Номер 590, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Деление с остатком. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 590, страница 141.

590. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого при делении на 11 даёт в остатке 7.

Для того чтобы значение выражения при делении на 11 давало в остатке 7, оно должно иметь вид $11 \cdot k + 7$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число. Это общая формула для всех чисел, которые дают остаток 7 при делении на 11.

Нам необходимо составить буквенное выражение, которое будет соответствовать этой формуле при подстановке любого натурального числа вместо буквы. Пусть нашей буквой будет $n$, где $n$ — любое натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).

Составим выражение, в котором одна часть будет гарантированно делиться на 11, а вторая будет равна требуемому остатку. Самым простым таким выражением является:

$11n + 7$

Давайте проверим, почему это выражение всегда будет работать. Для любого натурального числа $n$ произведение $11n$ является кратным числу 11, то есть делится на 11 без остатка. Если к числу, которое делится на 11 нацело, прибавить 7, то полученная сумма при делении на 11 всегда будет давать в остатке 7.

Проверим на нескольких примерах:
Если $n=1$, то значение выражения равно $11 \cdot 1 + 7 = 18$. При делении 18 на 11 получаем в частном 1 и в остатке 7.
Если $n=3$, то значение выражения равно $11 \cdot 3 + 7 = 33 + 7 = 40$. При делении 40 на 11 получаем в частном 3 и в остатке 7.
Если $n=10$, то значение выражения равно $11 \cdot 10 + 7 = 110 + 7 = 117$. При делении 117 на 11 получаем в частном 10 и в остатке 7.

Таким образом, данное выражение удовлетворяет условию задачи для любого натурального $n$.

Ответ: $11n + 7$.