Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

487. Найдите значение выражения:

1) $3^3$;

2) $7^2$;

3) $5^4$;

4) $2^5$;

5) $0^6$;

6) $1^{12}$.

1) Чтобы найти значение выражения $3^3$ (три в третьей степени или три в кубе), необходимо умножить основание степени, число 3, само на себя столько раз, сколько указывает показатель степени, то есть 3 раза.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Ответ: 27

2) Чтобы найти значение выражения $7^2$ (семь во второй степени или семь в квадрате), необходимо умножить число 7 само на себя 2 раза.
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Ответ: 49

3) Чтобы найти значение выражения $5^4$ (пять в четвертой степени), необходимо умножить число 5 само на себя 4 раза.
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$.
Ответ: 625

4) Чтобы найти значение выражения $2^5$ (два в пятой степени), необходимо умножить число 2 само на себя 5 раз.
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Ответ: 32

5) Чтобы найти значение выражения $0^6$ (ноль в шестой степени), необходимо умножить число 0 само на себя 6 раз. Произведение, в котором хотя бы один из множителей равен нулю, равно нулю.
$0^6 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

6) Чтобы найти значение выражения $1^{12}$ (один в двенадцатой степени), необходимо умножить число 1 само на себя 12 раз. Единица, умноженная сама на себя любое количество раз, всегда будет равна единице.
$1^{12} = 1$.
Ответ: 1

488. Найдите значение выражения:

1) $9^3$;

2) $12^2$;

3) $2^4$;

4) $1^{100}$;

5) $100^1$;

6) $10^3$.

1) Чтобы найти значение выражения $9^3$ (девять в кубе), необходимо умножить число 9 само на себя три раза.
$9^3 = 9 \times 9 \times 9$
Сначала умножим первые два множителя: $9 \times 9 = 81$.
Затем результат умножим на третий множитель: $81 \times 9 = 729$.
Таким образом, $9^3 = 729$.
Ответ: 729

2) Чтобы найти значение выражения $12^2$ (двенадцать в квадрате), необходимо умножить число 12 само на себя.
$12^2 = 12 \times 12 = 144$.
Ответ: 144

3) Чтобы найти значение выражения $2^4$ (два в четвертой степени), необходимо умножить число 2 само на себя четыре раза.
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$
$2 \times 2 = 4$
$4 \times 2 = 8$
$8 \times 2 = 16$.
Таким образом, $2^4 = 16$.
Ответ: 16

4) Выражение $1^{100}$ (один в сотой степени) означает, что число 1 умножается само на себя 100 раз. По свойству степени, единица в любой натуральной степени равна единице.
$1^{100} = 1 \times 1 \times \dots \times 1 \text{ (100 раз)} = 1$.
Ответ: 1

5) Выражение $100^1$ (сто в первой степени) означает, что число 100 берется в качестве множителя один раз. По свойству степени, любое число в первой степени равно самому себе.
$100^1 = 100$.
Ответ: 100

6) Чтобы найти значение выражения $10^3$ (десять в кубе), необходимо умножить число 10 само на себя три раза.
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 100 \times 10 = 1000$.
Также можно заметить, что степень числа 10 указывает на количество нулей после единицы.
Ответ: 1000

489. Вычислите:

1) $10^2 - 7^2$;

2) $5^3 - 5^2$;

3) $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$;

4) $8^3 : 4^2 - 2^3$;

5) $25^2 : (24^2 + 7^2)$;

6) $10^3 - 10^2 + 9^3$.

1) Чтобы вычислить $10^2 - 7^2$, сначала возведем числа в квадрат, а затем выполним вычитание.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$100 - 49 = 51$
Также можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$10^2 - 7^2 = (10 - 7)(10 + 7) = 3 \cdot 17 = 51$
Ответ: 51

2) Вычислим значение выражения $5^3 - 5^2$.
Возведем числа в степень:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Выполним вычитание:
$125 - 25 = 100$
Альтернативный способ — вынести общий множитель за скобки:
$5^3 - 5^2 = 5^2 \cdot (5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100$
Ответ: 100

3) Решим выражение $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$, соблюдая порядок действий.
1. Возведение в степень:
$42^2 = 1764$
$4^2 = 16$
Выражение принимает вид: $1764 : 14 - 16 \cdot 6$.
2. Деление и умножение (слева направо):
$1764 : 14 = 126$
$16 \cdot 6 = 96$
3. Вычитание:
$126 - 96 = 30$
Можно упростить деление: $42^2 : 14 = (42 \cdot 42) : 14 = 42 \cdot (42 : 14) = 42 \cdot 3 = 126$.
Тогда $126 - 16 \cdot 6 = 126 - 96 = 30$.
Ответ: 30

4) Вычислим $8^3 : 4^2 - 2^3$.
Представим основания степеней как степени числа 2:
$8 = 2^3$, $4 = 2^2$.
Тогда выражение можно переписать так:
$(2^3)^3 : (2^2)^2 - 2^3$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$2^{3 \cdot 3} : 2^{2 \cdot 2} - 2^3 = 2^9 : 2^4 - 2^3$
Используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$2^{9-4} - 2^3 = 2^5 - 2^3$
Теперь вычислим значения степеней и выполним вычитание:
$2^5 = 32$
$2^3 = 8$
$32 - 8 = 24$
Ответ: 24

5) Вычислим $25^2 : (24^2 + 7^2)$.
Первым действием выполним вычисления в скобках.
$24^2 = 576$
$7^2 = 49$
$24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
Теперь выражение выглядит так: $25^2 : 625$.
Вычислим $25^2$:
$25^2 = 625$
Выполним деление:
$625 : 625 = 1$
Заметим, что числа 7, 24 и 25 образуют пифагорову тройку, то есть $7^2 + 24^2 = 25^2$.
Поэтому выражение можно сразу записать как $25^2 : 25^2 = 1$.
Ответ: 1

6) Вычислим $10^3 - 10^2 + 9^3$.
Сначала возведем числа в степень:
$10^3 = 1000$
$10^2 = 100$
$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$
Теперь выполним действия вычитания и сложения слева направо:
$1000 - 100 + 729 = 900 + 729 = 1629$
Ответ: 1629

490. Вычислите:

1) $3^2 + 4^2;$

2) $3^3 + 2^3;$

3) $6^3 - 2 \cdot 4^3 - 1^3;$

4) $8^3 : (4^2 - 2^3).$

1) Для вычисления значения выражения $3^2 + 4^2$ необходимо сначала возвести числа в степень, а затем сложить полученные результаты.

Первый шаг – возведение в квадрат:

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

Второй шаг – сложение:

$9 + 16 = 25$

Ответ: 25

2) Для вычисления значения выражения $3^3 + 2^3$ необходимо сначала возвести числа в степень, а затем сложить полученные результаты.

Первый шаг – возведение в куб:

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Второй шаг – сложение:

$27 + 8 = 35$

Ответ: 35

3) Для вычисления значения выражения $6^3 - 2 \cdot 4^3 - 1^3$ необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.

Первый шаг – возведение в степень:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$1^3 = 1$

Подставим полученные значения в выражение:

$216 - 2 \cdot 64 - 1$

Второй шаг – умножение:

$2 \cdot 64 = 128$

Теперь выражение выглядит так:

$216 - 128 - 1$

Третий шаг – вычитание (слева направо):

$216 - 128 = 88$

$88 - 1 = 87$

Ответ: 87

4) Для вычисления значения выражения $8^3 : (4^2 - 2^3)$ необходимо сначала выполнить действия в скобках, а затем деление.

Первый шаг – вычисления в скобках. Внутри скобок сначала выполняем возведение в степень, а затем вычитание.

$4^2 = 16$

$2^3 = 8$

$16 - 8 = 8$

Теперь выражение выглядит так:

$8^3 : 8$

Второй шаг – возведение в степень:

$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$

Третий шаг – деление:

$512 : 8 = 64$

Также можно было решить, используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$8^3 : 8 = 8^3 : 8^1 = 8^{3-1} = 8^2 = 64$

Ответ: 64

491. Какие из данных чисел равны квадрату натурального числа: 16, 19, 54, 64, 100, 900, 1000, 4000, 250 000?

Квадрат натурального числа — это результат умножения натурального числа (например, 1, 2, 3, ...) на само себя. Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются квадратами натуральных чисел (также их называют полными квадратами), необходимо найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $n^2 = \text{данное число}$. Проверим каждое число из списка.

16
Число 16 является квадратом натурального числа 4, так как $4^2 = 16$.

19
Число 19 не является квадратом натурального числа. Оно находится между квадратами последовательных чисел 4 и 5: $4^2 = 16$, а $5^2 = 25$.

54
Число 54 не является квадратом натурального числа. Оно находится между квадратами последовательных чисел 7 и 8: $7^2 = 49$, а $8^2 = 64$.

64
Число 64 является квадратом натурального числа 8, так как $8^2 = 64$.

100
Число 100 является квадратом натурального числа 10, так как $10^2 = 100$.

900
Число 900 является квадратом натурального числа 30. Это можно проверить, представив 900 как $9 \cdot 100$. Так как $9=3^2$ и $100=10^2$, то $900 = 3^2 \cdot 10^2 = (3 \cdot 10)^2 = 30^2$.

1000
Число 1000 не является квадратом натурального числа. Чтобы число, оканчивающееся на нули, было полным квадратом, количество нулей на конце должно быть четным. У числа 1000 три нуля (нечетное число).

4000
Число 4000 не является квадратом натурального числа по той же причине: у него нечетное количество нулей на конце (три).

250 000
Число 250 000 является квадратом натурального числа. Количество нулей на конце четное (четыре), а число 25, стоящее перед нулями, является квадратом ($25 = 5^2$). Проверим: $250000 = 25 \cdot 10000 = 5^2 \cdot 100^2 = (5 \cdot 100)^2 = 500^2$.

Ответ: 16, 64, 100, 900, 250 000.

492. Какие из данных чисел равны кубу натурального числа: 1, 6, 8, 25, 27, 49, 1000?

Чтобы определить, какие из данных чисел являются кубом натурального числа, необходимо проверить, можно ли представить каждое число в виде $n^3$, где $n$ — это натуральное число (1, 2, 3, ...).

Проверим каждое из предложенных чисел:
- Число 1 является кубом натурального числа 1, так как $1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
- Число 6 не является кубом натурального числа. Мы знаем, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Не существует натурального числа между 1 и 2, куб которого был бы равен 6.
- Число 8 является кубом натурального числа 2, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
- Число 25 не является кубом натурального числа. Мы знаем, что $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$. Число 25 находится между этими двумя кубами. Стоит отметить, что 25 является квадратом числа 5 ($5^2 = 25$).
- Число 27 является кубом натурального числа 3, так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
- Число 49 не является кубом натурального числа. Мы знаем, что $3^3 = 27$ и $4^3 = 64$. Число 49 находится между этими двумя кубами. Стоит отметить, что 49 является квадратом числа 7 ($7^2 = 49$).
- Число 1000 является кубом натурального числа 10, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Следовательно, из данного списка кубами натуральных чисел являются 1, 8, 27 и 1000.

Ответ: 1, 8, 27, 1000.

493. Найдите значение выражения:

1) $16 - c^3$, если $c = 2$;

2) $x^3 - x^2$, если $x = 10$;

3) $15a^2$, если $a = 4$;

4) $a^2b^3$, если $a = 6, b = 10$;

5) $(x^2 - y^2) : (x - y)$, если $x = 4, y = 2$;

6) $(x^2 - y^2) : x - y$, если $x = 4, y = 2$;

7) $x^2 - y^2 : (x - y)$, если $x = 4, y = 2$;

8) $x^2 - y^2 : x - y$, если $x = 4, y = 2$.

1) Подставим значение $c = 2$ в выражение $16 - c^3$:

$16 - 2^3 = 16 - 8 = 8$.

Ответ: 8

2) Подставим значение $x = 10$ в выражение $x^3 - x^2$:

$10^3 - 10^2 = 1000 - 100 = 900$.

Ответ: 900

3) Подставим значение $a = 4$ в выражение $15a^2$:

$15a^2 = 15 \cdot 4^2 = 15 \cdot 16 = 240$.

Ответ: 240

4) Подставим значения $a = 6$ и $b = 10$ в выражение $a^2b^3$:

$a^2b^3 = 6^2 \cdot 10^3 = 36 \cdot 1000 = 36000$.

Ответ: 36000

5) Для выражения $(x^2 - y^2) : (x - y)$ при $x = 4, y = 2$ можно сначала упростить выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x^2 - y^2) : (x - y) = \frac{(x - y)(x + y)}{x - y} = x + y$.

Теперь подставим значения $x$ и $y$:

$x + y = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

6) Подставим значения $x = 4, y = 2$ в выражение $(x^2 - y^2) : x - y$. Соблюдаем порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

$(4^2 - 2^2) : 4 - 2 = (16 - 4) : 4 - 2 = 12 : 4 - 2 = 3 - 2 = 1$.

Ответ: 1

7) Подставим значения $x = 4, y = 2$ в выражение $x^2 - y^2 : (x - y)$. Соблюдаем порядок действий: сначала действия в скобках, затем деление, затем вычитание.

$4^2 - 2^2 : (4 - 2) = 16 - 4 : 2 = 16 - 2 = 14$.

Ответ: 14

8) Подставим значения $x = 4, y = 2$ в выражение $x^2 - y^2 : x - y$. Соблюдаем порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление, затем вычитание слева направо.

$4^2 - 2^2 : 4 - 2 = 16 - 4 : 4 - 2 = 16 - 1 - 2 = 15 - 2 = 13$.

Ответ: 13

494. Найдите значение выражения:

1) $x^2 - 14$, если $x = 5; 18;$

2) $2y^2 + 13$, если $y = 6; 100.$

1) Для нахождения значения выражения $x^2 - 14$, подставим в него заданные значения $x$.

При $x = 5$:

$x^2 - 14 = 5^2 - 14 = 25 - 14 = 11$.

При $x = 18$:

$x^2 - 14 = 18^2 - 14 = 324 - 14 = 310$.

Ответ: 11; 310.

2) Для нахождения значения выражения $2y^2 + 13$, подставим в него заданные значения $y$.

При $y = 6$:

$2y^2 + 13 = 2 \cdot 6^2 + 13 = 2 \cdot 36 + 13 = 72 + 13 = 85$.

При $y = 100$:

$2y^2 + 13 = 2 \cdot 100^2 + 13 = 2 \cdot 10000 + 13 = 20000 + 13 = 20013$.

Ответ: 85; 20013.

495. Запишите в виде степени с основанием 3 число:

1) 9;

2) 27;

3) 243;

4) 81.

1) 9;
Чтобы представить число 9 в виде степени с основанием 3, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $3^x = 9$. По определению степени, это означает, что нужно найти, сколько раз число 3 нужно умножить само на себя, чтобы получить 9.
$3 \times 3 = 9$.
Таким образом, число 3 нужно умножить на себя 2 раза.
Следовательно, $9 = 3^2$.
Ответ: $3^2$

2) 27;
Чтобы представить число 27 в виде степени с основанием 3, найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $3^x = 27$.
Продолжим умножать 3 на себя:
$3^1 = 3$
$3^2 = 3 \times 3 = 9$
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$.
Мы видим, что 3 в третьей степени равно 27.
Следовательно, $27 = 3^3$.
Ответ: $3^3$

3) 243;
Для представления числа 243 в виде степени с основанием 3, найдем показатель степени $x$ такой, что $3^x = 243$.
Можно продолжить вычисление степеней числа 3 или разложить число 243 на простые множители:
$243 \div 3 = 81$
$81 \div 3 = 27$
$27 \div 3 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, $243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$.
Число 3 умножается само на себя 5 раз, значит, $243 = 3^5$.
Ответ: $3^5$

4) 81;
Чтобы представить число 81 в виде степени с основанием 3, найдем показатель степени $x$, при котором $3^x = 81$.
Мы знаем, что $81 = 9 \times 9$. Также мы знаем из первого пункта, что $9 = 3^2$.
Подставим это в выражение: $81 = 3^2 \times 3^2$.
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \times a^n = a^{m+n}$), получим:
$81 = 3^{2+2} = 3^4$.
Также можно было продолжить вычисление из второго пункта: $3^4 = 3^3 \times 3 = 27 \times 3 = 81$.
Ответ: $3^4$

496. Запишите в виде степени с основанием 2 число:

1) $2^2$;

2) $2^4$;

3) $2^5$;

4) $2^8$.

1) 4;

Чтобы представить число 4 в виде степени с основанием 2, нужно найти такой показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x = 4$.
Поскольку $2 \times 2 = 4$, то есть 2 умножается на себя дважды, мы можем записать это в виде степени.
$4 = 2^2$.
Ответ: $2^2$.

2) 16;

Чтобы представить число 16 в виде степени с основанием 2, найдем показатель степени $x$, такой что $2^x = 16$.
Мы можем найти его путем последовательного умножения числа 2 на себя:
$2^1 = 2$
$2^2 = 2 \times 2 = 4$
$2^3 = 4 \times 2 = 8$
$2^4 = 8 \times 2 = 16$
Таким образом, $16 = 2^4$.
Ответ: $2^4$.

3) 32;

Чтобы представить число 32 в виде степени с основанием 2, мы ищем показатель степени $x$, при котором $2^x = 32$.
Продолжая вычисления из предыдущего пункта:
$2^4 = 16$
$2^5 = 16 \times 2 = 32$
Следовательно, $32 = 2^5$.
Ответ: $2^5$.

4) 256.

Чтобы представить число 256 в виде степени с основанием 2, найдем показатель степени $x$, для которого $2^x = 256$.
Продолжим последовательное возведение в степень:
$2^5 = 32$
$2^6 = 32 \times 2 = 64$
$2^7 = 64 \times 2 = 128$
$2^8 = 128 \times 2 = 256$
Альтернативно, можно заметить, что $256 = 16 \times 16$. Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $16 = 2^4$, то, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$256 = 16 \times 16 = 2^4 \times 2^4 = 2^{4+4} = 2^8$.
Ответ: $2^8$.

497. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8; $5^3 + 8^2$

2) разность квадратов чисел 6 и 2; $6^2 - 2^2$

3) квадрат разности чисел 6 и 2. $(6-2)^2$

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа 8
Чтобы составить числовое выражение, необходимо перевести словесное описание в математическую форму. Куб числа 5 записывается как $5^3$. Квадрат числа 8 записывается как $8^2$. Сумма этих двух значений записывается как $5^3 + 8^2$.
Теперь найдем значение этого выражения:
$5^3 + 8^2 = (5 \cdot 5 \cdot 5) + (8 \cdot 8) = 125 + 64 = 189$.
Ответ: 189

2) разность квадратов чисел 6 и 2
Квадрат числа 6 — это $6^2$. Квадрат числа 2 — это $2^2$. Разность квадратов этих чисел — это $6^2 - 2^2$.
Вычислим значение выражения:
$6^2 - 2^2 = (6 \cdot 6) - (2 \cdot 2) = 36 - 4 = 32$.
Ответ: 32

3) квадрат разности чисел 6 и 2
Разность чисел 6 и 2 записывается как $(6 - 2)$. Квадрат этой разности — это $(6 - 2)^2$.
Найдем значение выражения, сначала выполнив действие в скобках:
$(6 - 2)^2 = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16$.
Ответ: 16

498. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) куб разности чисел 9 и 8; $(9-8)^3$

2) квадрат суммы чисел 8 и 7; $(8+7)^2$

3) сумма квадратов чисел 8 и 7. $8^2 + 7^2$

1) куб разности чисел 9 и 8;

Составим числовое выражение. Разность чисел 9 и 8 записывается как $(9 - 8)$. Куб этого выражения означает возведение его в третью степень. Таким образом, получаем выражение: $(9-8)^3$.

Теперь найдем его значение. Сначала выполняем действие в скобках:

$9 - 8 = 1$

Затем возводим результат в куб:

$1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1.

2) квадрат суммы чисел 8 и 7;

Составим числовое выражение. Сумма чисел 8 и 7 записывается как $(8 + 7)$. Квадрат этого выражения означает возведение его во вторую степень. Таким образом, получаем выражение: $(8+7)^2$.

Теперь найдем его значение. Сначала выполняем действие в скобках:

$8 + 7 = 15$

Затем возводим результат в квадрат:

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

Ответ: 225.

3) сумма квадратов чисел 8 и 7.

Составим числовое выражение. Квадрат числа 8 – это $8^2$. Квадрат числа 7 – это $7^2$. Сумма этих квадратов записывается как $8^2 + 7^2$.

Теперь найдем значение этого выражения. Сначала возводим каждое число в квадрат:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

Затем складываем полученные результаты:

$64 + 49 = 113$

Ответ: 113.

499. Не выполняя вычислений, определите, какой цифрой оканчивается значение выражения:

1) $555 551^2$;

2) $7771^3$;

3) $11 115^2$;

4) $177^3$.

Для определения последней цифры значения выражения, возведенного в степень, достаточно найти последнюю цифру результата возведения в ту же степень последней цифры основания.

1) $555\ 551^2$

Основание степени, число $555\ 551$, оканчивается на цифру 1. Чтобы найти последнюю цифру квадрата этого числа, нужно найти последнюю цифру числа $1^2$.

$1^2 = 1 \times 1 = 1$.

Таким образом, значение выражения $555\ 551^2$ оканчивается на цифру 1.

Ответ: 1.

2) $7771^3$

Основание степени, число $7771$, оканчивается на цифру 1. Чтобы найти последнюю цифру куба этого числа, нужно найти последнюю цифру числа $1^3$.

$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$.

Таким образом, значение выражения $7771^3$ оканчивается на цифру 1.

Ответ: 1.

3) $11\ 115^2$

Основание степени, число $11\ 115$, оканчивается на цифру 5. Чтобы найти последнюю цифру квадрата этого числа, нужно найти последнюю цифру числа $5^2$.

$5^2 = 5 \times 5 = 25$.

Число 25 оканчивается на 5. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также будет оканчиваться на 5. Таким образом, значение выражения $11\ 115^2$ оканчивается на цифру 5.

Ответ: 5.

4) $177^3$

Основание степени, число $177$, оканчивается на цифру 7. Чтобы найти последнюю цифру куба этого числа, нужно найти последнюю цифру числа $7^3$.

Вычислим последовательно последние цифры степеней числа 7:

• $7^1 = 7$, последняя цифра 7.
• $7^2 = 49$, последняя цифра 9.
• $7^3 = 7^2 \times 7$. Последняя цифра этого произведения равна последней цифре произведения $9 \times 7 = 63$, то есть 3.

Таким образом, значение выражения $177^3$ оканчивается на цифру 3.

Ответ: 3.

500. Не выполняя вычислений, определите, какой цифрой оканчивается значение выражения:

1) $12340^2$;

2) $9326^3$;

3) $254^3$.

Чтобы определить последнюю цифру значения выражения, достаточно проанализировать последнюю цифру основания степени. Результат возведения в степень будет оканчиваться на ту же цифру, что и результат возведения в эту же степень последней цифры основания.

1) $12340^2$

Основание степени, число 12340, оканчивается на цифру 0. Чтобы найти последнюю цифру результата, нужно возвести 0 во вторую степень: $0^2 = 0 \times 0 = 0$. Следовательно, значение выражения $12340^2$ оканчивается на 0.

Ответ: 0

2) $9326^3$

Основание степени, число 9326, оканчивается на цифру 6. Рассмотрим, какими цифрами оканчиваются степени числа 6:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
Как видно, любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Следовательно, значение выражения $9326^3$ оканчивается на 6.

Ответ: 6

3) $254^3$

Основание степени, число 254, оканчивается на цифру 4. Чтобы найти последнюю цифру результата, нужно найти последнюю цифру числа $4^3$.
Найдем последнюю цифру $4^2$: $4 \times 4 = 16$. Она равна 6.
Теперь найдем последнюю цифру $4^3 = 4^2 \times 4$. Для этого достаточно умножить последнюю цифру $4^2$ (которая равна 6) на 4: $6 \times 4 = 24$.
Последняя цифра числа 24 — это 4. Следовательно, значение выражения $254^3$ оканчивается на 4.

Ответ: 4