Номер 583, страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 21. Деление с остатком. Упражнения - номер 583, страница 140.

Условие.

583. При каком наименьшем натуральном $a$ значение выражения $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2?

Решение.

Решение 2.

Согласно условию задачи, выражение $a + 24$ при делении на 5 даёт остаток 2. Это можно записать в виде сравнения по модулю (конгруэнции):

$a + 24 \equiv 2 \pmod{5}$

Чтобы упростить это выражение, сначала найдём остаток от деления числа 24 на 5:

$24 = 5 \cdot 4 + 4$

Остаток равен 4, следовательно, $24 \equiv 4 \pmod{5}$. Подставим это в наше исходное сравнение:

$a + 4 \equiv 2 \pmod{5}$

Теперь, чтобы найти $a$, вычтем 4 из обеих частей сравнения:

$a \equiv 2 - 4 \pmod{5}$

$a \equiv -2 \pmod{5}$

Остаток принято считать неотрицательным числом. Чтобы найти эквивалентный положительный остаток, прибавим к -2 модуль сравнения, то есть 5:

$a \equiv -2 + 5 \pmod{5}$

$a \equiv 3 \pmod{5}$

Это означает, что число $a$ при делении на 5 должно давать остаток 3. Нам необходимо найти наименьшее натуральное значение $a$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Числа, которые дают остаток 3 при делении на 5, образуют ряд: 3, 8, 13, 18, и так далее.

Наименьшим натуральным числом в этом ряду является 3.

Проверка:

Если $a = 3$, то значение выражения $a + 24$ будет равно $3 + 24 = 27$.

Разделим 27 на 5: $27 = 5 \cdot 5 + 2$. Остаток равен 2, что соответствует условию задачи.

Ответ: 3