Страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

597. Какие из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 являются:

1) делителями 24;

2) кратными 6;

3) делителями 20 и 24;

4) делителями 24 и кратными 4?

1) делителями 24;

Делитель числа — это число, на которое исходное число делится без остатка. Проверим каждое число из данного набора {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30} на то, является ли оно делителем 24.
$24 \div 2 = 12$ (подходит)
$24 \div 3 = 8$ (подходит)
$24 \div 4 = 6$ (подходит)
$24 \div 6 = 4$ (подходит)
$24 \div 8 = 3$ (подходит)
$24 \div 9$ (не делится нацело)
$24 \div 10$ (не делится нацело)
$24 \div 12 = 2$ (подходит)
$24 \div 15$ (не делится нацело)
$24 \div 16$ (не делится нацело)
$24 \div 18$ (не делится нацело)
$24 \div 30$ (не делится нацело, т.к. 30 > 24)
Ответ: 2, 3, 4, 6, 8, 12.

2) кратными 6;

Кратное числу — это число, которое делится на данное число без остатка. Проверим, какие из чисел набора {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30} делятся на 6.
$6 \div 6 = 1$ (подходит)
$12 \div 6 = 2$ (подходит)
$18 \div 6 = 3$ (подходит)
$30 \div 6 = 5$ (подходит)
Остальные числа из списка (2, 3, 4, 8, 9, 10, 15, 16) на 6 без остатка не делятся.
Ответ: 6, 12, 18, 30.

3) делителями 20 и 24;

Нужно найти числа из набора, которые являются делителями и для 20, и для 24 одновременно (общие делители).
1. Найдем делители 20 из набора: 2 (т.к. $20 \div 2 = 10$), 4 (т.к. $20 \div 4 = 5$), 10 (т.к. $20 \div 10 = 2$). Получаем {2, 4, 10}.
2. Найдем делители 24 из набора (из п.1): {2, 3, 4, 6, 8, 12}.
3. Выберем числа, которые есть в обоих списках: 2 и 4.
Ответ: 2, 4.

4) делителями 24 и кратными 4?

Нужно найти числа из набора, которые одновременно являются делителями 24 и кратны 4.
1. Возьмем список делителей 24 из п.1: {2, 3, 4, 6, 8, 12}.
2. Теперь из этого списка выберем те числа, которые делятся на 4 без остатка.
$2 \div 4$ (не делится нацело)
$3 \div 4$ (не делится нацело)
$4 \div 4 = 1$ (подходит)
$6 \div 4$ (не делится нацело)
$8 \div 4 = 2$ (подходит)
$12 \div 4 = 3$ (подходит)
Ответ: 4, 8, 12.

598. Чему равняется:

1) наибольший делитель числа 19 735;

2) наименьший делитель числа 19 735;

3) наименьшее кратное числа 19 735?

1) наибольший делитель числа 19 735
Делителем натурального числа называется натуральное число, на которое оно делится без остатка. Любое число делится само на себя. Например, для любого числа $a$, справедливо равенство $a : a = 1$. Делитель не может быть больше самого числа. Таким образом, наибольшим делителем для любого натурального числа является само это число. Для числа 19 735 наибольшим делителем будет 19 735.
Ответ: 19 735.

2) наименьший делитель числа 19 735
Для любого натурального числа наименьшим натуральным делителем является число 1. Любое число $a$ делится на 1 без остатка: $a : 1 = a$. Так как 1 — это наименьшее натуральное число, оно и будет наименьшим натуральным делителем для числа 19 735.
Ответ: 1.

3) наименьшее кратное числа 19 735
Кратным натурального числа называется натуральное число, которое делится на данное число без остатка. Чтобы найти кратные числа $a$, нужно умножить его на натуральные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Наименьшее натуральное кратное получается при умножении на 1. Следовательно, наименьшим натуральным кратным для любого числа является само это число: $a \cdot 1 = a$. Для числа 19 735 наименьшее натуральное кратное равно $19\,735 \cdot 1 = 19\,735$.
Ответ: 19 735.

599. Запишите все делители числа:

1) 18;

2) 8;

3) 13;

4) 56.

Делителем числа называется целое число, на которое данное число делится без остатка. Чтобы найти все делители, мы будем последовательно проверять числа, начиная с 1, и находить пары делителей.

Чтобы найти все делители числа 18, будем искать все натуральные числа, на которые 18 делится без остатка.

• $18 \div 1 = 18$. Таким образом, 1 и 18 являются делителями.
• $18 \div 2 = 9$. Таким образом, 2 и 9 являются делителями.
• $18 \div 3 = 6$. Таким образом, 3 и 6 являются делителями.

Продолжая проверку, мы заметим, что 18 не делится нацело на 4 и 5. Следующий делитель - 6, который мы уже нашли. Это означает, что мы нашли все делители. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Найдем все натуральные числа, на которые 8 делится без остатка.

• $8 \div 1 = 8$. Таким образом, 1 и 8 являются делителями.
• $8 \div 2 = 4$. Таким образом, 2 и 4 являются делителями.

Число 8 не делится на 3 без остатка. Следующий делитель - 4, который уже есть в нашем списке. Значит, все делители найдены.

Ответ: 1, 2, 4, 8.

Найдем все натуральные числа, на которые 13 делится без остатка. Число 13 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

• $13 \div 1 = 13$. Таким образом, 1 и 13 являются делителями.

Других натуральных делителей у числа 13 нет.

Ответ: 1, 13.

Найдем все натуральные числа, на которые 56 делится без остатка.

• $56 \div 1 = 56$. Таким образом, 1 и 56 являются делителями.
• $56 \div 2 = 28$. Таким образом, 2 и 28 являются делителями.
• $56 \div 4 = 14$. Таким образом, 4 и 14 являются делителями.
• $56 \div 7 = 8$. Таким образом, 7 и 8 являются делителями.

Число 56 не делится нацело на 3, 5, 6. Следующий делитель после 7 - это 8, который мы уже нашли. Это означает, что мы перечислили все возможные делители.

Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

600. Запишите все делители числа:

1) 30;

2) 12;

3) 23;

4) 72.

1) 30;

Делителем натурального числа называется число, на которое оно делится без остатка. Чтобы найти все делители числа 30, будем последовательно проверять деление на натуральные числа, начиная с 1. Если мы находим делитель, то частное от деления также является делителем.

$30 \div 1 = 30$, значит 1 и 30 — делители.
$30 \div 2 = 15$, значит 2 и 15 — делители.
$30 \div 3 = 10$, значит 3 и 10 — делители.
Число 30 не делится на 4 без остатка.
$30 \div 5 = 6$, значит 5 и 6 — делители.
Следующее число для проверки, 6, уже найдено. Это значит, что мы перечислили все делители.

Запишем все найденные делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

2) 12;

Найдем все натуральные числа, на которые 12 делится без остатка.

$12 \div 1 = 12$, значит 1 и 12 — делители.
$12 \div 2 = 6$, значит 2 и 6 — делители.
$12 \div 3 = 4$, значит 3 и 4 — делители.
Следующее число для проверки, 4, уже найдено, поэтому поиск завершен.

Запишем все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

3) 23;

Найдем все делители числа 23. Число 23 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

$23 \div 1 = 23$
$23 \div 23 = 1$
Таким образом, у числа 23 только два натуральных делителя.

Ответ: 1, 23.

4) 72;

Найдем все натуральные числа, на которые 72 делится без остатка.

$72 \div 1 = 72$, значит 1 и 72 — делители.
$72 \div 2 = 36$, значит 2 и 36 — делители.
$72 \div 3 = 24$, значит 3 и 24 — делители.
$72 \div 4 = 18$, значит 4 и 18 — делители.
Число 72 не делится на 5 без остатка.
$72 \div 6 = 12$, значит 6 и 12 — делители.
Число 72 не делится на 7 без остатка.
$72 \div 8 = 9$, значит 8 и 9 — делители.
Следующее число для проверки, 9, уже найдено, следовательно, все делители найдены.

Запишем все делители в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

601. Можно ли поделить поровну 28 тетрадей между:

1) 4 детьми;

2) 6 детьми;

3) 7 детьми;

4) 8 детьми?

Чтобы определить, можно ли поделить 28 тетрадей поровну, нужно проверить, делится ли число 28 на количество детей нацело (без остатка).

1) 4 детьми;
Проверим деление числа 28 на 4:
$28 \div 4 = 7$
Поскольку 28 делится на 4 без остатка, тетради можно поделить поровну. Каждый ребенок получит по 7 тетрадей.
Ответ: да, можно.

2) 6 детьми;
Проверим деление числа 28 на 6:
$28 \div 6 = 4$ (остаток 4)
Поскольку при делении 28 на 6 получается остаток, поровну разделить тетради нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

3) 7 детьми;
Проверим деление числа 28 на 7:
$28 \div 7 = 4$
Поскольку 28 делится на 7 без остатка, тетради можно поделить поровну. Каждый ребенок получит по 4 тетради.
Ответ: да, можно.

4) 8 детьми?
Проверим деление числа 28 на 8:
$28 \div 8 = 3$ (остаток 4)
Поскольку при делении 28 на 8 получается остаток, поровну разделить тетради нельзя.
Ответ: нет, нельзя.

602. Можно ли разложить поровну 24 пирожных на:

1) 3 тарелки;

2) 6 тарелок;

3) 9 тарелок?

Чтобы ответить на вопрос, можно ли разложить 24 пирожных поровну на заданное количество тарелок, необходимо проверить, делится ли число 24 на количество тарелок без остатка. Если делится нацело, то разложить можно. Если при делении получается остаток, то разложить поровну нельзя.

1) 3 тарелки
Проверим, делится ли 24 на 3 без остатка.
$24 \div 3 = 8$.
Число 24 делится на 3 нацело. Следовательно, можно разложить 24 пирожных на 3 тарелки, при этом на каждой тарелке будет по 8 пирожных.
Ответ: да, можно.

2) 6 тарелок
Проверим, делится ли 24 на 6 без остатка.
$24 \div 6 = 4$.
Число 24 делится на 6 нацело. Следовательно, можно разложить 24 пирожных на 6 тарелок, и на каждой будет по 4 пирожных.
Ответ: да, можно.

3) 9 тарелок
Проверим, делится ли 24 на 9 без остатка.
$24 \div 9 = 2$ (остаток 6).
При делении числа 24 на 9 получается остаток. Это значит, что если разложить по 2 пирожных на 9 тарелок, то 6 пирожных останутся. Разложить пирожные поровну не получится.
Ответ: нет, нельзя.

603. Запишите пять чисел, кратных числу:

1) 7;

2) 30;

3) 100;

4) 34.

Кратное число — это число, которое делится на данное число без остатка. Чтобы найти числа, кратные заданному, нужно это число умножить на любое натуральное число (например, на 1, 2, 3, 4, 5 и так далее). Найдем по пять самых простых кратных для каждого из данных чисел, умножая их последовательно на 1, 2, 3, 4 и 5.

1) 7;
Чтобы найти пять чисел, кратных 7, последовательно умножим 7 на числа от 1 до 5:
$7 \cdot 1 = 7$
$7 \cdot 2 = 14$
$7 \cdot 3 = 21$
$7 \cdot 4 = 28$
$7 \cdot 5 = 35$
Таким образом, пятью числами, кратными 7, являются 7, 14, 21, 28, 35.
Ответ: 7, 14, 21, 28, 35.

2) 30;
Чтобы найти пять чисел, кратных 30, последовательно умножим 30 на числа от 1 до 5:
$30 \cdot 1 = 30$
$30 \cdot 2 = 60$
$30 \cdot 3 = 90$
$30 \cdot 4 = 120$
$30 \cdot 5 = 150$
Таким образом, пятью числами, кратными 30, являются 30, 60, 90, 120, 150.
Ответ: 30, 60, 90, 120, 150.

3) 100;
Чтобы найти пять чисел, кратных 100, последовательно умножим 100 на числа от 1 до 5:
$100 \cdot 1 = 100$
$100 \cdot 2 = 200$
$100 \cdot 3 = 300$
$100 \cdot 4 = 400$
$100 \cdot 5 = 500$
Таким образом, пятью числами, кратными 100, являются 100, 200, 300, 400, 500.
Ответ: 100, 200, 300, 400, 500.

4) 34.
Чтобы найти пять чисел, кратных 34, последовательно умножим 34 на числа от 1 до 5:
$34 \cdot 1 = 34$
$34 \cdot 2 = 68$
$34 \cdot 3 = 102$
$34 \cdot 4 = 136$
$34 \cdot 5 = 170$
Таким образом, пятью числами, кратными 34, являются 34, 68, 102, 136, 170.
Ответ: 34, 68, 102, 136, 170.

604. Запишите четыре числа, кратных числу:

1) 16;

2) 12;

3) 150;

4) 47.

Число, кратное данному, — это число, которое делится на данное число без остатка. Чтобы найти такие числа, нужно данное число умножить на любое натуральное число (например, 1, 2, 3, 4 и т.д.). В качестве примера для каждого задания найдем первые четыре кратных, умножая исходное число на 1, 2, 3 и 4.

1) Для числа 16 найдем четыре кратных:
$16 \times 1 = 16$
$16 \times 2 = 32$
$16 \times 3 = 48$
$16 \times 4 = 64$
Ответ: 16, 32, 48, 64.

2) Для числа 12 найдем четыре кратных:
$12 \times 1 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$12 \times 3 = 36$
$12 \times 4 = 48$
Ответ: 12, 24, 36, 48.

3) Для числа 150 найдем четыре кратных:
$150 \times 1 = 150$
$150 \times 2 = 300$
$150 \times 3 = 450$
$150 \times 4 = 600$
Ответ: 150, 300, 450, 600.

4) Для числа 47 найдем четыре кратных:
$47 \times 1 = 47$
$47 \times 2 = 94$
$47 \times 3 = 141$
$47 \times 4 = 188$
Ответ: 47, 94, 141, 188.

605. Из чисел 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108, 110 выпишите те, которые:

1) кратны 4;

2) не кратны 6.

1) кратны 4;

Число считается кратным 4, если оно делится на 4 без остатка. Проверим каждое число из предложенного списка:
$28 \div 4 = 7$ (делится нацело, значит кратно);
$36 \div 4 = 9$ (делится нацело, значит кратно);
$48 \div 4 = 12$ (делится нацело, значит кратно);
$64 \div 4 = 16$ (делится нацело, значит кратно);
$92 \div 4 = 23$ (делится нацело, значит кратно);
$100 \div 4 = 25$ (делится нацело, значит кратно);
$108 \div 4 = 27$ (делится нацело, значит кратно);
$110 \div 4 = 27.5$ (не делится нацело, значит не кратно).
Таким образом, мы выписываем все числа, которые делятся на 4.

Ответ: 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108.

2) не кратны 6.

Число кратно 6, если оно одновременно кратно 2 (т.е. четное) и кратно 3 (сумма его цифр делится на 3). Нам нужно найти числа, которые не соответствуют этому правилу. Проверим каждое число:
28: четное, но сумма цифр $2+8=10$, 10 не делится на 3. Следовательно, 28 не кратно 6.
36: четное, сумма цифр $3+6=9$, 9 делится на 3. Следовательно, 36 кратно 6.
48: четное, сумма цифр $4+8=12$, 12 делится на 3. Следовательно, 48 кратно 6.
64: четное, но сумма цифр $6+4=10$, 10 не делится на 3. Следовательно, 64 не кратно 6.
92: четное, но сумма цифр $9+2=11$, 11 не делится на 3. Следовательно, 92 не кратно 6.
100: четное, но сумма цифр $1+0+0=1$, 1 не делится на 3. Следовательно, 100 не кратно 6.
108: четное, сумма цифр $1+0+8=9$, 9 делится на 3. Следовательно, 108 кратно 6.
110: четное, но сумма цифр $1+1+0=2$, 2 не делится на 3. Следовательно, 110 не кратно 6.
Таким образом, мы выписываем все числа, которые не делятся на 6.

Ответ: 28, 64, 92, 100, 110.

606. Известно, что сумма натуральных чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5.

Верно ли, что:

1) каждое из чисел $a$ и $b$ делится нацело на 5;

2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое нет?

Ответ проиллюстрируйте примерами.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$, и известно, что их сумма $(a+b)$ делится нацело на 5. Проверим истинность двух утверждений.

1) каждое из чисел a и b делится нацело на 5;

Данное утверждение неверно. Тот факт, что сумма двух чисел делится на 5, не означает, что каждое из этих чисел по отдельности должно делиться на 5. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести хотя бы один пример, где условие выполняется, а заключение — нет (такой пример называется контрпримером).

Пример:
Возьмем натуральные числа $a=2$ и $b=3$.
Найдем их сумму: $a+b = 2+3 = 5$.
Сумма, равная 5, делится нацело на 5. Таким образом, исходное условие задачи выполнено.
Однако ни число $a=2$, ни число $b=3$ нацело на 5 не делятся.

Этот пример показывает, что утверждение не всегда верно, а значит, оно ложно.

Ответ: нет, неверно.

2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое нет?

Данное утверждение также неверно. Рассмотрим возможные случаи, которые опровергают это утверждение.

Пример 1: Оба числа не делятся на 5.
Возьмем числа $a=7$ и $b=8$.
Их сумма $a+b = 7+8 = 15$.
Сумма 15 делится нацело на 5. Однако ни $a=7$, ни $b=8$ не делятся на 5. Этот случай противоречит утверждению, что одно из чисел должно делиться на 5.

Пример 2: Оба числа делятся на 5.
Возьмем числа $a=10$ и $b=20$.
Их сумма $a+b = 10+20=30$.
Сумма 30 делится нацело на 5. В этом случае оба числа, и $a=10$, и $b=20$, делятся на 5. Это противоречит утверждению, что одно из чисел делится на 5, а другое нет.

На самом деле, если одно число делится на 5, а другое — нет, то их сумма никогда не будет делиться на 5. Например, $10+4=14$ (не делится на 5).

Ответ: нет, неверно.

607. Известно, что каждое из чисел $a$ и $b$ не делится нацело на $11$. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на $11$?

Нет, данное утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — то есть найти такие числа a и b, которые не делятся на 11, но их сумма делится на 11.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть число $a = 1$. Это число не делится нацело на 11.

Пусть число $b = 10$. Это число также не делится нацело на 11.

Таким образом, оба числа a и b удовлетворяют условию задачи. Теперь найдем их сумму:

$a + b = 1 + 10 = 11$

Полученная сумма, равная 11, делится нацело на 11.

Это доказывает, что утверждение неверно. Существуют числа, не кратные 11, сумма которых кратна 11.

В общем случае, если число a не делится на 11, то его можно представить в виде $a = 11k + r_a$, где $k$ — целое число, а $r_a$ — остаток от деления, $r_a \in \{1, 2, ..., 10\}$. Аналогично, $b = 11m + r_b$, где $m$ — целое число, а $r_b \in \{1, 2, ..., 10\}$. Их сумма $a+b = 11(k+m) + (r_a+r_b)$. Эта сумма будет делиться на 11, если сумма остатков $r_a+r_b$ будет делиться на 11. Мы всегда можем подобрать такие ненулевые остатки, например, $r_a=2$ и $r_b=9$, чтобы их сумма была равна 11.

Ответ: Нет, неверно.

608. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1) 15 и 20;

2) 7 и 21;

3) 24 и 36;

4) 20 и 21.

1) 15 и 20; Чтобы найти все числа, являющиеся делителями каждого из данных чисел, нужно найти их общие делители. Для этого сначала найдём все делители для каждого числа по отдельности.
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Теперь выберем те числа, которые есть в обоих списках. Это 1 и 5.
Ответ: 1, 5.

2) 7 и 21; Найдём все делители для каждого из чисел.
Делители числа 7 (простое число): 1, 7.
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21.
Общими делителями для чисел 7 и 21 являются числа, которые присутствуют в обоих списках: 1 и 7.
Ответ: 1, 7.

3) 24 и 36; Найдём все делители для каждого из чисел.
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Сравнивая списки делителей, находим общие для обоих чисел: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

4) 20 и 21. Найдём все делители для каждого из чисел.
Делители числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21.
Единственное число, которое является делителем и для 20, и для 21, — это 1. Такие числа называются взаимно простыми.
Ответ: 1.

609. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1) $12$ и $18$;

2) $60$ и $90$;

3) $22$ и $35$;

4) $9$ и $27$.

Для решения задачи необходимо найти общие делители для каждой пары чисел. Общий делитель — это число, на которое делятся без остатка оба числа из пары.

1) 12 и 18;

Сначала выпишем все делители для каждого числа.

Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Теперь выберем числа, которые присутствуют в обоих списках. Это и будут общие делители.

Общие делители: 1, 2, 3, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) 60 и 90;

Выпишем все делители для каждого числа.

Делители числа 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Делители числа 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Выберем общие числа из двух списков.

Общие делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3) 22 и 35;

Выпишем все делители для каждого числа.

Делители числа 22: 1, 2, 11, 22.

Делители числа 35: 1, 5, 7, 35.

Единственное число, которое есть в обоих списках, — это 1.

Общий делитель: 1.

Ответ: 1.

4) 9 и 27.

Выпишем все делители для каждого числа.

Делители числа 9: 1, 3, 9.

Делители числа 27: 1, 3, 9, 27.

Выберем общие числа из двух списков. Так как 27 делится на 9 ($27 = 9 \cdot 3$), все делители числа 9 являются также и делителями числа 27.

Общие делители: 1, 3, 9.

Ответ: 1, 3, 9.

610. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:

1) 3 и 4;

2) 6 и 12;

3) 4 и 6.

Чтобы найти число, кратное каждому из данных чисел, нужно найти их общее кратное. Поскольку в задаче просят записать какое-либо такое число, мы можем найти наименьшее общее кратное (НОК) для каждой пары чисел. Это будет самым простым и корректным решением.

1) 3 и 4;

Нужно найти число, которое делится на 3 и на 4 без остатка. Так как числа 3 и 4 являются взаимно простыми (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), их наименьшее общее кратное равно их произведению.
$НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.
Проверка: 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$) и 12 делится на 4 ($12 \div 4 = 3$).
Ответ: 12.

2) 6 и 12;

Нужно найти число, которое делится на 6 и на 12 без остатка. В данном случае, одно из чисел (12) уже делится на другое число (6), так как $12 = 6 \times 2$. Это означает, что любое число, кратное 12, автоматически будет кратно и 6. Поэтому наименьшее общее кратное этих чисел — это большее из них, то есть 12.
$НОК(6, 12) = 12$.
Проверка: 12 делится на 6 ($12 \div 6 = 2$) и 12 делится на 12 ($12 \div 12 = 1$).
Ответ: 12.

3) 4 и 6.

Нужно найти число, которое делится на 4 и на 6 без остатка. Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) разложим оба числа на простые множители:
$4 = 2 \times 2 = 2^2$
$6 = 2 \times 3$
Чтобы найти НОК, необходимо взять каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
$НОК(4, 6) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
Проверка: 12 делится на 4 ($12 \div 4 = 3$) и 12 делится на 6 ($12 \div 6 = 2$).
Ответ: 12.

611. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:

1) 5 и 9;

2) 8 и 32;

3) 8 и 12.

1) 5 и 9;
Чтобы найти число, которое кратно каждому из данных чисел, нужно найти их общее кратное. Самым простым примером такого числа является наименьшее общее кратное (НОК).
Числа 5 и 9 являются взаимно простыми, так как их единственный общий делитель — это 1. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(5, 9) = 5 \cdot 9 = 45$.
Таким образом, число 45 кратно и 5, и 9.
Ответ: 45.

2) 8 и 32;
Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 32. Заметим, что число 32 делится на 8 без остатка, так как $32 = 8 \cdot 4$. Если одно из двух чисел делится на другое, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел.
$НОК(8, 32) = 32$.
Таким образом, число 32 кратно и 8, и 32.
Ответ: 32.

3) 8 и 12.
Найдём наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 12. Для этого разложим оба числа на простые множители.
Разложение числа 8 на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Разложение числа 12 на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Чтобы найти НОК, необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.
$НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.
Проверим: $24 \div 8 = 3$ и $24 \div 12 = 2$. Число 24 кратно и 8, и 12.
Ответ: 24.

612. Запишите:

1) все двузначные числа, кратные 19;

2) все трёхзначные числа, кратные 105.

1) Чтобы найти все двузначные числа, кратные 19, нужно найти все произведения числа 19 на натуральные числа, результатом которых будет число в диапазоне от 10 до 99. Будем последовательно умножать 19 на $1, 2, 3, \ldots$ пока результат не выйдет за пределы двузначных чисел.

• $19 \times 1 = 19$ (двузначное)

• $19 \times 2 = 38$ (двузначное)

• $19 \times 3 = 57$ (двузначное)

• $19 \times 4 = 76$ (двузначное)

• $19 \times 5 = 95$ (двузначное)

• $19 \times 6 = 114$ (трёхзначное, не подходит)

Следовательно, искомые числа: 19, 38, 57, 76, 95.

Ответ: 19, 38, 57, 76, 95.

2) Чтобы найти все трёхзначные числа, кратные 105, нужно найти все произведения числа 105 на натуральные числа, результатом которых будет число в диапазоне от 100 до 999. Будем последовательно умножать 105 на $1, 2, 3, \ldots$ пока результат не выйдет за пределы трёхзначных чисел.

• $105 \times 1 = 105$ (трёхзначное)

• $105 \times 2 = 210$ (трёхзначное)

• $105 \times 3 = 315$ (трёхзначное)

• $105 \times 4 = 420$ (трёхзначное)

• $105 \times 5 = 525$ (трёхзначное)

• $105 \times 6 = 630$ (трёхзначное)

• $105 \times 7 = 735$ (трёхзначное)

• $105 \times 8 = 840$ (трёхзначное)

• $105 \times 9 = 945$ (трёхзначное)

• $105 \times 10 = 1050$ (четырёхзначное, не подходит)

Следовательно, искомые числа: 105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945.

Ответ: 105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945.

613. Запишите все двузначные числа, кратные 23.

Чтобы найти все двузначные числа, кратные 23, необходимо найти произведения числа 23 на натуральные числа, которые будут находиться в диапазоне от 10 до 99. Будем последовательно умножать 23 на 1, 2, 3 и так далее, пока результат не превысит 99.

1. Умножим 23 на 1:
$23 \times 1 = 23$.
Число 23 является двузначным.

2. Умножим 23 на 2:
$23 \times 2 = 46$.
Число 46 является двузначным.

3. Умножим 23 на 3:
$23 \times 3 = 69$.
Число 69 является двузначным.

4. Умножим 23 на 4:
$23 \times 4 = 92$.
Число 92 является двузначным.

5. Умножим 23 на 5:
$23 \times 5 = 115$.
Число 115 является трехзначным, поэтому оно не удовлетворяет условию. Все последующие произведения также будут больше 99.

Таким образом, двузначными числами, кратными 23, являются 23, 46, 69 и 92.

Ответ: 23, 46, 69, 92.