3) = 54$

Разделим обе части уравнения на 2:

$2x - 3 = 27$

Перенесем -3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 27 + 3$

$2x = 30$

Найдем $x$:

$x = 30 / 2$

$x = 15$

Таким образом, длина прямоугольника составляет 15 см.

Теперь найдем ширину, которая на 3 см меньше длины:

$15 - 3 = 12$ см.

Итак, стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

Проверим: периметр $P = 2(15 + 12) = 2(27) = 54$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

594. Решите уравнение $8(3x - 16) = 208$.

Обратите внимание, что корень этого уравнения равен возрасту, начиная с которого разрешается ездить на велосипеде по велосипедной дорожке или полосе для велосипедистов.

Для того чтобы решить уравнение $8(3x - 16) = 208$, сначала разделим обе части уравнения на 8. Этот шаг позволит упростить выражение.

$\frac{8(3x - 16)}{8} = \frac{208}{8}$

Выполнив деление, получаем:
$3x - 16 = 26$

Теперь, чтобы изолировать член с переменной $x$, перенесем число -16 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный (это эквивалентно прибавлению 16 к обеим частям уравнения):

$3x = 26 + 16$

$3x = 42$

На последнем шаге, чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{42}{3}$

$x = 14$

Таким образом, корень уравнения равен 14. В условии задачи также отмечено, что это число соответствует возрасту (14 лет), с которого разрешается ездить на велосипеде по велосипедной дорожке или полосе для велосипедистов.

Ответ: $14$.

595. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:

1) одной верёвки отмерить 2 мин?

2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?

1)

Ключевым свойством веревки является то, что общее время ее сгорания с одного конца составляет 4 минуты. Поскольку веревка горит неравномерно, нельзя отмерить 2 минуты, просто сложив ее пополам и подпалив. Однако, если поджечь веревку одновременно с двух концов, два фронта пламени будут двигаться навстречу друг другу и встретятся ровно в тот момент, когда вся веревка сгорит. В этом случае общая скорость сгорания веревки удваивается, и, следовательно, время полного сгорания сокращается вдвое, независимо от неравномерности горения.
Таким образом, чтобы отмерить 2 минуты, нужно взять одну веревку и поджечь ее с обоих концов одновременно. Веревка полностью сгорит ровно за: $4 \text{ мин} \div 2 = 2 \text{ мин}$.

Ответ: Нужно поджечь веревку с двух концов одновременно. Она догорит ровно через 2 минуты.

2)

Для того чтобы отмерить 3 минуты, нам понадобятся две такие веревки. Назовем их Веревка 1 и Веревка 2.
Алгоритм действий следующий:
1. В начальный момент времени ($t=0$) мы одновременно поджигаем Веревку 1 с двух концов, а Веревку 2 — только с одного конца.
2. Веревка 1, горящая с двух сторон, полностью сгорит ровно за 2 минуты. Это событие отмеряет для нас двухминутный интервал.
3. В тот самый момент, когда Веревка 1 догорела (прошло 2 минуты), у Веревки 2 сгорела часть, на горение которой ушло 2 минуты. Это означает, что оставшейся части веревки требуется еще 2 минуты, чтобы догореть, если продолжать жечь ее с одного конца ($4 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 2 \text{ мин}$).
4. Сразу же после того, как Веревка 1 догорела, мы поджигаем второй, еще не горящий, конец Веревки 2. Теперь оставшаяся часть Веревки 2 горит с двух концов.
5. Участок веревки, который горел бы 2 минуты с одного конца, при поджоге с двух сторон сгорит за половину этого времени, то есть за $2 \text{ мин} \div 2 = 1 \text{ мин}$.
6. Таким образом, общее отмеряемое время составит 2 минуты (время горения Веревки 1) плюс 1 минута (время догорания Веревки 2). Итого: $2 + 1 = 3$ минуты. Отсчет времени заканчивается в момент, когда полностью догорит Веревка 2.

Ответ: Одновременно поджечь первую веревку с двух концов, а вторую — с одного. Когда первая веревка догорит (через 2 мин), поджечь второй конец второй веревки. Когда вторая веревка догорит, пройдет ровно 3 минуты.