Номер 5, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 23. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2. Вопросы - номер 5, страница 148.

Условие.

5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 5 или нет?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы по записи натурального числа установить, делится ли оно нацело на 5, необходимо посмотреть на последнюю цифру в его десятичной записи. Это правило называется признаком делимости на 5.

Обоснование правила:
Любое натуральное число N можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Например, число, состоящее из цифр $a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$, можно записать так:
$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$
Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего ($a_0$), содержат множитель 10 или его степень. Мы можем вынести 10 за скобки для всех членов, кроме последнего:
$N = 10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + a_{n-1} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_1) + a_0$
Первое слагаемое, $10 \cdot (a_n \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1)$, всегда делится на 5 без остатка, так как один из его множителей, число 10, делится на 5 ($10 = 2 \cdot 5$).
Следовательно, делимость всего числа N на 5 зависит исключительно от того, делится ли на 5 его последнее слагаемое — последняя цифра $a_0$.
Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5. Таким образом, чтобы всё число делилось на 5, его запись должна оканчиваться на 0 или 5.

Примеры:

• Число 345 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5. Проверка: $345 : 5 = 69$.
• Число 1290 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 5. Проверка: $1290 : 5 = 258$.
• Число 783 оканчивается на 3. Так как 3 не является ни 0, ни 5, число 783 не делится на 5 нацело. Проверка: $783 : 5 = 156$ (остаток 3).

Ответ: Натуральное число делится нацело на 5 в том и только в том случае, если его десятичная запись оканчивается на цифру 0 или 5.