Номер 591, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 21. Деление с остатком. Упражнения - номер 591, страница 141.

Условие.

591. Ольга выбрала некоторое натуральное число и нашла остатки при делении его на 3, на 6 и на 9. Оказалось, что сумма остатков равна 15. Найдите эти остатки.

Решение.

Решение 2.

Пусть $N$ — выбранное натуральное число, а $r_3$, $r_6$ и $r_9$ — остатки от деления этого числа на 3, 6 и 9 соответственно.

По определению остатка от деления, для этих остатков существуют следующие ограничения:
- остаток при делении на 3: $0 \le r_3 \le 2$
- остаток при делении на 6: $0 \le r_6 \le 5$
- остаток при делении на 9: $0 \le r_9 \le 8$

По условию задачи, сумма этих остатков равна 15:
$r_3 + r_6 + r_9 = 15$

Чтобы сумма трех остатков была равна 15, они должны быть как можно больше. Найдем максимально возможную сумму остатков, сложив их максимальные значения:
$r_{3_{max}} + r_{6_{max}} + r_{9_{max}} = 2 + 5 + 8 = 15$

Полученная максимальная сумма в точности равна 15. Это возможно только в одном случае: когда каждый остаток равен своему максимальному возможному значению. Если хотя бы один из остатков был меньше своего максимума, то итоговая сумма была бы меньше 15.

Следовательно, искомые остатки:
- Остаток при делении на 3 равен 2.
- Остаток при делении на 6 равен 5.
- Остаток при делении на 9 равен 8.

Для проверки можно убедиться, что такое число $N$ существует. Например, число 17.
При делении 17 на 3 получаем остаток 2 ($17 = 5 \cdot 3 + 2$).
При делении 17 на 6 получаем остаток 5 ($17 = 2 \cdot 6 + 5$).
При делении 17 на 9 получаем остаток 8 ($17 = 1 \cdot 9 + 8$).
Сумма остатков: $2 + 5 + 8 = 15$. Условие выполняется.

Ответ: остаток при делении на 3 равен 2, остаток при делении на 6 равен 5, остаток при делении на 9 равен 8.