Номер 478, страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 3. Умножение и деление натуральных чисел. Параграф 18. Сочетательное и распределительное свойства умножения. Упражнения - номер 478, страница 123.

Условие.

478. Сколькими нулями оканчивается произведение всех натуральных чисел:

1) от 1 до 10 включительно; 3) от 10 до 30 включительно;

2) от 15 до 24 включительно; 4) от 1 до 100 включительно?

Решение.

Решение 2.

Количество нулей на конце произведения натуральных чисел определяется количеством пар простых множителей 2 и 5 в его разложении. Поскольку множитель 2 встречается значительно чаще, чем множитель 5, количество нулей равно количеству множителей 5.

1) от 1 до 10 включительно;

Рассматривается произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 10 = 10!$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 5 и 10.
Число 5 дает один множитель 5.
Число 10 ($2 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

2) от 15 до 24 включительно;

Рассматривается произведение $P = 15 \cdot 16 \cdot \dots \cdot 24$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 15 и 20.
Число 15 ($3 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Число 20 ($4 \cdot 5$) дает один множитель 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 = 2$.
Следовательно, произведение оканчивается двумя нулями.
Ответ: 2.

3) от 10 до 30 включительно;

Рассматривается произведение $P = 10 \cdot 11 \cdot \dots \cdot 30$.
В этом диапазоне на 5 делятся числа: 10, 15, 20, 25, 30.
Числа 10, 15, 20, 30 дают по одному множителю 5.
Число 25 ($5^2$) дает два множителя 5.
Общее количество множителей 5 равно $1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 6$.
Следовательно, произведение оканчивается шестью нулями.
Ответ: 6.

4) от 1 до 100 включительно?

Рассматривается произведение $P = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 100 = 100!$.
Для подсчета количества множителей 5 нужно найти, сколько чисел от 1 до 100 делятся на 5, сколько на $5^2 = 25$, сколько на $5^3 = 125$ и т.д., и сложить эти количества.
Количество чисел, кратных 5: $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$.
Количество чисел, кратных 25: $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$.
Количество чисел, кратных 125: $\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = 0$.
Общее количество множителей 5 равно $20 + 4 = 24$.
Следовательно, произведение оканчивается 24 нулями.
Ответ: 24.