Номер 589, страница 141 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 21. Деление с остатком. Упражнения - номер 589, страница 141.

Условие.

589. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:

1) при делении на 3 даёт в остатке 1;

2) при делении на 8 даёт в остатке 3.

Решение.

Решение 2.

1) Нам нужно придумать буквенное выражение, значение которого при подстановке любого натурального числа всегда будет давать остаток 1 при делении на 3.
Общий вид числа, которое при делении на 3 даёт в остатке 1, можно записать формулой $3k + 1$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.
Чтобы наше выражение всегда соответствовало этому виду, мы можем взять произведение любого натурального числа (обозначим его буквой $a$) на 3. Выражение $3a$ всегда будет делиться на 3 без остатка. Если к этому выражению прибавить 1, то полученное выражение $3a + 1$ при делении на 3 всегда будет давать в остатке 1.
Проверим для нескольких натуральных значений $a$:
- Если $a=1$, то $3 \cdot 1 + 1 = 4$. При делении 4 на 3 получаем 1 в остатке.
- Если $a=7$, то $3 \cdot 7 + 1 = 22$. При делении 22 на 3 получаем 1 в остатке ($22 = 3 \cdot 7 + 1$).
- Если $a=50$, то $3 \cdot 50 + 1 = 151$. При делении 151 на 3 получаем 1 в остатке ($151 = 3 \cdot 50 + 1$).
Выражение $3a + 1$ удовлетворяет условию.
Ответ: $3a + 1$.

2) Аналогично, нам нужно придумать буквенное выражение, значение которого при подстановке любого натурального числа всегда будет давать остаток 3 при делении на 8.
Общий вид числа, которое при делении на 8 даёт в остатке 3, можно записать формулой $8k + 3$, где $k$ — некоторое целое неотрицательное число.
Возьмём произведение любого натурального числа (обозначим его буквой $a$) на 8. Выражение $8a$ всегда будет делиться на 8 нацело. Если к этому выражению прибавить 3, то полученное выражение $8a + 3$ при делении на 8 всегда будет давать в остатке 3.
Проверим для нескольких натуральных значений $a$:
- Если $a=1$, то $8 \cdot 1 + 3 = 11$. При делении 11 на 8 получаем 3 в остатке.
- Если $a=5$, то $8 \cdot 5 + 3 = 43$. При делении 43 на 8 получаем 3 в остатке ($43 = 8 \cdot 5 + 3$).
- Если $a=20$, то $8 \cdot 20 + 3 = 163$. При делении 163 на 8 получаем 3 в остатке ($163 = 8 \cdot 20 + 3$).
Выражение $8a + 3$ удовлетворяет условию.
Ответ: $8a + 3$.