Страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

540. За 4 дня работы три оператора компьютерного набора набрали вместе 288 страниц. Сколько страниц наберёт один оператор за 7 дней, если у них одинаковая производительность труда?

Чтобы найти, сколько страниц наберет один оператор за 7 дней, нужно сначала определить производительность одного оператора в день.

1. Узнаем, сколько страниц набирают все три оператора за один день. Для этого общее количество набранных страниц разделим на количество дней работы:

$288 \text{ страниц} \div 4 \text{ дня} = 72 \text{ страницы в день}$

Это совместная производительность трех операторов.

2. Теперь найдем производительность одного оператора. Поскольку их производительность одинакова, разделим совместную производительность на количество операторов:

$72 \text{ страницы в день} \div 3 \text{ оператора} = 24 \text{ страницы в день}$

Таким образом, производительность одного оператора составляет 24 страницы в день.

3. Наконец, рассчитаем, сколько страниц наберет один оператор за 7 дней. Для этого умножим его дневную производительность на 7 дней:

$24 \text{ страницы в день} \times 7 \text{ дней} = 168 \text{ страниц}$

Ответ: 168 страниц.

541. Для работы шести одинаковых двигателей в течение 8 ч требуется 672 л топлива. На сколько часов работы хватит 98 л топлива одному такому двигателю?

Для того чтобы определить, на сколько часов работы хватит 98 литров топлива одному двигателю, необходимо сначала вычислить часовой расход топлива этого двигателя.

1. Сначала найдем, какой объем топлива потребляет один двигатель за 8 часов. Поскольку все шесть двигателей одинаковы, общий расход топлива делится между ними поровну:
$672 \text{ л} \div 6 = 112 \text{ л}$
Таким образом, один двигатель за 8 часов работы расходует 112 литров топлива.

2. Теперь рассчитаем, сколько топлива один двигатель расходует за один час. Для этого разделим объем топлива, потребляемый одним двигателем за 8 часов, на это количество часов:
$112 \text{ л} \div 8 \text{ ч} = 14 \text{ л/ч}$
Следовательно, часовой расход топлива одного двигателя составляет 14 литров в час.

3. Наконец, зная часовой расход, мы можем определить, на сколько часов работы одному двигателю хватит 98 литров топлива. Для этого нужно разделить имеющийся объем топлива на часовой расход:
$98 \text{ л} \div 14 \text{ л/ч} = 7 \text{ ч}$

Ответ: 98 л топлива одному такому двигателю хватит на 7 часов работы.

542. Фермер привёз на рынок 420 кг яблок и 180 кг груш в 50 ящиках. Сколько ящиков было с яблоками и сколько — с грушами, если известно, что массы всех ящиков с фруктами равны?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем общую массу всех фруктов, которые фермер привёз на рынок. Для этого сложим массу яблок и массу груш:

$420 + 180 = 600$ (кг) – общая масса всех фруктов.

2. В условии сказано, что все ящики с фруктами имеют одинаковую массу. Чтобы найти массу одного ящика, нужно общую массу фруктов разделить на общее количество ящиков:

$600 : 50 = 12$ (кг) – масса одного ящика с фруктами.

3. Теперь мы можем определить, сколько ящиков было с яблоками. Для этого разделим общую массу яблок на массу одного ящика:

$420 : 12 = 35$ (ящиков) – было с яблоками.

4. Аналогично найдем количество ящиков с грушами. Разделим общую массу груш на массу одного ящика:

$180 : 12 = 15$ (ящиков) – было с грушами.

5. Сделаем проверку: сложим количество ящиков с яблоками и грушами, чтобы убедиться, что их общее число равно 50.

$35 + 15 = 50$ (ящиков) – всего, что соответствует условию задачи.

Ответ: 35 ящиков с яблоками и 15 ящиков с грушами.

543. Али-Баба перевозил найденное в пещере разбойников золото на четырёх ослах в 22 одинаковых мешках. На первого осла он погрузил 80 кг золота, на второго — 100 кг, на третьего — 120 кг, на четвёртого — 140 кг. Сколько мешков золота было нагружено на первого осла?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала найдем общую массу всего золота, а затем — массу одного мешка.

1. Найдем общую массу золота, сложив массу, которую вез каждый осел:

$80 + 100 + 120 + 140 = 440$ кг

2. Теперь, зная, что все золото разложено в 22 одинаковых мешка, найдем массу одного мешка. Для этого общую массу золота разделим на количество мешков:

$440 \text{ кг} \div 22 \text{ мешка} = 20$ кг

Таким образом, масса одного мешка с золотом составляет 20 кг.

3. Наконец, чтобы определить, сколько мешков было нагружено на первого осла, разделим массу золота на первом осле на массу одного мешка:

$80 \text{ кг} \div 20 \text{ кг} = 4$ мешка

Ответ: на первого осла было нагружено 4 мешка золота.

544. Решите уравнение:

1) $21(18 + x) = 714;$

2) $16(4x - 34) = 608;$

3) $12(152 + 19x) = 2052;$

4) $(152x + 32) \cdot 6 = 192.$

1) $21(18 + x) = 714$

Чтобы найти неизвестный множитель, выраженный скобкой $(18 + x)$, нужно произведение $714$ разделить на известный множитель $21$.

$18 + x = 714 : 21$

$18 + x = 34$

Теперь у нас простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы $34$ вычесть известное слагаемое $18$.

$x = 34 - 18$

$x = 16$

Ответ: $16$.

2) $16(4x - 34) = 608$

Разделим обе части уравнения на известный множитель $16$.

$4x - 34 = 608 : 16$

$4x - 34 = 38$

Теперь $4x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности $38$ прибавить вычитаемое $34$.

$4x = 38 + 34$

$4x = 72$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение $72$ на известный множитель $4$.

$x = 72 : 4$

$x = 18$

Ответ: $18$.

3) $12(152 + 19x) = 2052$

Чтобы найти неизвестный множитель $(152 + 19x)$, разделим произведение $2052$ на известный множитель $12$.

$152 + 19x = 2052 : 12$

$152 + 19x = 171$

Теперь $19x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, вычтем из суммы $171$ известное слагаемое $152$.

$19x = 171 - 152$

$19x = 19$

Найдем $x$, разделив произведение $19$ на известный множитель $19$.

$x = 19 : 19$

$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $(152x + 32) \cdot 6 = 192$

Разделим обе части уравнения на известный множитель $6$.

$152x + 32 = 192 : 6$

$152x + 32 = 32$

Теперь $152x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, вычтем из суммы $32$ известное слагаемое $32$.

$152x = 32 - 32$

$152x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $152 \neq 0$, то $x$ должен быть равен нулю.

$x = 0 : 152$

$x = 0$

Ответ: $0$.

545. Решите уравнение:

1) $8(x - 14) = 56$;

2) $(46 - x) \cdot 19 = 418$;

3) $9(143 - 13x) = 234$;

4) $17(5x - 16) = 238$.

1) $8(x - 14) = 56$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 14)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $56$ разделить на известный множитель $8$.

$x - 14 = 56 : 8$

$x - 14 = 7$

Теперь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $7$ прибавить вычитаемое $14$.

$x = 7 + 14$

$x = 21$

Проверка: $8(21 - 14) = 8 \cdot 7 = 56$. Равенство верно.

Ответ: $21$

2) $(46 - x) \cdot 19 = 418$

Выражение в скобках $(46 - x)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение $418$ разделить на известный множитель $19$.

$46 - x = 418 : 19$

$46 - x = 22$

Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $46$ вычесть разность $22$.

$x = 46 - 22$

$x = 24$

Проверка: $(46 - 24) \cdot 19 = 22 \cdot 19 = 418$. Равенство верно.

Ответ: $24$

3) $9(143 - 13x) = 234$

Разделим обе части уравнения на известный множитель $9$.

$143 - 13x = 234 : 9$

$143 - 13x = 26$

Теперь выражение $13x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого $143$ вычесть разность $26$.

$13x = 143 - 26$

$13x = 117$

Теперь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $117$ разделить на известный множитель $13$.

$x = 117 : 13$

$x = 9$

Проверка: $9(143 - 13 \cdot 9) = 9(143 - 117) = 9 \cdot 26 = 234$. Равенство верно.

Ответ: $9$

4) $17(5x - 16) = 238$

Разделим обе части уравнения на известный множитель $17$.

$5x - 16 = 238 : 17$

$5x - 16 = 14$

Теперь выражение $5x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы его найти, нужно к разности $14$ прибавить вычитаемое $16$.

$5x = 14 + 16$

$5x = 30$

Теперь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение $30$ разделить на известный множитель $5$.

$x = 30 : 5$

$x = 6$

Проверка: $17(5 \cdot 6 - 16) = 17(30 - 16) = 17 \cdot 14 = 238$. Равенство верно.

Ответ: $6$

546. Решите уравнение:

1) $14x + 4x - 48 = 240;$

2) $25b - 7b - 9 = 279;$

3) $16a - 7a + 96 = 222;$

4) $20y + 5y + y + 19 = 227.$

1) $14x + 4x - 48 = 240$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (члены с переменной $x$):

$14x + 4x = 18x$

Теперь уравнение выглядит так:

$18x - 48 = 240$

Чтобы выделить член с переменной $x$, перенесем свободный член (-48) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный (или, что то же самое, прибавим 48 к обеим частям уравнения):

$18x = 240 + 48$

$18x = 288$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 18:

$x = \frac{288}{18}$

$x = 16$

Проверка: $14 \cdot 16 + 4 \cdot 16 - 48 = 224 + 64 - 48 = 288 - 48 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно.

Ответ: 16

2) $25b - 7b - 9 = 279$

Упростим левую часть, выполнив вычитание подобных слагаемых:

$25b - 7b = 18b$

Уравнение принимает вид:

$18b - 9 = 279$

Перенесем -9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$18b = 279 + 9$

$18b = 288$

Разделим обе части на 18, чтобы найти $b$:

$b = \frac{288}{18}$

$b = 16$

Проверка: $25 \cdot 16 - 7 \cdot 16 - 9 = 400 - 112 - 9 = 288 - 9 = 279$. Равенство $279 = 279$ верно.

Ответ: 16

3) $16a - 7a + 96 = 222$

Упростим левую часть, скомбинировав подобные слагаемые:

$16a - 7a = 9a$

Получаем уравнение:

$9a + 96 = 222$

Перенесем 96 в правую часть, изменив знак:

$9a = 222 - 96$

$9a = 126$

Найдем $a$, разделив обе части на 9:

$a = \frac{126}{9}$

$a = 14$

Проверка: $16 \cdot 14 - 7 \cdot 14 + 96 = 224 - 98 + 96 = 126 + 96 = 222$. Равенство $222 = 222$ верно.

Ответ: 14

4) $20y + 5y + y + 19 = 227$

Сложим все подобные слагаемые в левой части:

$20y + 5y + y = (20+5+1)y = 26y$

Уравнение становится:

$26y + 19 = 227$

Перенесем 19 в правую часть с противоположным знаком:

$26y = 227 - 19$

$26y = 208$

Найдем $y$, разделив обе части на 26:

$y = \frac{208}{26}$

$y = 8$

Проверка: $20 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 8 + 19 = 160 + 40 + 8 + 19 = 208 + 19 = 227$. Равенство $227 = 227$ верно.

Ответ: 8

547. Решите уравнение:

1) $9b + 6b - 15 = 615;$

2) $17x - x + 5x - 19 = 170.$

Решим уравнение $9b + 6b - 15 = 615$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9 + 6)b - 15 = 615$

$15b - 15 = 615$

Теперь перенесем свободный член (число -15) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$15b = 615 + 15$

$15b = 630$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, то есть на 15:

$b = 630 \div 15$

$b = 42$

Ответ: 42.

Решим уравнение $17x - x + 5x - 19 = 170$.

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части. Учтем, что $-x$ это $-1x$.

$(17 - 1 + 5)x - 19 = 170$

$21x - 19 = 170$

Перенесем свободный член (-19) в правую часть с противоположным знаком:

$21x = 170 + 19$

$21x = 189$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 21:

$x = 189 \div 21$

$x = 9$

Ответ: 9.

548. Решите уравнение:

1) $(x + 14) \div 9 = 13;$

2) $966 \div (x + 17) = 23;$

3) $x \div 8 - 6 = 49;$

4) $52 + 72 \div x = 56;$

5) $56 \div (x - 6) = 8;$

6) $56 \div x - 6 = 8.$

1) $(x + 14) : 9 = 13$

В этом уравнении выражение $(x + 14)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x + 14 = 13 \cdot 9$

$x + 14 = 117$

Теперь $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 117 - 14$

$x = 103$

Проверка: $(103 + 14) : 9 = 117 : 9 = 13$.

Ответ: 103

2) $966 : (x + 17) = 23$

Здесь выражение $(x + 17)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$x + 17 = 966 : 23$

$x + 17 = 42$

Теперь $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 42 - 17$

$x = 25$

Проверка: $966 : (25 + 17) = 966 : 42 = 23$.

Ответ: 25

3) $x : 8 - 6 = 49$

В данном уравнении выражение $x : 8$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x : 8 = 49 + 6$

$x : 8 = 55$

Теперь $x$ — это неизвестное делимое. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x = 55 \cdot 8$

$x = 440$

Проверка: $440 : 8 - 6 = 55 - 6 = 49$.

Ответ: 440

4) $52 + 72 : x = 56$

Здесь выражение $72 : x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$72 : x = 56 - 52$

$72 : x = 4$

Теперь $x$ — это неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$x = 72 : 4$

$x = 18$

Проверка: $52 + 72 : 18 = 52 + 4 = 56$.

Ответ: 18

5) $56 : (x - 6) = 8$

В этом уравнении выражение $(x - 6)$ является неизвестным делителем. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$x - 6 = 56 : 8$

$x - 6 = 7$

Теперь $x$ — это неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 7 + 6$

$x = 13$

Проверка: $56 : (13 - 6) = 56 : 7 = 8$.

Ответ: 13

6) $56 : x - 6 = 8$

В данном уравнении выражение $56 : x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$56 : x = 8 + 6$

$56 : x = 14$

Теперь $x$ — это неизвестный делитель. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

$x = 56 : 14$

$x = 4$

Проверка: $56 : 4 - 6 = 14 - 6 = 8$.

Ответ: 4

549. Решите уравнение:

1) $(x - 23) : 26 = 8$;

2) $1728 : (56 - x) = 36$.

1) $(x - 23) : 26 = 8$

В данном уравнении выражение $(x - 23)$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x - 23 = 8 \cdot 26$

$x - 23 = 208$

Теперь в уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 208 + 23$

$x = 231$

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$(231 - 23) : 26 = 208 : 26 = 8$

$8 = 8$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $231$.

2) $1728 : (56 - x) = 36$

В данном уравнении выражение $(56 - x)$ является делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

$56 - x = 1728 : 36$

$56 - x = 48$

Теперь в уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 56 - 48$

$x = 8$

Проверим полученный результат, подставив его в исходное уравнение:

$1728 : (56 - 8) = 1728 : 48 = 36$

$36 = 36$

Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $8$.

550. Отец с сыном посадили 108 кустов помидоров, причём отец посадил в 2 раза больше, чем сын. Сколько кустов помидоров посадил сын?

Для решения задачи обозначим количество кустов, посаженных сыном, через переменную.

Пусть $x$ — это количество кустов помидоров, которое посадил сын.

Из условия известно, что отец посадил в 2 раза больше кустов, чем сын. Значит, количество кустов, посаженных отцом, равно $2x$.

Вместе они посадили 108 кустов. Мы можем составить уравнение, сложив количество кустов, посаженных сыном и отцом:

$x + 2x = 108$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть:

$3x = 108$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = 108 \div 3$

$x = 36$

Следовательно, сын посадил 36 кустов помидоров.

Проверим: отец посадил $2 \cdot 36 = 72$ куста. Всего посажено $36 + 72 = 108$ кустов, что соответствует условию задачи.

Ответ: 36 кустов.

551. В два магазина завезли 268 кг шампиньонов, причём в первый магазин завезли шампиньонов в 3 раза меньше, чем во второй. Сколько килограммов шампиньонов завезли в каждый магазин?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть количество шампиньонов, завезенных в первый магазин, равно $x$ кг.

Согласно условию, в первый магазин завезли в 3 раза меньше шампиньонов, чем во второй. Это означает, что во второй магазин завезли в 3 раза больше, то есть $3x$ кг.

Общее количество шампиньонов, завезенных в оба магазина, составляет 268 кг. Мы можем составить уравнение, сложив количество шампиньонов в первом и втором магазинах:

$x + 3x = 268$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x = 268$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = 268 / 4$

$x = 67$

Итак, в первый магазин завезли 67 кг шампиньонов.

Чтобы найти, сколько килограммов шампиньонов завезли во второй магазин, умножим количество первого магазина на 3:

$3 * 67 = 201$ кг.

Выполним проверку: $67$ кг (первый магазин) + $201$ кг (второй магазин) = $268$ кг (всего). Условие выполняется.

Ответ: в первый магазин завезли 67 кг шампиньонов, во второй магазин — 201 кг.

552. В кинотеатре два зрительных зала. В первом зале зрителей было в 7 раз больше, чем во втором. Сколько зрителей находилось во втором зале, если известно, что их было на 156 меньше, чем в первом?

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения.

1. Обозначим количество зрителей во втором зале за $x$.

2. Согласно условию, в первом зале зрителей было в 7 раз больше, чем во втором. Следовательно, количество зрителей в первом зале можно выразить как $7x$.

3. Также нам известно, что во втором зале зрителей было на 156 меньше, чем в первом. Это значит, что разница между количеством зрителей в первом и втором залах равна 156. Мы можем составить уравнение:

$7x - x = 156$

4. Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$6x = 156$

$x = \frac{156}{6}$

$x = 26$

Таким образом, мы нашли, что во втором зале находилось 26 зрителей.

5. Проверим результат:

• Количество зрителей во втором зале: 26.
• Количество зрителей в первом зале: $7 \times 26 = 182$.
• Разница: $182 - 26 = 156$.

Все условия задачи выполняются.

Ответ: 26 зрителей.