Номер 489, страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Степень с натуральным показателем. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 489, страница 126.

489. Вычислите:

1) $10^2 - 7^2$;

2) $5^3 - 5^2$;

3) $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$;

4) $8^3 : 4^2 - 2^3$;

5) $25^2 : (24^2 + 7^2)$;

6) $10^3 - 10^2 + 9^3$.

1) Чтобы вычислить $10^2 - 7^2$, сначала возведем числа в квадрат, а затем выполним вычитание.
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$100 - 49 = 51$
Также можно использовать формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$10^2 - 7^2 = (10 - 7)(10 + 7) = 3 \cdot 17 = 51$
Ответ: 51

2) Вычислим значение выражения $5^3 - 5^2$.
Возведем числа в степень:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Выполним вычитание:
$125 - 25 = 100$
Альтернативный способ — вынести общий множитель за скобки:
$5^3 - 5^2 = 5^2 \cdot (5 - 1) = 25 \cdot 4 = 100$
Ответ: 100

3) Решим выражение $42^2 : 14 - 4^2 \cdot 6$, соблюдая порядок действий.
1. Возведение в степень:
$42^2 = 1764$
$4^2 = 16$
Выражение принимает вид: $1764 : 14 - 16 \cdot 6$.
2. Деление и умножение (слева направо):
$1764 : 14 = 126$
$16 \cdot 6 = 96$
3. Вычитание:
$126 - 96 = 30$
Можно упростить деление: $42^2 : 14 = (42 \cdot 42) : 14 = 42 \cdot (42 : 14) = 42 \cdot 3 = 126$.
Тогда $126 - 16 \cdot 6 = 126 - 96 = 30$.
Ответ: 30

4) Вычислим $8^3 : 4^2 - 2^3$.
Представим основания степеней как степени числа 2:
$8 = 2^3$, $4 = 2^2$.
Тогда выражение можно переписать так:
$(2^3)^3 : (2^2)^2 - 2^3$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$2^{3 \cdot 3} : 2^{2 \cdot 2} - 2^3 = 2^9 : 2^4 - 2^3$
Используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$2^{9-4} - 2^3 = 2^5 - 2^3$
Теперь вычислим значения степеней и выполним вычитание:
$2^5 = 32$
$2^3 = 8$
$32 - 8 = 24$
Ответ: 24

5) Вычислим $25^2 : (24^2 + 7^2)$.
Первым действием выполним вычисления в скобках.
$24^2 = 576$
$7^2 = 49$
$24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
Теперь выражение выглядит так: $25^2 : 625$.
Вычислим $25^2$:
$25^2 = 625$
Выполним деление:
$625 : 625 = 1$
Заметим, что числа 7, 24 и 25 образуют пифагорову тройку, то есть $7^2 + 24^2 = 25^2$.
Поэтому выражение можно сразу записать как $25^2 : 25^2 = 1$.
Ответ: 1

6) Вычислим $10^3 - 10^2 + 9^3$.
Сначала возведем числа в степень:
$10^3 = 1000$
$10^2 = 100$
$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$
Теперь выполним действия вычитания и сложения слева направо:
$1000 - 100 + 729 = 900 + 729 = 1629$
Ответ: 1629