Страница 143 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. В каком случае говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?

1. Говорят, что одно натуральное число $a$ делится нацело на другое натуральное число $b$, если существует такое натуральное число $c$, при котором выполняется равенство: $a = b \cdot c$.

Другими словами, это означает, что остаток от деления числа $a$ на число $b$ равен нулю.

В этом случае число $a$ называют кратным числу $b$, а число $b$ – делителем числа $a$.

Например, число 35 делится нацело на 7, так как существует натуральное число 5, для которого верно равенство $35 = 7 \cdot 5$. При этом 35 является кратным 7, а 7 является делителем 35.

Ответ: Говорят, что натуральное число $a$ делится нацело на натуральное число $b$, если существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$.

2. В каком случае говорят, что число $b$ является делителем числа $a$?

число $b$ кратно числу $a$?

В каком случае говорят, что число b является делителем числа a?

Число $b$ называют делителем числа $a$, если число $a$ делится на число $b$ нацело, то есть без остатка. Формально это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство: $a = b \cdot k$.
Например, число 5 является делителем числа 30, так как $30 = 5 \cdot 6$. В данном случае $a=30$, $b=5$ и $k=6$.

Ответ: Число $b$ является делителем числа $a$, если существует такое целое число $k$, что $a = b \cdot k$.

число b кратно числу a?

Число $b$ называют кратным числу $a$, если число $b$ делится на число $a$ нацело, то есть без остатка. Это означает, что можно найти такое целое число $k$, для которого будет верным равенство: $b = a \cdot k$.
Например, число 30 кратно числу 5, так как $30 = 5 \cdot 6$. Здесь $b=30$, $a=5$ и $k=6$.
Таким образом, понятия "делитель" и "кратное" взаимосвязаны: если $b$ кратно $a$, то $a$ является делителем $b$.

Ответ: Число $b$ кратно числу $a$, если существует такое целое число $k$, что $b = a \cdot k$.

3. Какое число является делителем любого натурального числа?

Для ответа на этот вопрос давайте вспомним определения натурального числа и делителя.

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: $1, 2, 3, 4, \dots$ и так далее до бесконечности.

Делителем натурального числа $a$ называется такое натуральное число $b$, на которое $a$ делится без остатка. Это значит, что существует такое натуральное число $c$, что выполняется равенство: $a = b \cdot c$.

Нам нужно найти такое число, которое будет являться делителем для любого натурального числа $n$.

Рассмотрим число 1. По определению умножения, для любого натурального числа $n$ справедливо равенство: $n = 1 \cdot n$

Это равенство показывает, что любое натуральное число $n$ делится на 1 без остатка, и в результате деления получается само число $n$.

Например:

• $7 \div 1 = 7$
• $42 \div 1 = 42$
• $1984 \div 1 = 1984$

Таким образом, единственное число, которое является делителем абсолютно любого натурального числа, — это число 1.

Ответ: 1

4. Сколько существует кратных данного натурального числа $a$?

Кратным для натурального числа $a$ называется такое натуральное число, которое делится на $a$ без остатка. Любое кратное числа $a$ можно получить путем умножения числа $a$ на некоторое натуральное число $k$. Математически это записывается как $a \cdot k$, где $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

Множество натуральных чисел ($1, 2, 3, 4, \dots$) является бесконечным. Это означает, что для любого натурального числа всегда найдется число, которое больше него.

Чтобы найти все кратные для заданного натурального числа $a$, мы можем последовательно умножать $a$ на каждое натуральное число:

• Умножая на 1, получаем первое кратное: $a \cdot 1 = a$.
• Умножая на 2, получаем второе кратное: $a \cdot 2 = 2a$.
• Умножая на 3, получаем третье кратное: $a \cdot 3 = 3a$.
• И так далее...

Так как мы можем продолжать этот процесс, используя любое натуральное число $k$ в качестве множителя, а количество натуральных чисел бесконечно, то и количество кратных для любого натурального числа $a$ также будет бесконечным. Для каждого нового натурального числа $k$ мы будем получать новое, уникальное кратное.

Ответ: Существует бесконечно много кратных для любого данного натурального числа $a$.

и сколько существует кратных данного натурального числа n?

Контрпример — это конкретный пример, который доказывает ложность некоторого общего утверждения или гипотезы. Для того чтобы опровергнуть утверждение, которое должно быть верным для всех без исключения случаев (такое утверждение называют универсальным), достаточно найти всего один-единственный случай, для которого оно не выполняется. Этот случай и будет служить контрпримером.

Пример использования контрпримера:

Рассмотрим гипотезу: «Все простые числа являются нечётными».

Проверка на первых нескольких простых числах, таких как 3, 5, 7, 11, 13, может создать впечатление, что гипотеза верна, так как все они нечётные.

Однако, чтобы опровергнуть эту гипотезу, достаточно найти один контрпример. Таким контрпримером является число 2.

• Число 2 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
• Число 2 является чётным, а не нечётным.

Поскольку мы нашли простое число (2), которое не является нечётным, мы доказали, что исходная гипотеза «Все простыe числа являются нечётными» является ложной. Таким образом, число 2 — это контрпример к данной гипотезе.

Ответ: Контрпримером называют такой пример, который опровергает (доказывает ложность) какого-либо общего утверждения.

1. Решите уравнение:

1) $(x - 10) \div 2 = 20;$

2) $(x + 10) \cdot 2 = 20;$

3) $x \cdot 10 - 2 = 8;$

4) $x \div 10 + 2 = 8.$

1)

Дано уравнение: $(x - 10) : 2 = 20$.

В этом уравнении выражение в скобках $(x-10)$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x - 10 = 20 \cdot 2$

$x - 10 = 40$

Теперь мы имеем простое уравнение, где $x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 40 + 10$

$x = 50$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$(50 - 10) : 2 = 40 : 2 = 20$

$20 = 20$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $50$

2)

Дано уравнение: $(x + 10) \cdot 2 = 20$.

В данном уравнении выражение в скобках $(x + 10)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$x + 10 = 20 : 2$

$x + 10 = 10$

Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 10 - 10$

$x = 0$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$(0 + 10) \cdot 2 = 10 \cdot 2 = 20$

$20 = 20$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $0$

3)

Дано уравнение: $x \cdot 10 - 2 = 8$.

В этом уравнении произведение $x \cdot 10$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x \cdot 10 = 8 + 2$

$x \cdot 10 = 10$

Теперь $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

$x = 10 : 10$

$x = 1$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$1 \cdot 10 - 2 = 10 - 2 = 8$

$8 = 8$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $1$

4)

Дано уравнение: $x : 10 + 2 = 8$.

В этом уравнении частное $x : 10$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x : 10 = 8 - 2$

$x : 10 = 6$

Теперь $x$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

$x = 6 \cdot 10$

$x = 60$

Проверим решение, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$60 : 10 + 2 = 6 + 2 = 8$

$8 = 8$

Равенство верно, значит, уравнение решено правильно.

Ответ: $60$

2. Верно ли равенство $90 = 14 \cdot 5 + 20$? Можно ли утверждать, что при делении $90$ на $14$ получим неполное частное $5$ и остаток $20$?

Верно ли равенство 90 = 14 · 5 + 20?

Чтобы проверить, верно ли данное равенство, нужно вычислить значение выражения в правой части и сравнить его со значением в левой части.

Выполним действия в правой части по порядку:
1. Умножение: $14 \cdot 5 = 70$.
2. Сложение: $70 + 20 = 90$.

Правая часть равна 90. Левая часть также равна 90. Таким образом, $90 = 90$.

Ответ: Да, равенство верно.

Можно ли утверждать, что при делении 90 на 14 получим неполное частное 5 и остаток 20?

Представление числа в виде $a = b \cdot q + r$ соответствует делению с остатком числа $a$ (делимое) на число $b$ (делитель), где $q$ - неполное частное, а $r$ - остаток, только при выполнении одного обязательного условия: остаток должен быть меньше делителя. Формально это записывается как $0 \le r < b$.

В данном случае:

• делимое $a = 90$;
• делитель $b = 14$;
• предполагаемое неполное частное $q = 5$;
• предполагаемый остаток $r = 20$.

Проверим выполнение условия $0 \le r < b$:
$0 \le 20 < 14$.

Неравенство $20 < 14$ является ложным, так как остаток (20) больше делителя (14). Это противоречит определению деления с остатком.

Правильное деление 90 на 14 с остатком выглядит так:
$90 = 14 \cdot 6 + 6$.
Здесь неполное частное равно 6, а остаток равен 6. Условие $0 \le 6 < 14$ выполняется.

Ответ: Нет, так утверждать нельзя, поскольку остаток не может быть больше или равен делителю.

3. Чему равно частное при делении 54 на 9?

$54 : 9 = ? $

Для того чтобы найти частное от деления числа 54 на 9, необходимо выполнить арифметическую операцию деления.

В данной задаче:

• Делимое (число, которое делят) равно 54.
• Делитель (число, на которое делят) равен 9.
• Частное — это результат деления.

Запишем это в виде математического выражения:

$54 \div 9$

Чтобы найти результат, можно вспомнить таблицу умножения. На какое число нужно умножить 9, чтобы получить 54?

$9 \times 6 = 54$

Следовательно, частное от деления 54 на 9 равно 6.

$54 \div 9 = 6$

Ответ: 6

4. Чему равен делитель, если делимое равно 98, а частное - 7?

Для того чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. Это следует из основного правила деления:

Делимое $\div$ Делитель = Частное

В данном случае нам даны:

Делимое = $98$

Частное = $7$

Обозначим неизвестный делитель переменной $x$. Тогда наше уравнение будет выглядеть следующим образом:

$98 \div x = 7$

Чтобы найти $x$, нужно делимое разделить на частное:

$x = 98 \div 7$

Выполним вычисление:

$x = 14$

Таким образом, делитель равен 14. Можно выполнить проверку, разделив 98 на 14:

$98 \div 14 = 7$

Результат совпадает с частным, указанным в условии, значит, решение верное.

Ответ: 14

5. Чему равно делимое, если делитель равен 24, а частное — 4?

Для того чтобы найти делимое, необходимо умножить делитель на частное. Взаимосвязь между этими тремя компонентами арифметической операции деления выражается следующей формулой:

$Делимое = Делитель × Частное$

Согласно условиям, представленным в задаче, мы имеем следующие данные:

Делитель = 24

Частное = 4

Теперь подставим известные значения в формулу для вычисления делимого:

$Делимое = 24 × 4$

Выполним операцию умножения:

$24 × 4 = 96$

Таким образом, искомое делимое равно 96.

Ответ: 96

6. При делении двух двузначных чисел в частном получается 9, а в остатке — 8. Чему равно делимое?

Пусть $a$ — искомое делимое, а $b$ — делитель. Согласно условию задачи, оба числа, $a$ и $b$, являются двузначными. Частное от деления $a$ на $b$ равно 9, а остаток равен 8.

Связь между делимым, делителем, частным и остатком выражается формулой: $a = b \cdot q + r$, где $q$ — частное, а $r$ — остаток. Важным условием при делении с остатком является то, что остаток всегда должен быть меньше делителя: $r < b$.

Подставим в формулу известные нам значения: $q=9$ и $r=8$.
$a = b \cdot 9 + 8$
Из условия $r < b$ получаем неравенство $8 < b$.

Теперь воспользуемся информацией о том, что $a$ и $b$ — двузначные числа. Это накладывает на них следующие ограничения:
$10 \le a \le 99$
$10 \le b \le 99$
Условие $b \ge 10$ уже включает в себя условие $b > 8$, поэтому нам достаточно рассматривать только то, что $b$ — двузначное число.

Поскольку делимое $a$ не может быть больше 99, мы можем записать неравенство:
$a \le 99$
Подставим сюда выражение для $a$ через $b$:
$9b + 8 \le 99$
Решим это неравенство относительно $b$:
$9b \le 99 - 8$
$9b \le 91$
$b \le \frac{91}{9}$
$b \le 10\frac{1}{9}$

Таким образом, мы знаем, что делитель $b$ — это двузначное целое число ($b \ge 10$), которое при этом не превышает $10\frac{1}{9}$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $b=10$.

Теперь, когда мы нашли делитель, можем вычислить делимое:
$a = 9 \cdot b + 8 = 9 \cdot 10 + 8 = 90 + 8 = 98$.

Проверим результат: делимое 98 — двузначное, делитель 10 — двузначное. При делении 98 на 10 действительно получается 9 в частном и 8 в остатке ($98 = 10 \cdot 9 + 8$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 98

596. Верно ли утверждение:

1) число $6$ является делителем числа $24$;

2) число $6$ кратно числу $24$;

3) число $5$ является делителем числа $51$;

4) число $9$ является делителем числа $99$;

5) число $18$ кратно числу $3$;

6) число $28$ кратно числу $8$?

1) число 6 является делителем числа 24

Делителем числа называется такое число, на которое оно делится без остатка. Чтобы проверить данное утверждение, разделим 24 на 6.
$24 \div 6 = 4$
Поскольку 24 делится на 6 без остатка (результат — целое число 4), утверждение верно.
Ответ: верно.

2) число 6 кратно числу 24

Число $a$ кратно числу $b$, если $a$ делится на $b$ без остатка. В данном случае нужно проверить, делится ли 6 на 24.
$6 \div 24 = 0.25$
Результат не является целым числом. Наоборот, число 24 кратно числу 6. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) число 5 является делителем числа 51

Чтобы проверить, является ли 5 делителем 51, нужно разделить 51 на 5. Числа, которые делятся на 5 без остатка, должны оканчиваться на 0 или 5. Число 51 оканчивается на 1.
$51 \div 5 = 10$ (остаток 1)
Так как при делении есть остаток, 5 не является делителем 51. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) число 9 является делителем числа 99

Проверим, делится ли 99 на 9 без остатка.
$99 \div 9 = 11$
Результат деления — целое число 11. Следовательно, 9 является делителем 99. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) число 18 кратно числу 3

Чтобы проверить, кратно ли 18 числу 3, нужно разделить 18 на 3.
$18 \div 3 = 6$
Так как 18 делится на 3 без остатка, утверждение верно.
Ответ: верно.

6) число 28 кратно числу 8?

Проверим, делится ли 28 на 8 без остатка. Мы можем перечислить числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, ...
Числа 28 в этом ряду нет. Выполним деление:
$28 \div 8 = 3.5$
Результат не является целым числом, значит, 28 не кратно 8. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.