Номер 579, страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 21. Деление с остатком. Упражнения - номер 579, страница 140.

Условие.

579. Найдите остаток при делении на 100 числа: 101; 118; 256; 508; 1957. Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 100, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

Решение.

Решение 2.

101
Чтобы найти остаток от деления числа на 100, представим делимое в виде $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое (101), $b$ — делитель (100), $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < 100$.
$101 = 100 \cdot 1 + 1$
Здесь неполное частное равно 1, а остаток равен 1.
Ответ: 1

118
Выполним деление с остатком для числа 118:
$118 = 100 \cdot 1 + 18$
Неполное частное равно 1, остаток равен 18.
Ответ: 18

256
Выполним деление с остатком для числа 256:
$256 = 100 \cdot 2 + 56$
Неполное частное равно 2, остаток равен 56.
Ответ: 56

508
Выполним деление с остатком для числа 508:
$508 = 100 \cdot 5 + 8$
Неполное частное равно 5, остаток равен 8.
Ответ: 8

1957
Выполним деление с остатком для числа 1957:
$1957 = 100 \cdot 19 + 57$
Неполное частное равно 19, остаток равен 57.
Ответ: 57

Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 100
Проанализировав полученные результаты, можно заметить закономерность:
При делении 101 на 100 остаток равен 1 (последние две цифры "01").
При делении 118 на 100 остаток равен 18 (последние две цифры "18").
При делении 256 на 100 остаток равен 56 (последние две цифры "56").
При делении 508 на 100 остаток равен 8 (последние две цифры "08").
При делении 1957 на 100 остаток равен 57 (последние две цифры "57").
Во всех случаях остаток от деления на 100 совпадает с числом, которое образовано двумя последними цифрами исходного числа.

Гипотеза: Остаток от деления любого натурального числа на 100 равен числу, образованному двумя его последними цифрами.

Обоснование гипотезы: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде суммы $N = 100 \cdot k + m$, где $m$ — это число, составленное из двух последних цифр числа $N$ (таким образом, $0 \le m \le 99$), а $k$ — это целое неотрицательное число, полученное из $N$ отбрасыванием двух последних цифр. Например, $1957 = 100 \cdot 19 + 57$. Первое слагаемое ($100 \cdot k$) всегда делится на 100 без остатка. Следовательно, остаток от деления числа $N$ на 100 равен остатку от деления числа $m$ на 100. Так как $m$ по определению меньше 100 ($0 \le m < 100$), то остаток от деления $m$ на 100 равен самому числу $m$. Таким образом, гипотеза верна.
Ответ: Остаток от деления натурального числа на 100 равен числу, которое образовано двумя последними цифрами этого числа.