Номер 491, страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 19. Степень с натуральным показателем. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 491, страница 126.

491. Какие из данных чисел равны квадрату натурального числа: 16, 19, 54, 64, 100, 900, 1000, 4000, 250 000?

Квадрат натурального числа — это результат умножения натурального числа (например, 1, 2, 3, ...) на само себя. Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются квадратами натуральных чисел (также их называют полными квадратами), необходимо найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется равенство $n^2 = \text{данное число}$. Проверим каждое число из списка.

16
Число 16 является квадратом натурального числа 4, так как $4^2 = 16$.

19
Число 19 не является квадратом натурального числа. Оно находится между квадратами последовательных чисел 4 и 5: $4^2 = 16$, а $5^2 = 25$.

54
Число 54 не является квадратом натурального числа. Оно находится между квадратами последовательных чисел 7 и 8: $7^2 = 49$, а $8^2 = 64$.

64
Число 64 является квадратом натурального числа 8, так как $8^2 = 64$.

100
Число 100 является квадратом натурального числа 10, так как $10^2 = 100$.

900
Число 900 является квадратом натурального числа 30. Это можно проверить, представив 900 как $9 \cdot 100$. Так как $9=3^2$ и $100=10^2$, то $900 = 3^2 \cdot 10^2 = (3 \cdot 10)^2 = 30^2$.

1000
Число 1000 не является квадратом натурального числа. Чтобы число, оканчивающееся на нули, было полным квадратом, количество нулей на конце должно быть четным. У числа 1000 три нуля (нечетное число).

4000
Число 4000 не является квадратом натурального числа по той же причине: у него нечетное количество нулей на конце (три).

250 000
Число 250 000 является квадратом натурального числа. Количество нулей на конце четное (четыре), а число 25, стоящее перед нулями, является квадратом ($25 = 5^2$). Проверим: $250000 = 25 \cdot 10000 = 5^2 \cdot 100^2 = (5 \cdot 100)^2 = 500^2$.

Ответ: 16, 64, 100, 900, 250 000.