Страница 134 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

531. Из двух городов, расстояние между которыми равно 136 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Первый велосипедист двигался со скоростью 16 км/ч. С какой скоростью ехал второй велосипедист, если они встретились через 4 ч после выезда?

Для решения задачи введём обозначения:
- $S$ – расстояние между городами, равное 136 км;
- $v_1$ – скорость первого велосипедиста, равная 16 км/ч;
- $t$ – время до встречи, равное 4 ч;
- $v_2$ – искомая скорость второго велосипедиста.

Решение можно выполнить в несколько шагов.

1. Сначала найдем расстояние $S_1$, которое проехал первый велосипедист до момента встречи. Для этого умножим его скорость на время в пути:
$S_1 = v_1 \cdot t = 16 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 64$ км.

2. Так как велосипедисты ехали навстречу друг другу и встретились, то суммарно они проехали всё расстояние между городами. Чтобы найти расстояние $S_2$, которое проехал второй велосипедист, нужно из общего расстояния вычесть путь первого велосипедиста:
$S_2 = S - S_1 = 136 \text{ км} - 64 \text{ км} = 72$ км.

3. Второй велосипедист проехал 72 км за то же время, что и первый, то есть за 4 часа. Теперь мы можем вычислить его скорость $v_2$, разделив пройденное им расстояние на время:
$v_2 = S_2 / t = 72 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 18$ км/ч.

Другой способ решения — через скорость сближения. Скорость сближения $v_{сбл}$ — это сумма скоростей двух велосипедистов, так как они движутся навстречу друг другу.

1. Найдём скорость сближения, разделив общее расстояние на время до встречи:
$v_{сбл} = S / t = 136 \text{ км} / 4 \text{ ч} = 34$ км/ч.

2. Скорость сближения равна сумме скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Отсюда можно выразить скорость второго велосипедиста:
$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 34 \text{ км/ч} - 16 \text{ км/ч} = 18$ км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

532. Расстояние между двумя городами равно 1264 мили ($1 \text{ сухопутная миля} = 1609 \text{ м}$). Из них одновременно вылетели навстречу друг другу на коврах-самолётах джинн и Аладдин и встретились через 8 ч после вылета. Скорость одного из ковров-самолётов 82 миль/ч. С какой скоростью летел второй ковёр-самолёт?

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) можно найти, разделив общее расстояние ($S$) на время ($t$), через которое джинн и Аладдин встретились.

Дано:

Расстояние $S = 1264$ мили.

Время $t = 8$ часов.

Скорость сближения вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = S / t = 1264 / 8 = 158$ миль/ч.

2. Найдем скорость второго ковра-самолёта.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме скоростей первого ($v_1$) и второго ($v_2$) ковров-самолётов.

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Из условия известно, что скорость одного из ковров-самолётов $v_1 = 82$ миль/ч. Теперь мы можем найти скорость второго ковра-самолёта ($v_2$):

$v_2 = v_{сбл} - v_1$

$v_2 = 158 - 82 = 76$ миль/ч.

Ответ: 76 миль/ч.

533. С двух станций, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно в одном направлении отправились два поезда. Впереди двигался поезд со скоростью 58 км/ч. Через 4 ч после начала движения его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ — начальное расстояние между станциями, равное 24 км.
$v_1$ — скорость первого поезда (который двигался впереди), равная 58 км/ч.
$v_2$ — искомая скорость второго поезда.
$t$ — время, через которое второй поезд догнал первый, равное 4 ч.

Поскольку поезда движутся в одном направлении и второй поезд догоняет первый, скорость второго поезда должна быть больше скорости первого. Разница между их скоростями называется скоростью сближения.

Скорость сближения ($v_{сбл}$) вычисляется по формуле:
$v_{сбл} = v_2 - v_1$

За время $t$ второй поезд должен преодолеть начальное расстояние $S$ между ними со скоростью сближения $v_{сбл}$. Связь между расстоянием, скоростью и временем выражается формулой:
$S = v_{сбл} \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для скорости сближения:
$S = (v_2 - v_1) \cdot t$

Теперь подставим известные нам значения:
$24 = (v_2 - 58) \cdot 4$

Решим полученное уравнение относительно $v_2$. Сначала найдем скорость сближения, разделив обе части уравнения на 4:
$v_2 - 58 = \frac{24}{4}$
$v_2 - 58 = 6$

Теперь выразим $v_2$:
$v_2 = 6 + 58$
$v_2 = 64$

Таким образом, скорость второго поезда равна 64 км/ч.

Ответ: 64 км/ч.

534. Расстояние между сёлами Грушевое и Яблоневое равно $30 \text{ км}$. Из этих сёл одновременно в одном направлении отправились казаки Серошапка и Черноус. Черноус скакал на коне со скоростью $9 \text{ км/ч}$ и через $6 \text{ ч}$ после начала движения догнал Серошапку, который шёл пешком. С какой скоростью шёл Серошапка?

Для решения задачи нужно определить, какое расстояние прошел каждый из казаков за 6 часов. Поскольку Черноус догонял Серошапку, он двигался сзади и с большей скоростью.

1. Найдем расстояние, которое проскакал Черноус за 6 часов до встречи. Для этого умножим его скорость на время в пути:

$S_{Черноус} = 9 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 54 \text{ км}$.

2. В начале пути Серошапка был впереди Черноуса на 30 км. Это означает, что за те же 6 часов он прошел расстояние, которое равно разности между путем Черноуса и начальным расстоянием между ними:

$S_{Серошапка} = S_{Черноус} - 30 \text{ км} = 54 \text{ км} - 30 \text{ км} = 24 \text{ км}$.

3. Теперь, зная, что Серошапка прошел 24 км за 6 часов, мы можем найти его скорость, разделив пройденное расстояние на время:

$v_{Серошапка} = \frac{S_{Серошапка}}{t} = \frac{24 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.

Ответ: 4 км/ч.

535. Расстояние между городками Сен-Жермен и Сен-Антуан равно 12 лье (старинная французская единица длины, 1 лье приблизительно равно 4444 м). Из этих городков одновременно в одном направлении выехали Портос со скоростью 1 лье/ч и д'Артаньян со скоростью 3 лье/ч, причём Портос скакал впереди. Через сколько часов после выезда д'Артаньян догонит Портоса?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое д'Артаньян догонит Портоса, нужно определить, с какой скоростью д'Артаньян сокращает расстояние до Портоса (это называется скоростью сближения), а затем разделить начальное расстояние между ними на эту скорость.

Введем обозначения:

• $S$ — начальное расстояние между персонажами, $S = 12$ лье.
• $v_П$ — скорость Портоса, $v_П = 1$ лье/ч.
• $v_Д$ — скорость д'Артаньяна, $v_Д = 3$ лье/ч.
• $t$ — время, через которое произойдет встреча.

1. Найдем скорость сближения ($v_{сбл}$). Поскольку д'Артаньян движется быстрее и в том же направлении, что и Портос, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_Д - v_П = 3 \text{ лье/ч} - 1 \text{ лье/ч} = 2 \text{ лье/ч}$

2. Теперь, зная начальное расстояние и скорость сближения, найдем время, за которое д'Артаньян догонит Портоса. Для этого нужно разделить расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{12 \text{ лье}}{2 \text{ лье/ч}} = 6 \text{ часов}$

Информация о том, что 1 лье приблизительно равно 4444 м, для решения данной задачи не требуется, так как все величины даны в одной и той же системе единиц (лье и часы).

Ответ: д'Артаньян догонит Портоса через 6 часов.

536. Расстояние между островами Акулий и Китовый равно 48 морским милям (1 морская миля = 1852 м). От этих островов одновременно в одном направлении отчалили фрегаты «Отважный» и «Стремительный», причём «Отважный» плыл впереди «Стремительного». Скорость «Отважного» равна 12 миль/ч, а «Стремительного» — 18 миль/ч. Через сколько часов «Стремительный» догонит фрегат «Отважный»?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти время, через которое фрегат «Стремительный» догонит фрегат «Отважный», необходимо найти их скорость сближения, а затем разделить на нее начальное расстояние между ними.

1. Найдём скорость сближения фрегатов.

Поскольку фрегаты движутся в одном направлении, скорость сближения равна разности их скоростей. Скорость «Отважного» $v_О = 12$ миль/ч, а скорость «Стремительного» $v_С = 18$ миль/ч.

$v_{сближения} = v_С - v_О = 18 \text{ миль/ч} - 12 \text{ миль/ч} = 6 \text{ миль/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между фрегатами сокращается на 6 морских миль.

2. Найдём время, за которое «Стремительный» догонит «Отважного».

Начальное расстояние между фрегатами $S = 48$ морских миль. Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость сближения.

$t = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{48 \text{ миль}}{6 \text{ миль/ч}} = 8 \text{ часов}$

Ответ: через 8 часов.

537. Буратино живёт на расстоянии 1 км 200 м от школы. Уроки в школе начинаются в 8 ч 30 мин. Буратино делает за минуту 120 шагов, длина шага — 40 см. В котором часу Буратино должен выходить из дома, чтобы приходить в школу за 10 мин до начала занятий?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько действий: рассчитать скорость движения Буратино, найти общее время в пути, определить время прибытия в школу и, наконец, вычислить время выхода из дома.

1. Сначала приведем все единицы измерения к единой системе. Расстояние до школы составляет 1 км 200 м. Переведем его в метры:

$1 \text{ км } 200 \text{ м } = 1000 \text{ м } + 200 \text{ м } = 1200 \text{ м}$.

Длина шага Буратино равна 40 см. Переведем эту величину в метры:

$40 \text{ см } = 0.4 \text{ м}$.

2. Теперь определим скорость Буратино. Он делает 120 шагов в минуту, и длина каждого шага составляет 0.4 метра. Чтобы найти расстояние, которое он проходит за минуту (т.е. его скорость), умножим количество шагов на длину шага:

Скорость = $120 \text{ шагов/мин} \times 0.4 \text{ м/шаг} = 48 \text{ м/мин}$.

3. Зная общее расстояние до школы (1200 м) и скорость Буратино (48 м/мин), найдем время, которое он потратит на дорогу:

Время = $\frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} = \frac{1200 \text{ м}}{48 \text{ м/мин}} = 25 \text{ минут}$.

Итак, путь до школы занимает у Буратино 25 минут.

4. По условию, Буратино должен прийти в школу за 10 минут до начала занятий. Занятия начинаются в 8 ч 30 мин. Следовательно, время прибытия в школу должно быть:

8 ч 30 мин - 10 мин = 8 ч 20 мин.

5. Наконец, чтобы найти время, когда Буратино должен выйти из дома, отнимем время в пути от желаемого времени прибытия:

Время выхода = 8 ч 20 мин - 25 мин.

Для удобства вычислений представим 8 ч 20 мин как 7 ч 80 мин (поскольку 1 час = 60 минут):

$7 \text{ ч } 80 \text{ мин } - 25 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 55 \text{ мин }$.

Ответ: Буратино должен выходить из дома в 7 ч 55 мин.

538. Дежурные первого отряда за 6 мин чистят 24 картофелины, а дежурные второго отряда за 9 мин — 45 картофелин. За сколько минут совместной работы они почистят 198 картофелин?

Для решения этой задачи нужно сначала определить производительность (скорость работы) каждого отряда по отдельности, затем найти их общую производительность и, наконец, рассчитать время, необходимое для выполнения всей работы.

1. Производительность первого отряда

Первый отряд чистит 24 картофелины за 6 минут. Чтобы найти, сколько картофелин они чистят за одну минуту, нужно разделить количество картофелин на время:

$v_1 = 24 \div 6 = 4$ (картофелины в минуту)

2. Производительность второго отряда

Второй отряд чистит 45 картофелин за 9 минут. Их производительность в минуту составляет:

$v_2 = 45 \div 9 = 5$ (картофелин в минуту)

3. Совместная производительность

Когда отряды работают вместе, их производительности складываются. Найдем их общую скорость работы:

$v_{общая} = v_1 + v_2 = 4 + 5 = 9$ (картофелин в минуту)

4. Время на выполнение всей работы

Теперь, зная общую производительность, можно найти время, за которое они вместе почистят 198 картофелин. Для этого нужно общее количество картофелин разделить на совместную производительность:

$T = 198 \div v_{общая} = 198 \div 9 = 22$ (минуты)

Ответ: 22 минуты.

539. На сколько дней школьной столовой хватит 800 л сока, если учащиеся пятых классов за 8 дней выпивают 960 л сока, а учащиеся шестых классов за 6 дней — 480 л?

Для решения задачи необходимо сначала определить, сколько сока в день выпивают учащиеся пятых и шестых классов по отдельности, затем найти их общее дневное потребление и, наконец, рассчитать, на сколько дней хватит имеющегося запаса сока.

1. Рассчитаем, сколько литров сока в день выпивают учащиеся пятых классов.

Известно, что они выпивают 960 литров за 8 дней. Чтобы найти дневное потребление, нужно разделить общий объем на количество дней:

$960 \div 8 = 120$ (л/день) – выпивают учащиеся пятых классов.

2. Рассчитаем, сколько литров сока в день выпивают учащиеся шестых классов.

Известно, что они выпивают 480 литров за 6 дней. Чтобы найти дневное потребление, нужно разделить общий объем на количество дней:

$480 \div 6 = 80$ (л/день) – выпивают учащиеся шестых классов.

3. Найдем общее количество сока, которое выпивают все учащиеся за один день.

Для этого сложим дневное потребление учащихся пятых и шестых классов:

$120 + 80 = 200$ (л/день) – общее дневное потребление сока в столовой.

4. Определим, на сколько дней хватит 800 литров сока.

Для этого разделим имеющийся запас сока на общее дневное потребление:

$800 \div 200 = 4$ (дня).

Ответ: 800 литров сока школьной столовой хватит на 4 дня.