Страница 131 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что значит разделить число $a$ на число $b$?

Разделить число $a$ (делимое) на число $b$ (делитель) — это значит найти такое число $c$ (частное), которое при умножении на делитель $b$ даёт в результате делимое $a$. Таким образом, деление является операцией, обратной умножению.

Математически это определение записывается следующим образом: найти $c$ такое, что
$a : b = c$, если выполняется равенство $c \cdot b = a$.

Например, рассмотрим выражение $12 : 4$. Чтобы найти частное, нужно подобрать такое число, которое при умножении на 4 даст 12. Этим числом является 3, так как $3 \cdot 4 = 12$. Следовательно, $12 : 4 = 3$.

Важно отметить, что деление на ноль не определено. Это связано с тем, что если бы мы пытались разделить число $a$ (не равное нулю) на 0, то нам бы пришлось найти такое число $c$, что $c \cdot 0 = a$. Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, поэтому такое число $c$ не существует. Таким образом, делитель $b$ не может быть равен нулю ($b \neq 0$).

Ответ: Разделить число $a$ на число $b$ (где $b \neq 0$) — значит найти такое число $c$, что его произведение на $b$ равно $a$, то есть $c \cdot b = a$.

2. Как в равенстве $a : b = c$ называют число $a$? число $b$? число $c$? выражение $a : b$?

В равенстве $a : b = c$, которое описывает операцию деления, компоненты называются следующим образом:

число a?

Число $a$ — это число, которое делят. Оно является делимым.

Ответ: делимое.

число b?

Число $b$ — это число, на которое делят. Оно является делителем.

Ответ: делитель.

число c?

Число $c$ — это результат, который получается при делении числа $a$ на число $b$. Оно называется частным.

Ответ: частное.

выражение a : b?

Выражение $a : b$ также называют частным. Это запись самой операции деления, результат которой равен числу $c$.

Ответ: частное.

3. Что показывает частное двух чисел?

Частное, получаемое в результате деления одного числа (делимого) на другое (делитель), показывает их соотношение. Это соотношение можно интерпретировать двумя основными способами:

• Во сколько раз одно число больше другого

  Если делимое больше делителя, частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом.
  Например: Частное от деления 20 на 5 равно 4.
  $20 : 5 = 4$
  Это означает, что число 20 в 4 раза больше числа 5, или что число 5 «умещается» в числе 20 ровно 4 раза ($5+5+5+5=20$).

• Какую часть одно число составляет от другого

  Если делимое меньше делителя, частное показывает, какую долю (часть) составляет делимое от делителя. В этом случае частное будет меньше единицы.
  Например: Частное от деления 3 на 6 равно 0,5.
  $3 : 6 = 0.5$ (или $\frac{1}{2}$)
  Это означает, что число 3 составляет 0,5 (то есть половину) от числа 6.

Таким образом, в общем смысле, если частное от деления числа $a$ на число $b$ равно $c$, то это означает, что $a$ так относится к $b$, как $c$ к 1. Это можно выразить формулой $a = c \cdot b$. Частное является коэффициентом, показывающим связь между двумя числами.

Ответ: Частное показывает, во сколько раз делимое больше (или меньше) делителя, либо какую часть делимое составляет от делителя.

4. На какое число делить нельзя?

В математике делить нельзя на ноль (0).

Объяснение этого правила связано с определением операции деления. Деление является операцией, обратной умножению. Это значит, что если мы делим число $a$ на число $b$ и получаем в результате $c$, то должно быть верным равенство $c \times b = a$. Например, $10 / 2 = 5$, потому что $5 \times 2 = 10$.

Теперь попробуем применить это правило к делению на ноль. Пусть мы хотим разделить какое-то число $a$ на 0 и получить результат $c$: $a / 0 = c$. Это означало бы, что $c \times 0 = a$.

Здесь возникает две неразрешимые ситуации:
1. Если $a$ не равно нулю (например, $a=5$), то мы получаем уравнение $c \times 0 = 5$. Но любое число при умножении на ноль дает ноль. Получается противоречие: $0 = 5$. Это значит, что решения нет.
2. Если $a$ равно нулю, то уравнение выглядит так: $c \times 0 = 0$. Это равенство верно для любого числа $c$. Результат не является единственным числом, он неопределен.

Поскольку деление на ноль приводит либо к противоречию, либо к неопределенности, в математике принято фундаментальное правило: на ноль делить нельзя.

Ответ: на ноль (0).

5. Как найти неизвестный множитель?

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель. Это правило является ключевым при решении уравнений, содержащих операцию умножения.

Рассмотрим это правило на общем примере. Пусть у нас есть уравнение вида:

$a \cdot x = b$

В этом уравнении компоненты называются так:
• $a$ — известный множитель;
• $x$ — неизвестный множитель (то, что мы ищем);
• $b$ — произведение.

Чтобы выразить неизвестный множитель $x$ через известные величины, нужно выполнить действие, обратное умножению, то есть деление. Мы делим произведение $b$ на известный множитель $a$.

Формула для нахождения $x$ выглядит следующим образом:

$x = b \div a$ или в виде дроби $x = \frac{b}{a}$

Пример:

Решим уравнение $9 \cdot x = 63$.

Здесь произведение равно $63$, а известный множитель — $9$.

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение на известный множитель:

$x = 63 \div 9$

$x = 7$

Для уверенности в правильности ответа можно выполнить проверку, подставив найденное значение $x=7$ в исходное уравнение:

$9 \cdot 7 = 63$

$63 = 63$

Равенство соблюдается, следовательно, неизвестный множитель найден верно.

Ответ: Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

6. Как найти неизвестное делимое?

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо знать два других компонента действия деления — делитель и частное. Правило нахождения делимого зависит от того, есть ли в результате деления остаток.

1. Нахождение делимого при делении без остатка

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Это правило можно выразить формулой. Пусть $a$ — неизвестное делимое, $b$ — делитель, а $c$ — частное. Тогда их связь выглядит так:

$a \div b = c$

Для нахождения $a$ используется формула:

$a = c \times b$

Пример:

Найдем неизвестное делимое в уравнении $x \div 9 = 4$.

• $x$ — неизвестное делимое
• $9$ — делитель
• $4$ — частное

Применяем правило: умножаем частное на делитель.

$x = 4 \times 9$

$x = 36$

Проверка: $36 \div 9 = 4$. Решение верное.

2. Нахождение делимого при делении с остатком

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

Формула для этого случая, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — неполное частное, а $r$ — остаток:

$a = c \times b + r$

Важное условие: остаток всегда должен быть меньше делителя ($r < b$).

Пример:

Найдем неизвестное делимое, если при его делении на $5$ получилось неполное частное $7$ и остаток $3$. Это можно записать как $x \div 5 = 7 \text{ (ост. } 3 \text{)}$.

Применяем правило: неполное частное ($7$) умножаем на делитель ($5$) и прибавляем остаток ($3$).

$x = 7 \times 5 + 3$

$x = 35 + 3$

$x = 38$

Проверка: $38 \div 5 = 7$. $7 \times 5 = 35$. $38 - 35 = 3$. Остаток $3$. Решение верное.

Ответ: Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель. Если деление происходит с остатком, то нужно неполное частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток.

7. Как найти неизвестный делитель?

Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Вспомним, как называются числа при делении. В общем виде это можно записать формулой:

$a : b = c$

• $a$ — это делимое (то число, которое мы делим).
• $b$ — это делитель (то число, на которое мы делим).
• $c$ — это частное (результат деления).

Если нам неизвестен делитель ($b$), то, чтобы его найти, нужно делимое ($a$) разделить на частное ($c$).

Формула для нахождения неизвестного делителя:

$b = a : c$

Пример:

Рассмотрим уравнение: $36 : x = 9$.

В этом уравнении:

• Делимое равно 36.
• Делитель — это неизвестное число $x$.
• Частное равно 9.

Применяем правило: чтобы найти неизвестный делитель ($x$), нужно делимое (36) разделить на частное (9).

$x = 36 : 9$

$x = 4$

Проверим: $36 : 4 = 9$. Решение верное.

Ответ: Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

1. Выполните деление:

1) $432 : 4;$

2) $609 : 3;$

3) $3600 : 6;$

4) $1500 : 50.$

1) Для выполнения деления $432 : 4$ будем действовать пошагово, используя метод деления в столбик:

1. Делим первую цифру делимого (сотни) на делитель: $4 : 4 = 1$. Записываем $1$ в частное. Умножаем $1$ на $4$, получаем $4$. Вычитаем $4$ из $4$, получаем остаток $0$.

2. Сносим следующую цифру делимого (десятки) – это $3$. Так как $3$ меньше $4$, то при делении $3$ на $4$ получаем $0$. Записываем $0$ в частное. Остаток от деления $3$.

3. Сносим последнюю цифру делимого (единицы) – это $2$. Получаем число $32$. Делим $32$ на $4$: $32 : 4 = 8$. Записываем $8$ в частное.

В результате получаем число $108$.

Проверка: $108 \times 4 = (100 + 8) \times 4 = 400 + 32 = 432$.

Ответ: 108

2) Для выполнения деления $609 : 3$ будем действовать пошагово:

1. Делим первую цифру делимого (сотни) на делитель: $6 : 3 = 2$. Записываем $2$ в частное.

2. Делим вторую цифру делимого (десятки) на делитель: $0 : 3 = 0$. Записываем $0$ в частное.

3. Делим третью цифру делимого (единицы) на делитель: $9 : 3 = 3$. Записываем $3$ в частное.

В результате получаем число $203$.

Проверка: $203 \times 3 = (200 + 3) \times 3 = 600 + 9 = 609$.

Ответ: 203

3) Для выполнения деления $3600 : 6$ можно упростить вычисление:

Представим $3600$ как $36 \times 100$. Тогда выражение примет вид: $(36 \times 100) : 6$.

Используя свойство деления произведения на число, мы можем сначала разделить $36$ на $6$, а затем умножить результат на $100$.

$36 : 6 = 6$.

Теперь умножаем результат на $100$: $6 \times 100 = 600$.

Таким образом, $3600 : 6 = 600$.

Проверка: $600 \times 6 = 3600$.

Ответ: 600

4) Для выполнения деления $1500 : 50$ удобно сначала сократить нули:

Так как и делимое ($1500$), и делитель ($50$) заканчиваются на ноль, мы можем разделить оба числа на $10$, что равносильно отбрасыванию одного нуля у каждого числа. При этом частное не изменится.

$1500 : 50 = 150 : 5$.

Теперь выполним деление $150$ на $5$. Можно представить $150$ как $15$ десятков.

$15$ десятков : $5 = 3$ десятка, что равно $30$.

Таким образом, $150 : 5 = 30$.

Проверка: $30 \times 50 = 1500$.

Ответ: 30

2. Догоняя Сашу, Слава бежит со скоростью 180 м/мин. Чему равна скорость Саши, если мальчики сближаются со скоростью 12 м/мин?

Это задача на относительную скорость при движении в одном направлении (движение вдогонку). Скорость сближения в этом случае равна разности скоростей объектов.

Обозначим скорость Славы как $v_1$, а скорость Саши как $v_2$. Скорость их сближения обозначим как $v_{сбл}$.

Из условия задачи нам известно:
Скорость Славы: $v_1 = 180$ м/мин.
Скорость сближения: $v_{сбл} = 12$ м/мин.

Так как Слава догоняет Сашу, его скорость больше. Формула для скорости сближения выглядит так:
$v_{сбл} = v_1 - v_2$

Чтобы найти скорость Саши ($v_2$), нам нужно преобразовать эту формулу:
$v_2 = v_1 - v_{сбл}$

Теперь подставим известные значения в формулу:
$v_2 = 180 \text{ м/мин} - 12 \text{ м/мин} = 168 \text{ м/мин}$

Таким образом, скорость Саши равна 168 м/мин.

Ответ: 168 м/мин.

3. Два автомобиля двигаются навстречу друг другу, причём один из них со скоростью 74 км/ч. Чему равна скорость второго автомобиля, если они сближаются со скоростью 150 км/ч?

Скорость сближения двух объектов, движущихся навстречу друг другу, равна сумме их скоростей. Обозначим скорость первого автомобиля как $v_1$, а скорость второго — как $v_2$. Скорость их сближения обозначим как $v_{сбл}$.

Из условия задачи нам известно:
$v_1 = 74$ км/ч
$v_{сбл} = 150$ км/ч

Формула для нахождения скорости сближения выглядит следующим образом:
$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Чтобы найти скорость второго автомобиля ($v_2$), необходимо из общей скорости сближения вычесть скорость первого автомобиля:
$v_2 = v_{сбл} - v_1$

Подставим известные значения и выполним вычисление:
$v_2 = 150 - 74 = 76$ (км/ч)

Ответ: 76 км/ч.

4. Чтобы быть здоровым, человек ежедневно должен употреблять 3 г белка на каждые 4 кг своей массы. Сколько граммов белка нужно получать в день человеку, масса которого составляет 72 кг?

Чтобы решить задачу, можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: По действиям

1. Сначала выясним, сколько раз в массе человека (72 кг) содержится по 4 кг. Для этого разделим общую массу на 4 кг.

$72 : 4 = 18$

Таким образом, масса человека состоит из 18 "частей" по 4 кг каждая.

2. По условию, на каждую такую "часть" в 4 кг требуется 3 г белка. Чтобы найти общее количество белка, умножим количество частей (18) на норму белка для одной части (3 г).

$18 \times 3 = 54$ (г)

Следовательно, человеку массой 72 кг необходимо 54 грамма белка в день.

Способ 2: Через пропорцию

Составим пропорцию, где $x$ — искомое количество граммов белка для человека массой 72 кг.

4 кг массы — 3 г белка

72 кг массы — $x$ г белка

Запишем отношение:

$\frac{4}{72} = \frac{3}{x}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x = \frac{72 \times 3}{4}$

$x = \frac{216}{4}$

$x = 54$ (г)

Ответ: 54 г

Существует ли такое значение a, при котором верно равенство:

1) $a : 9 = 0;$

2) $16 : a = 0;$

3) $a : a = 0;$

4) $0 : a = 5?$

1) a : 9 = 0;
Чтобы найти неизвестное делимое $a$, нужно частное (0) умножить на делитель (9).
$a = 0 \times 9$
$a = 0$
Проверка: подставив $a = 0$ в исходное равенство, получаем $0 : 9 = 0$, что является верным. Таким образом, искомое значение $a$ существует.
Ответ: Да, существует, при $a = 0$.

2) 16 : a = 0;
В данном равенстве $a$ является делителем. По определению деления, делитель не может быть равен нулю ($a \neq 0$). Чтобы равенство было верным, произведение частного (0) на делитель ($a$) должно быть равно делимому (16).
$0 \times a = 16$
$0 = 16$
Это равенство ложно при любом значении $a$. Следовательно, не существует такого значения $a$, при котором исходное равенство было бы верным.
Ответ: Нет, не существует.

3) a : a = 0;
Во-первых, операция деления на $a$ подразумевает, что $a \neq 0$.
Во-вторых, при делении любого ненулевого числа на само себя результат всегда равен 1.
$a : a = 1$ (при $a \neq 0$)
Таким образом, равенство $a : a = 0$ превращается в неверное утверждение $1 = 0$. Значит, не существует такого значения $a$, при котором данное равенство было бы верным.
Ответ: Нет, не существует.

4) 0 : a = 5?
Здесь $a$ является делителем, поэтому $a \neq 0$.
При делении нуля на любое число, отличное от нуля, результат всегда равен нулю.
$0 : a = 0$ (при $a \neq 0$)
Следовательно, исходное равенство $0 : a = 5$ приводит к неверному утверждению $0 = 5$. Таким образом, не существует значения $a$, при котором данное равенство было бы верным.
Ответ: Нет, не существует.

505. Известно, что $243 \cdot 425 = 103275$. Чему равно значение выражения:

1) $103275 : 243$;

2) $103275 : 425$?

Эта задача основана на взаимосвязи между умножением и делением. Деление является обратной операцией умножению. Если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то в результате получится другой множитель.

В общем виде это можно записать так: если $a \cdot b = c$, то отсюда следует, что $c : a = b$ и $c : b = a$.

В условии задачи дано равенство: $243 \cdot 425 = 103275$.

В данном равенстве:

• Первый множитель: $243$
• Второй множитель: $425$
• Произведение: $103275$

Используя это правило, найдем значения выражений.

1) 103 275 : 243;

В этом выражении мы делим произведение ($103275$) на первый множитель ($243$). Согласно правилу, в результате мы должны получить второй множитель.

Следовательно, $103275 : 243 = 425$.

Ответ: 425

2) 103 275 : 425?

В этом выражении мы делим произведение ($103275$) на второй множитель ($425$). Согласно правилу, в результате мы должны получить первый множитель.

Следовательно, $103275 : 425 = 243$.

Ответ: 243

506. Известно, что $4608 : 48 = 96$. Чему равно значение выражения:

1) $96 : 48$;

2) $4608 : 96$?

Данная задача решается с использованием взаимосвязи между компонентами деления. Известно, что $4608 \text{ (делимое)} : 48 \text{ (делитель)} = 96 \text{ (частное)}$. Это позволяет нам найти значения предложенных выражений без прямого вычисления.

1) $96 \cdot 48$;
Это выражение является произведением частного ($96$) и делителя ($48$). По определению деления, произведение частного и делителя равно делимому.
$96 \cdot 48 = 4608$
Ответ: 4608

2) $4608 : 96$?
Это выражение является частным от деления делимого ($4608$) на частное ($96$). По свойству деления, если делимое разделить на частное, то в результате получится делитель.
$4608 : 96 = 48$
Ответ: 48

507. Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо использовать связь между делимым, делителем и частным. Эти величины связаны следующей формулой: $Делимое / Делитель = Частное$.

Из этой формулы можно найти любой неизвестный компонент:

• Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель: $Делимое = Частное * Делитель$.
• Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное: $Делитель = Делимое / Частное$.

Выполним расчеты для каждого столбца с пропущенным значением.

Столбец 2

В этом столбце известны делимое (96) и частное (8). Нам нужно найти делитель. Для этого разделим делимое на частное.

$96 / 8 = 12$

Ответ: 12

Столбец 3

Здесь известны делитель (6) и частное (14). Нам нужно найти делимое. Для этого умножим делитель на частное.

$6 * 14 = 84$

Ответ: 84

Столбец 4

В этом столбце известны делимое (0) и делитель (264). Нам нужно найти частное. Для этого разделим делимое на делитель. При делении нуля на любое число, не равное нулю, в результате получается ноль.

$0 / 264 = 0$

Ответ: 0

Столбец 5

Здесь известны делитель (128) и частное (0). Нам нужно найти делимое. Для этого умножим делитель на частное. При умножении любого числа на ноль в результате получается ноль.

$128 * 0 = 0$

Ответ: 0

Столбец 6

В этом столбце известны делимое (945) и делитель (1). Нам нужно найти частное. При делении любого числа на 1 в результате получается то же самое число.

$945 / 1 = 945$

Ответ: 945

Столбец 7

Здесь известны делимое (637) и частное (1). Нам нужно найти делитель. Для этого разделим делимое на частное. При делении любого числа на 1 в результате получается то же самое число.

$637 / 1 = 637$

Ответ: 637

Столбец 8

В этом столбце известны делимое (3232) и делитель (16). Нам нужно найти частное. Разделим делимое на делитель.

$3232 / 16 = 202$

Ответ: 202