Страница 137 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

562. Периметр четырёхугольника ABCD равен 34 см, $AB = 6 \text{ см}$, сторона $BC$ в 2 раза больше стороны $AB$, стороны $CD$ и $AD$ равны. Вычислите длину стороны $AD$.

Периметр четырёхугольника $ABCD$ — это сумма длин всех его сторон: $P = AB + BC + CD + AD$.

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:

• Периметр $P = 34$ см.
• Длина стороны $AB = 6$ см.

1. Сначала найдём длину стороны $BC$. В условии сказано, что она в 2 раза больше стороны $AB$.

$BC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

2. Далее, в условии указано, что стороны $CD$ и $AD$ равны. Обозначим их длину неизвестной переменной $x$. Таким образом, $CD = AD = x$.

3. Теперь, зная длины всех сторон (две через числа и две через переменную $x$), мы можем составить уравнение, используя формулу периметра:

$P = AB + BC + CD + AD$

$34 = 6 + 12 + x + x$

4. Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сложим известные числовые значения и переменные:

$34 = 18 + 2x$

Перенесём 18 в левую часть уравнения, изменив знак:

$34 - 18 = 2x$

$16 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Поскольку $x$ представляет собой длину стороны $AD$, то длина стороны $AD$ равна 8 см.

Ответ: 8 см.

563. Среди купленных конвертов 18 оказались розового цвета, а 12 конвертов — с марками. Кроме того, среди розовых конвертов 8 были с марками. Сколько всего конвертов купили?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество уникальных конвертов. Мы можем это сделать, посчитав количество конвертов в каждой из возможных непересекающихся групп.

Все конверты можно разделить на три группы:

• 1. Розовые конверты без марок.
• 2. Конверты с марками, но не розового цвета.
• 3. Розовые конверты с марками.

Теперь вычислим количество конвертов в каждой группе на основе данных из условия.

1. Сколько было розовых конвертов без марок?

Всего было куплено 18 розовых конвертов. Из них 8 были с марками. Чтобы найти количество розовых конвертов без марок, нужно из общего числа розовых конвертов вычесть число розовых конвертов с марками:

$18 - 8 = 10$ (розовых конвертов без марок)

2. Сколько было не розовых конвертов с марками?

Всего было куплено 12 конвертов с марками. Из них 8 были розового цвета. Значит, количество конвертов с марками, но другого цвета, равно:

$12 - 8 = 4$ (конверта с марками, но не розовых)

3. Сколько было розовых конвертов с марками?

По условию задачи, таких конвертов было 8.

Чтобы найти общее количество купленных конвертов, сложим количество конвертов из всех трех групп:

$10$ (розовые без марок) $+ 4$ (не розовые с марками) $+ 8$ (розовые с марками) $= 22$ (всего конвертов)

Альтернативное решение с помощью формулы включений-исключений:

Общее количество конвертов можно найти как объединение двух множеств: множества розовых конвертов ($Р$) и множества конвертов с марками ($М$).

Формула объединения: $|Р \cup М| = |Р| + |М| - |Р \cap М|$, где:

• $|Р|$ — количество розовых конвертов = 18.
• $|М|$ — количество конвертов с марками = 12.
• $|Р \cap М|$ — количество конвертов, которые и розовые, и с марками = 8.

Подставляем значения в формулу:

$|Р \cup М| = 18 + 12 - 8 = 30 - 8 = 22$

Ответ: 22 конверта.

564. На столе расположено семь зубчатых колёс так, что первое сцеплено со вторым, второе — с третьим и т. д., а седьмое сцеплено с первым. Могут ли все колёса вращаться одновременно?

Для решения этой задачи необходимо понять основной принцип работы сцепленных зубчатых колёс: два колеса, находящиеся в зацеплении, всегда вращаются в противоположных направлениях. Если одно колесо вращается по часовой стрелке, то второе, сцепленное с ним, будет вращаться против часовой стрелки.

Пронумеруем колёса от 1 до 7. Допустим, первое колесо начинает вращаться в некотором направлении, например, по часовой стрелке. Тогда:

• Колесо №1 вращается по часовой стрелке.
• Колесо №2 (сцеплено с №1) будет вращаться против часовой стрелки.
• Колесо №3 (сцеплено с №2) будет вращаться по часовой стрелке.
• Колесо №4 (сцеплено с №3) будет вращаться против часовой стрелки.
• Колесо №5 (сцеплено с №4) будет вращаться по часовой стрелке.
• Колесо №6 (сцеплено с №5) будет вращаться против часовой стрелки.
• Колесо №7 (сцеплено с №6) будет вращаться по часовой стрелке.

Из этой последовательности видно, что все колёса с нечётными номерами (1, 3, 5, 7) вращаются в одном направлении, а все колёса с чётными номерами (2, 4, 6) — в противоположном.

Таким образом, мы приходим к выводу, что колесо №1 и колесо №7 должны вращаться в одном и том же направлении (в нашем примере — по часовой стрелке).

Однако, по условию задачи, седьмое колесо сцеплено с первым. Это означает, что они должны вращаться в противоположных направлениях. Возникает противоречие: с одной стороны, колёса №1 и №7 должны вращаться в одну сторону (как результат прохождения по всей цепи), а с другой — в разные стороны (как непосредственно сцепленные). Такое движение физически невозможно.

В общем виде, замкнутая цепь из нечётного числа зубчатых колёс всегда будет заблокирована. Вращение возможно только для цепи из чётного числа колёс.

Ответ: Нет, все колёса не могут вращаться одновременно.