Номер 578, страница 140 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Деление с остатком. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 578, страница 140.

578. Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750. Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 10, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза.

Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1596; 67 389; 240 750

Чтобы найти остаток от деления натурального числа на 10, нужно выполнить деление с остатком. Остаток от деления на 10 — это число, которое остается после вычитания из исходного числа максимально возможного числа, кратного 10.

Для числа 31: $31 = 30 + 1 = 3 \cdot 10 + 1$. Остаток равен 1.
Для числа 47: $47 = 40 + 7 = 4 \cdot 10 + 7$. Остаток равен 7.
Для числа 53: $53 = 50 + 3 = 5 \cdot 10 + 3$. Остаток равен 3.
Для числа 148: $148 = 140 + 8 = 14 \cdot 10 + 8$. Остаток равен 8.
Для числа 1596: $1596 = 1590 + 6 = 159 \cdot 10 + 6$. Остаток равен 6.
Для числа 67 389: $67 389 = 67 380 + 9 = 6738 \cdot 10 + 9$. Остаток равен 9.
Для числа 240 750: $240 750 = 240 750 + 0 = 24075 \cdot 10 + 0$. Остаток равен 0.

Ответ: остатки от деления чисел 31, 47, 53, 148, 1596, 67 389, 240 750 на 10 равны соответственно 1, 7, 3, 8, 6, 9, 0.

Выскажите гипотезу, чему равен остаток при делении числа на 10, и обсудите на уроке, верна ли ваша гипотеза

Гипотеза: Остаток от деления натурального числа на 10 всегда равен последней цифре этого числа (цифре в разряде единиц).

Обоснование гипотезы: Эта гипотеза верна. Любое натуральное число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы двух слагаемых: первое — это число, полученное из исходного отбрасыванием последней цифры и умноженное на 10 (оно всегда оканчивается на 0), а второе — это сама последняя цифра. Например, $148 = 14 \cdot 10 + 8$ или $67 389 = 6738 \cdot 10 + 9$.

В общем виде любое натуральное число $N$ можно записать как $N = 10 \cdot q + r$, где $q$ — это неполное частное, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < 10$. В десятичной системе счисления запись числа, например $...d_2d_1d_0$, эквивалентна сумме $... + d_2 \cdot 10^2 + d_1 \cdot 10^1 + d_0$. Все члены этой суммы, кроме последнего ($d_0$), содержат множитель 10 и, следовательно, делятся на 10 нацело: $... + d_2 \cdot 100 + d_1 \cdot 10 = 10 \cdot (... + d_2 \cdot 10 + d_1)$. Таким образом, остаток от деления всего числа на 10 определяется последним слагаемым, которое и является последней цифрой числа, $d_0$.

Ответ: Гипотеза состоит в том, что остаток от деления натурального числа на 10 равен его последней цифре. Эта гипотеза верна.