Номер 4, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Вопросы - номер 4, страница 148.

Условие.

4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет?

Решение.

Решение 2.

Чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру (цифру, стоящую в разряде единиц).

Правило делимости на 2

Натуральное число делится нацело на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. То есть, если число оканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Такие числа называются четными.

Если последняя цифра числа не делится на 2 (то есть оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9), то и само число не делится нацело на 2. Такие числа называются нечетными.

Математическое обоснование

Любое натуральное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Возьмем для примера число 4786:

$4786 = 4000 + 700 + 80 + 6 = 4 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 6$

В общем виде любое натуральное число $N$, состоящее из цифр $a_k a_{k-1} ... a_1 a_0$, можно записать так:

$N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + ... + a_1 \cdot 10 + a_0$

Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10. Вынесем его за скобки:

$N = 10 \cdot (a_k \cdot 10^{k-1} + a_{k-1} \cdot 10^{k-2} + ... + a_1) + a_0$

Первое слагаемое, $10 \cdot (...)$, всегда делится на 2, так как один из его множителей — число 10, которое делится на 2 ($10 = 2 \cdot 5$). Следовательно, делимость всей суммы $N$ на 2 полностью зависит от того, делится ли на 2 второе слагаемое, то есть последняя цифра $a_0$.

Если $a_0$ — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8), то она делится на 2, и вся сумма (число $N$) тоже будет делиться на 2.

Если $a_0$ — нечетная цифра (1, 3, 5, 7, 9), то она не делится на 2, и вся сумма (число $N$) также не будет делиться на 2.

Примеры

Число 1358 оканчивается на 8. Цифра 8 делится на 2, значит, и число 1358 делится на 2 ($1358 : 2 = 679$).

Число 990 оканчивается на 0. Цифра 0 делится на 2, значит, и число 990 делится на 2 ($990 : 2 = 495$).

Число 765 оканчивается на 5. Цифра 5 не делится на 2, значит, и число 765 не делится на 2 ($765 : 2 = 382$ и остаток 1).

Число 24871 оканчивается на 1. Цифра 1 не делится на 2, значит, и число 24871 не делится на 2 ($24871 : 2 = 12435$ и остаток 1).

Ответ: Чтобы установить, делится ли натуральное число нацело на 2, нужно посмотреть на его последнюю цифру. Если последняя цифра числа — 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2. Если последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9, то число не делится на 2.