Номер 607, страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 22. Делители и кратные. Упражнения - номер 607, страница 144.

Условие.

607. Известно, что каждое из чисел $a$ и $b$ не делится нацело на $11$. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на $11$?

Решение.

Решение 2.

Нет, данное утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — то есть найти такие числа a и b, которые не делятся на 11, но их сумма делится на 11.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть число $a = 1$. Это число не делится нацело на 11.

Пусть число $b = 10$. Это число также не делится нацело на 11.

Таким образом, оба числа a и b удовлетворяют условию задачи. Теперь найдем их сумму:

$a + b = 1 + 10 = 11$

Полученная сумма, равная 11, делится нацело на 11.

Это доказывает, что утверждение неверно. Существуют числа, не кратные 11, сумма которых кратна 11.

В общем случае, если число a не делится на 11, то его можно представить в виде $a = 11k + r_a$, где $k$ — целое число, а $r_a$ — остаток от деления, $r_a \in \{1, 2, ..., 10\}$. Аналогично, $b = 11m + r_b$, где $m$ — целое число, а $r_b \in \{1, 2, ..., 10\}$. Их сумма $a+b = 11(k+m) + (r_a+r_b)$. Эта сумма будет делиться на 11, если сумма остатков $r_a+r_b$ будет делиться на 11. Мы всегда можем подобрать такие ненулевые остатки, например, $r_a=2$ и $r_b=9$, чтобы их сумма была равна 11.

Ответ: Нет, неверно.