Номер 503, страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 19. Степень с натуральным показателем. Упражнения - номер 503, страница 127.

Условие.

503. Вася задумал трёхзначное число, у которого с каждым из чисел 652, 153 и 673 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумал Вася?

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое трёхзначное число — это $N = \overline{abc}$, где $a$ — цифра в разряде сотен, $b$ — в разряде десятков, а $c$ — в разряде единиц. По условию, это число должно иметь ровно одну цифру, совпадающую по разряду с каждым из чисел 652, 153 и 673.

Проанализируем данные числа. Некоторые из них имеют одинаковые цифры в одинаковых разрядах:

• У чисел 652 и 673 совпадает цифра сотен (6).
• У чисел 652 и 153 совпадает цифра десятков (5).
• У чисел 153 и 673 совпадает цифра единиц (3).

Это наблюдение поможет нам найти решение методом исключения.

1. Предположим, что цифра сотен искомого числа равна 6 ($a=6$). Тогда, согласно условию, для числа 652 должны не совпадать цифры десятков и единиц ($b \neq 5$ и $c \neq 2$), а для числа 673 — $b \neq 7$ и $c \neq 3$. Теперь проверим условие для числа 153. С ним должно быть одно совпадение. Но мы уже знаем, что $a=6 \neq 1$, $b \neq 5$, и $c \neq 3$. Значит, с числом 153 нет ни одного совпадения, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, и $a \neq 6$.

2. Предположим, что цифра десятков искомого числа равна 5 ($b=5$). Тогда для числа 652 $a \neq 6$ и $c \neq 2$, а для числа 153 $a \neq 1$ и $c \neq 3$. Проверим условие для числа 673. С ним должно быть одно совпадение. Но мы знаем, что $a \neq 6$, $b=5 \neq 7$, и $c \neq 3$. Снова нет ни одного совпадения. Это противоречие означает, что $b \neq 5$.

3. Предположим, что цифра единиц искомого числа равна 3 ($c=3$). Тогда для числа 153 $a \neq 1$ и $b \neq 5$, а для числа 673 $a \neq 6$ и $b \neq 7$. Проверим условие для числа 652. С ним должно быть одно совпадение. Но мы знаем, что $a \neq 6$, $b \neq 5$, и $c=3 \neq 2$. И в этом случае нет ни одного совпадения. Следовательно, $c \neq 3$.

Теперь мы можем однозначно определить цифры искомого числа:

• С числом 652 должно быть одно совпадение. Мы доказали, что $a \neq 6$ и $b \neq 5$. Значит, совпадение должно быть в разряде единиц: $c=2$.
• С числом 153 должно быть одно совпадение. Мы знаем, что $b \neq 5$ и $c=2 \neq 3$. Значит, совпадение должно быть в разряде сотен: $a=1$.
• С числом 673 должно быть одно совпадение. Мы знаем, что $a=1 \neq 6$ и $c=2 \neq 3$. Значит, совпадение должно быть в разряде десятков: $b=7$.

Таким образом, Вася задумал число 172. Проверим, удовлетворяет ли оно всем условиям:

• Сравнение с 652: совпадает только цифра единиц (2). (Одно совпадение)
• Сравнение с 153: совпадает только цифра сотен (1). (Одно совпадение)
• Сравнение с 673: совпадает только цифра десятков (7). (Одно совпадение)

Все условия выполнены.

Ответ: 172