Страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют вторую степень числа? третью степень числа?

Вторая степень числа

Вторую степень числа $a$, которая представляет собой произведение числа на само себя ($a \cdot a$), принято называть квадратом числа. Математическая запись выглядит как $a^2$ и читается как «а в квадрате». Например, квадрат числа 7 равен $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: квадрат числа.

Третья степень числа

Третью степень числа $a$, которая является произведением трех одинаковых множителей ($a \cdot a \cdot a$), называют кубом числа. Математическая запись — $a^3$, что читается как «а в кубе». Например, куб числа 3 равен $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: куб числа.

2. Как читают запись $a^2$? $a^3$?

1. Вторую степень числа, то есть произведение числа самого на себя ($a \cdot a$), принято называть квадратом числа. Третью степень числа, то есть произведение трех одинаковых множителей ($a \cdot a \cdot a$), называют кубом числа.
Ответ: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.

2. Запись $a^2$ читают: «а в квадрате». Запись $a^3$ читают: «а в кубе».
Ответ: запись $a^2$ читают «а в квадрате», а запись $a^3$ — «а в кубе».

3. Чему равна первая степень числа?

Первая степень числа — это результат возведения этого числа в степень, показатель которой равен 1.

По определению, возведение числа $a$ в натуральную степень $n$ (записывается как $a^n$) означает, что число $a$ умножается само на себя $n$ раз.

Когда мы говорим о первой степени, это означает, что показатель степени $n$ равен 1. В этом случае число $a$ берется в качестве множителя всего один раз. Следовательно, оно не умножается на себя, а просто остается самим собой.

Таким образом, для абсолютно любого числа $a$ справедливо равенство:

$a^1 = a$

Например:

$7^1 = 7$
$(-25)^1 = -25$
$(0.8)^1 = 0.8$
$(\frac{3}{5})^1 = \frac{3}{5}$

Ответ: Первая степень любого числа равна самому этому числу.

4. В каком порядке выполняют вычисления, если в числовое выражение входит степень?

При вычислении значения числового выражения, в которое входит степень, необходимо следовать общепринятому порядку выполнения арифметических действий. Этот порядок определяет приоритет операций.

Порядок выполнения действий следующий:

1. Сначала выполняются все действия, заключенные в скобки. Если скобок несколько, то вычисления начинаются с самых внутренних.
2. Затем выполняется возведение в степень.
3. После этого выполняются операции умножения и деления. Они имеют равный приоритет и выполняются в том порядке, в котором они записаны в выражении, то есть слева направо.
4. В последнюю очередь выполняются операции сложения и вычитания. Они также имеют равный приоритет и выполняются слева направо.

Рассмотрим на примере вычисления значения выражения: $50 + (8 - 4)^3 / 2 - 3 \cdot 5$.

1. Выполняем действие в скобках:
   $8 - 4 = 4$.
   Выражение принимает вид: $50 + 4^3 / 2 - 3 \cdot 5$.

2. Выполняем возведение в степень:
   $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
   Выражение принимает вид: $50 + 64 / 2 - 3 \cdot 5$.

3. Выполняем умножение и деление слева направо:
   - Первое действие – деление: $64 / 2 = 32$.
   - Второе действие – умножение: $3 \cdot 5 = 15$.
   Выражение принимает вид: $50 + 32 - 15$.

4. Выполняем сложение и вычитание слева направо:
   - Первое действие – сложение: $50 + 32 = 82$.
   - Второе действие – вычитание: $82 - 15 = 67$.

Таким образом, результат вычисления равен $67$.

Ответ: Если в числовое выражение входит степень, то операция возведения в степень выполняется после всех действий в скобках, но перед умножением, делением, сложением и вычитанием.

1. Решите уравнение:

1) $(x - 10) + 8 = 24;$

2) $(19 - x) - 6 = 7.$

1) $(x - 10) + 8 = 24$

В данном уравнении выражение в скобках $(x - 10)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

$x - 10 = 24 - 8$

$x - 10 = 16$

Теперь переменная $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно сложить разность и вычитаемое.

$x = 16 + 10$

$x = 26$

Ответ: $26$

2) $(19 - x) - 6 = 7$

В этом уравнении выражение $(19 - x)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$19 - x = 7 + 6$

$19 - x = 13$

Теперь переменная $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 19 - 13$

$x = 6$

Ответ: $6$

2. Вася разложил 60 яблок на кучки по 8 яблок, и ещё 4 яблока у него осталось. На сколько кучек Вася разложил яблоки?

Для того чтобы найти, на сколько кучек Вася разложил яблоки, необходимо выполнить следующие действия:

1. Узнаем, сколько яблок было разложено по кучкам.

Известно, что всего было 60 яблок, а 4 яблока осталось. Чтобы найти, сколько яблок было разложено, нужно из общего количества вычесть остаток.

$60 - 4 = 56$ (яблок)

2. Рассчитаем количество кучек.

Мы знаем, что 56 яблок разложили на кучки по 8 яблок в каждой. Чтобы найти количество кучек, нужно разделить количество разложенных яблок на количество яблок в одной кучке.

$56 \div 8 = 7$ (кучек)

Таким образом, Вася разложил яблоки на 7 кучек.

Ответ: 7.

3. Турист должен преодолеть маршрут длиной 25 км. После того как он шёл 4 ч с одной и той же скоростью, ему осталось пройти 1 км. С какой скоростью шёл турист?

Для того чтобы найти скорость туриста, необходимо сначала определить расстояние, которое он уже прошел. Общая длина маршрута составляет 25 км, а туристу осталось пройти 1 км. Найдем пройденное расстояние:

$S_{пройденное} = S_{общее} - S_{оставшееся}$

$25 \text{ км} - 1 \text{ км} = 24 \text{ км}$

Теперь мы знаем, что турист прошел 24 км за 4 часа. Чтобы найти его скорость ($v$), нужно разделить пройденное расстояние ($S$) на время ($t$):

$v = \frac{S}{t}$

$v = \frac{24 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 6 \text{ км/ч}$

Ответ: 6 км/ч.

4. На двух участках росло 20 кустов роз. После того как с первого участка пересадили 2 куста роз на второй, на обоих участках стало по 10 кустов роз. Сколько кустов роз росло на каждом участке?

Данная задача решается с помощью рассуждений в обратном порядке. Начнем с конечного состояния, когда на обоих участках стало по 10 кустов роз.

1. Найдем, сколько кустов роз было на первом участке изначально. После того как с него пересадили 2 куста, на нем осталось 10. Следовательно, чтобы узнать первоначальное количество, нужно вернуть эти 2 куста обратно.

$10 + 2 = 12$ (кустов) – было на первом участке.

2. Найдем, сколько кустов роз было на втором участке изначально. После того как на него пересадили 2 куста, на нем стало 10. Следовательно, чтобы узнать первоначальное количество, нужно забрать эти 2 куста.

$10 - 2 = 8$ (кустов) – было на втором участке.

Проверка: изначально на участках было 12 и 8 кустов. Общее количество: $12 + 8 = 20$. Если с первого участка пересадить 2 куста на второй, то на первом станет $12 - 2 = 10$ кустов, а на втором станет $8 + 2 = 10$ кустов. На обоих участках стало по 10 кустов, что соответствует условию задачи.

Ответ: изначально на первом участке росло 12 кустов роз, а на втором – 8 кустов роз.

484. Прочитайте выражение и назовите основание и показатель степени:

1) $4^8$;

2) $13^{10}$;

3) $a^9$;

4) $6^m$;

5) $2^{39}$;

6) $93^1$.

1) Выражение $4^8$ читается как «четыре в восьмой степени». В этом выражении число, которое возводят в степень, называется основанием степени. Показатель степени показывает, сколько раз основание умножается само на себя.
Таким образом, в данном выражении основание степени — это 4, а показатель степени — это 8.
Ответ: основание — 4, показатель — 8.

2) Выражение $13^{10}$ читается как «тринадцать в десятой степени». В этом выражении основанием степени является число 13, а показателем степени — число 10.
Ответ: основание — 13, показатель — 10.

3) Выражение $a^9$ читается как «а в девятой степени». В этом выражении основанием степени является переменная $a$, а показателем степени — число 9.
Ответ: основание — $a$, показатель — 9.

4) Выражение $6^m$ читается как «шесть в степени эм». В этом выражении основанием степени является число 6, а показателем степени — переменная $m$.
Ответ: основание — 6, показатель — $m$.

5) Выражение $2^{39}$ читается как «два в тридцать девятой степени». В этом выражении основанием степени является число 2, а показателем степени — число 39.
Ответ: основание — 2, показатель — 39.

6) Выражение $93^1$ читается как «девяносто три в первой степени». В этом выражении основанием степени является число 93, а показателем степени — число 1.
Ответ: основание — 93, показатель — 1.

485. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множи- телей степенью:

1) $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$;

2) $a \cdot a \cdot a \cdot a$;

3) $3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m$;

4) $\underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{\text{n множителей}}$.

1) Данное выражение $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$ является произведением четырех одинаковых множителей, равных 9. По определению степени, такое произведение можно записать как основание (повторяющийся множитель) в степени, равной количеству множителей. В данном случае основание равно 9, а показатель степени равен 4.
$9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 9^4$.
Ответ: $9^4$

2) В выражении $a \cdot a \cdot a \cdot a$ множитель $a$ умножается сам на себя 4 раза. Это можно представить в виде степени, где основанием является $a$, а показателем — число 4.
$a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$.
Ответ: $a^4$

3) В выражении $3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m$ повторяющимся множителем является $3m$. Этот множитель встречается в произведении 5 раз. Следовательно, чтобы заменить произведение степенью, нужно все выражение $3m$ (как основание) возвести в 5-ю степень (показатель). Для этого основание необходимо взять в скобки.
$3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m \cdot 3m = (3m)^5$.
Ответ: $(3m)^5$

4) Выражение $c \cdot c \cdot \dots \cdot c$ с указанием "$n$ множителей" представляет собой произведение переменной $c$, умноженной саму на себя $n$ раз. Это является определением степени с натуральным показателем. Основанием степени будет $c$, а показателем — $n$.
$\underbrace{c \cdot c \cdot \dots \cdot c}_{n \text{ множителей}} = c^n$.
Ответ: $c^n$

486. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

1) $10 \cdot 10 \cdot 10;$

2) $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x;$

3) $\underbrace{6 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 6}_{\text{10 множителей}};$

4) $\underbrace{y \cdot y \cdot \dots \cdot y}_{\text{8 множителей}};$

1) Произведение трех одинаковых множителей, каждый из которых равен 10, по определению можно записать в виде степени. Основанием степени является повторяющийся множитель, то есть 10, а показателем степени — количество этих множителей, то есть 3.
$10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$.
Ответ: $10^3$.

2) В данном выражении переменная $x$ умножается сама на себя 6 раз. Следовательно, это произведение можно представить в виде степени, где основанием будет $x$, а показателем — число повторений, то есть 6.
$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^6$.
Ответ: $x^6$.

3) В выражении указано, что множитель 6 повторяется 10 раз. Чтобы заменить это произведение степенью, нужно взять число 6 в качестве основания и число 10 в качестве показателя степени.
$ \underbrace{6 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 6}_{10 \text{ множителей}} = 6^{10} $.
Ответ: $6^{10}$.

4) В этом выражении переменная $y$ является множителем, который повторяется 8 раз. По определению степени, такое произведение записывается как $y$ в степени 8, где $y$ — это основание степени, а 8 — её показатель.
$ \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{8 \text{ множителей}} = y^8 $.
Ответ: $y^8$.