Страница 136 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

553. Валентин подарил Виктории розы и орхидеи, причём орхидей было в 4 раза меньше, чем роз. Сколько роз подарил Валентин, если известно, что их было на 51 больше, чем орхидей?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $р$ — это количество роз, а $о$ — количество орхидей.

Исходя из условий задачи, можно составить два уравнения.

Первое условие: «орхидей было в 4 раза меньше, чем роз». Это означает, что количество роз в 4 раза больше количества орхидей. Математически это выражается так: $р = 4 \cdot о$.

Второе условие: «роз... было на 51 больше, чем орхидей». Это можно записать в виде уравнения: $р = о + 51$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$р = 4 \cdot о$

$р = о + 51$

Так как левые части уравнений равны (обе равны $р$), мы можем приравнять их правые части:

$4 \cdot о = о + 51$

Решим полученное уравнение относительно $о$. Для этого вычтем $о$ из обеих частей уравнения:

$4 \cdot о - о = 51$

$3 \cdot о = 51$

Теперь найдем $о$, разделив обе части на 3:

$о = \frac{51}{3}$

$о = 17$

Таким образом, количество орхидей равно 17.

Вопрос задачи — найти количество роз ($р$). Для этого подставим найденное значение $о = 17$ в любое из первоначальных уравнений. Возьмем первое уравнение:

$р = 4 \cdot о = 4 \cdot 17 = 68$

Для проверки подставим значение $о$ во второе уравнение:

$р = о + 51 = 17 + 51 = 68$

Оба уравнения дают одинаковый результат, значит, решение верное.

Ответ: Валентин подарил 68 роз.

554. В три магазина завезли 264 кг яблок. В первый магазин завезли в 3 раза больше яблок, чем в третий, а во второй — в 2 раза больше, чем в третий. Сколько килограммов яблок завезли в каждый магазин?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество килограммов яблок, которое завезли в третий магазин.

Исходя из условия, количество яблок в первом и втором магазинах можно выразить через $x$:

• В первый магазин завезли в 3 раза больше яблок, чем в третий, то есть $3x$ кг.
• Во второй магазин завезли в 2 раза больше яблок, чем в третий, то есть $2x$ кг.

Общее количество яблок, завезенных во все три магазина, составляет 264 кг. Составим уравнение, сложив количество яблок в каждом магазине:

$3x + 2x + x = 264$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

1. Сложим все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$6x = 264$

2. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{264}{6}$

$x = 44$

Таким образом, мы выяснили, что в третий магазин завезли 44 кг яблок.

Теперь найдем, сколько килограммов яблок завезли в первый и второй магазины:

• Количество яблок в первом магазине: $3 \cdot x = 3 \cdot 44 = 132$ кг.
• Количество яблок во втором магазине: $2 \cdot x = 2 \cdot 44 = 88$ кг.

Проверим полученные результаты, сложив массу яблок из всех трех магазинов: $132 + 88 + 44 = 220 + 44 = 264$ кг. Общее количество совпадает с условием задачи.

Ответ: в первый магазин завезли 132 кг яблок, во второй — 88 кг, а в третий — 44 кг.

555. За четыре дня путешествия яхта проплыла 546 миль. Во второй день она проплыла в 4 раза больше, чем в первый, в третий — в 3 раза больше, чем в первый, а в четвёртый — в 5 раз больше, чем в первый. Сколько миль проплывала яхта ежедневно?

Для решения этой задачи введем неизвестную. Пусть $x$ — это расстояние в милях, которое яхта прошла в первый день.

Согласно условиям задачи, расстояния, пройденные в последующие дни, можно выразить через $x$:

• Расстояние в первый день: $x$ миль.
• Расстояние во второй день: $4x$ миль.
• Расстояние в третий день: $3x$ миль.
• Расстояние в четвертый день: $5x$ миль.

Сумма расстояний за все четыре дня равна 546 миль. Составим и решим уравнение:

$x + 4x + 3x + 5x = 546$

Складываем все слагаемые с $x$ в левой части уравнения:

$13x = 546$

Находим $x$, разделив обе части уравнения на 13:

$x = \frac{546}{13}$

$x = 42$

Таким образом, в первый день яхта проплыла 42 мили.

Теперь мы можем рассчитать, какое расстояние яхта проплывала в каждый из последующих дней:

Во второй день:
$4 \cdot 42 = 168$ миль.

В третий день:
$3 \cdot 42 = 126$ миль.

В четвёртый день:
$5 \cdot 42 = 210$ миль.

Проверим правильность решения, сложив все найденные расстояния:

$42 + 168 + 126 + 210 = 546$ миль.

Сумма совпадает с общим расстоянием, указанным в задаче, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в первый день яхта проплыла 42 мили, во второй — 168 миль, в третий — 126 миль, а в четвертый — 210 миль.

556. В трёх вагонах электропоезда ехало 246 пассажиров. В первом вагоне было в 2 раза больше пассажиров, чем во втором, а в третьем — на 78 пассажиров больше, чем во втором. Сколько пассажиров ехало в каждом вагоне?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это количество пассажиров во втором вагоне.

Исходя из условия задачи:

• В первом вагоне было в 2 раза больше пассажиров, чем во втором, значит, в нем было $2x$ пассажиров.
• В третьем вагоне было на 78 пассажиров больше, чем во втором, значит, в нем было $x + 78$ пассажиров.

Общее количество пассажиров в трёх вагонах равно 246. Мы можем составить уравнение, сложив количество пассажиров в каждом из вагонов:

$2x + x + (x + 78) = 246$

Теперь решим это уравнение:

1. Объединим слагаемые с переменной $x$:

$4x + 78 = 246$

2. Перенесём 78 в правую часть уравнения, вычитая его из 246:

$4x = 246 - 78$

$4x = 168$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{168}{4}$

$x = 42$

Таким образом, во втором вагоне было 42 пассажира.

Теперь, зная количество пассажиров во втором вагоне, найдём их количество в первом и третьем вагонах:

• Количество пассажиров в первом вагоне: $2x = 2 \cdot 42 = 84$ пассажира.
• Количество пассажиров в третьем вагоне: $x + 78 = 42 + 78 = 120$ пассажиров.

Проведем проверку, сложив количество пассажиров во всех вагонах:

$84 + 42 + 120 = 246$

Сумма сходится с исходным условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в первом вагоне было 84 пассажира, во втором — 42 пассажира, в третьем — 120 пассажиров.

557. Одна из сторон треугольника в 5 раз меньше второй и на 25 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 74 см.

Пусть длина первой, наименьшей, стороны треугольника равна $x$ см.

Из условия известно, что эта сторона в 5 раз меньше второй. Следовательно, вторая сторона в 5 раз больше первой, и её длина составляет $5x$ см.

Также известно, что первая сторона на 25 см меньше третьей. Следовательно, третья сторона на 25 см больше первой, и её длина составляет $(x + 25)$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, периметр равен 74 см. Составим и решим уравнение:

$x + 5x + (x + 25) = 74$

$7x + 25 = 74$

$7x = 74 - 25$

$7x = 49$

$x = 49 / 7$

$x = 7$

Итак, мы нашли длину первой стороны — она равна 7 см.

Теперь найдём длины двух других сторон:

Длина второй стороны: $5x = 5 \cdot 7 = 35$ см.

Длина третьей стороны: $x + 25 = 7 + 25 = 32$ см.

Проверим: $7 + 35 + 32 = 74$ см. Периметр сходится.

Ответ: стороны треугольника равны 7 см, 35 см и 32 см.

558. На чашах весов, изображённых на рисунке 163, стоят одинаковые пакеты муки и гири, массы которых даны в килограммах. Составьте по этому рисунку уравнение и найдите массу одного пакета муки.

Рис. 163

$2x + 1 + 5 = 3 \times 5$

Для решения задачи обозначим неизвестную массу пакета муки переменной, составим уравнение на основе равенства масс на чашах весов и решим его.

Составление уравнения

Пусть масса одного пакета муки равна $x$ кг.

На левой чаше весов находятся 3 пакета муки и гири массой 1 кг и 5 кг. Общая масса на левой чаше составляет: $3 \cdot x + 1 + 5 = 3x + 6$ кг.

На правой чаше весов находятся 5 гирь по 3 кг каждая. Общая масса на правой чаше составляет: $5 \cdot 3 = 15$ кг.

Поскольку весы находятся в равновесии, массы на обеих чашах равны. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$3x + 6 = 15$

Нахождение массы одного пакета муки

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

$3x + 6 = 15$

Вычтем 6 из обеих частей уравнения:

$3x = 15 - 6$

$3x = 9$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Следовательно, масса одного пакета муки составляет 3 кг.

Ответ: уравнение: $3x + 6 = 15$; масса одного пакета муки: 3 кг.

559. На чашах весов, изображённых на рисунке 164, стоят одинаковые бутылки с маслом и гири, массы которых даны в килограммах. Составьте по этому рисунку уравнение и найдите массу одной бутылки масла.

Рис. 164

Уравнение:

Предположим, масса одной бутылки масла равна $x$ кг.

На левой чаше весов: 4 бутылки масла и гиря массой 3 кг, что составляет $4x + 3$ кг.

На правой чаше весов: гири массой 5 кг, 5 кг и 1 кг, что составляет $5 + 5 + 1 = 11$ кг.

Так как весы находятся в равновесии, массы на обеих чашах равны:

$4x + 3 = 11$

Решение уравнения:

$4x = 11 - 3$

$4x = 8$

$x = \frac{8}{4}$

$x = 2$

Таким образом, масса одной бутылки масла равна 2 кг.

Для того чтобы составить уравнение, обозначим массу одной бутылки масла за $x$ кг.

На левой чаше весов находятся 4 одинаковые бутылки с маслом и гиря массой 3 кг. Общая масса на левой чаше весов выражается формулой: $4x + 3$.

На правой чаше весов находятся гири, общая масса которых равна: $5 + 5 + 1 = 11$ кг.

Так как весы находятся в равновесии, массы на обеих чашах равны. На основании этого составим и решим уравнение.

Составьте по этому рисунку уравнение
$4x + 3 = 5 + 5 + 1$
$4x + 3 = 11$
Ответ: $4x + 3 = 11$.

Найдите массу одной бутылки масла
Решим полученное уравнение:
$4x + 3 = 11$
Перенесём число 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$4x = 11 - 3$
$4x = 8$
Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 4:
$x = \frac{8}{4}$
$x = 2$
Следовательно, масса одной бутылки масла составляет 2 кг.
Ответ: 2 кг.

560. Расставьте в записи $7 \cdot 9 + 12 : 3 - 2$ скобки так, чтобы значение по- лученного выражения было равно:

1) 75;

2) 23.

1) 75

Чтобы получить в результате 75, необходимо расставить скобки в выражении $7 \cdot 9 + 12 : 3 - 2$ следующим образом: $7 \cdot 9 + 12 : (3 - 2)$.
Проверим, выполнив действия в правильном порядке:
1. Сначала выполняем действие в скобках: $3 - 2 = 1$.
2. Теперь выражение выглядит как $7 \cdot 9 + 12 : 1$.
3. Далее выполняем умножение и деление слева направо: $7 \cdot 9 = 63$ и $12 : 1 = 12$.
4. Последним действием выполняем сложение: $63 + 12 = 75$.
Полученное значение совпадает с требуемым.

Ответ: $7 \cdot 9 + 12 : (3 - 2) = 75$.

2) 23

Чтобы получить в результате 23, расставим скобки по-другому: $(7 \cdot 9 + 12) : 3 - 2$.
Проверим, выполнив действия в правильном порядке:
1. Сначала вычисляем значение в скобках. Внутри них первым действием будет умножение: $7 \cdot 9 = 63$.
2. Затем в скобках выполняем сложение: $63 + 12 = 75$.
3. Теперь выражение имеет вид $75 : 3 - 2$.
4. Выполняем деление: $75 : 3 = 25$.
5. Последним действием выполняем вычитание: $25 - 2 = 23$.
Полученное значение совпадает с требуемым.

Ответ: $(7 \cdot 9 + 12) : 3 - 2 = 23$.

561. Расставьте в записи $4 \cdot 12 + 18 \div 6 + 3$ скобки так, чтобы значение полученного выражения было равно:

1) 50;

2) 72.

1) 50;

Чтобы получить в результате 50, необходимо изменить стандартный порядок действий. Попробуем поставить скобки вокруг суммы $6 + 3$. В этом случае деление на 6 будет заменено делением на результат этой суммы.

Запишем выражение со скобками: $4 \cdot 12 + 18 : (6 + 3)$.

Теперь выполним вычисления, соблюдая правильный порядок действий:
1. Сначала действие в скобках: $6 + 3 = 9$.
2. Затем выполняем умножение и деление слева направо: $4 \cdot 12 = 48$ и $18 : 9 = 2$.
3. Наконец, выполняем сложение: $48 + 2 = 50$.

Полученное значение 50 соответствует условию.

Ответ: $4 \cdot 12 + 18 : (6 + 3)$.

2) 72.

Чтобы получить в результате 72, попробуем сделать так, чтобы умножение на 4 стало последним действием. Для этого необходимо заключить в скобки всю часть выражения, которая следует за $4 \cdot$.

Запишем выражение со скобками: $4 \cdot (12 + 18 : 6 + 3)$.

Выполним вычисления по порядку:
1. Сначала выполняем действия внутри скобок. Приоритет у деления: $18 : 6 = 3$.
2. Теперь в скобках осталось только сложение: $12 + 3 + 3 = 18$.
3. Последним действием выполняем умножение: $4 \cdot 18 = 72$.

Полученное значение 72 соответствует условию.

Ответ: $4 \cdot (12 + 18 : 6 + 3)$.