Страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равна разность $738\ 621 - 239\ 507$?

А) 499 114

Б) 498 104

В) 489 014

Г) 488 124

Чтобы найти разность чисел 738 621 и 239 507, выполним вычитание столбиком. Запишем числа одно под другим, так чтобы соответствующие разряды находились в одном столбце.

$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 7 & 3 & 8 & 6 & 2 & 1 \\- & 2 & 3 & 9 & 5 & 0 & 7 \\\hline\end{array}$

Начнем вычитание с крайнего правого разряда (единиц) и будем двигаться влево:
1. Разряд единиц: $1 - 7$. Поскольку 1 меньше 7, занимаем 1 десяток из разряда десятков (от 2). Получаем 10 + 1 = 11. Теперь вычитаем: $11 - 7 = 4$. В разряде десятков теперь остается 1.
2. Разряд десятков: $1 - 0 = 1$.
3. Разряд сотен: $6 - 5 = 1$.
4. Разряд тысяч: $8 - 9$. Поскольку 8 меньше 9, занимаем 1 десяток тысяч из разряда десятков тысяч (от 3). Получаем 10 + 8 = 18. Теперь вычитаем: $18 - 9 = 9$. В разряде десятков тысяч теперь остается 2.
5. Разряд десятков тысяч: $2 - 3$. Поскольку 2 меньше 3, занимаем 1 сотню тысяч из разряда сотен тысяч (от 7). Получаем 10 + 2 = 12. Теперь вычитаем: $12 - 3 = 9$. В разряде сотен тысяч теперь остается 6.
6. Разряд сотен тысяч: $6 - 2 = 4$.

Полное вычисление с учетом заимствований выглядит так:
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & \text{ }_6\dot{7} & \text{ }_{12}\dot{3} & \text{ }_{18}\dot{8} & 6 & \text{ }_1\dot{2} & \text{ }_{11}1 \\- & 2 & 3 & 9 & 5 & 0 & 7 \\\hline & 4 & 9 & 9 & 1 & 1 & 4 \\\end{array}$
Таким образом, разность чисел $738621 - 239507$ равна 499 114.

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 499 114

2. Чему равна сумма $2\text{ ч }36\text{ мин } + 6\text{ ч }48\text{ мин}$?

А) $9\text{ ч }34\text{ мин}$

В) $9\text{ ч }24\text{ мин}$

Б) $8\text{ ч }14\text{ мин}$

Г) $8\text{ ч }24\text{ мин}$

Чтобы найти сумму, необходимо отдельно сложить часы и отдельно минуты, а затем, если необходимо, преобразовать минуты в часы.

1. Складываем часы:

Складываем количество часов из обоих промежутков времени:

$2 \text{ ч} + 6 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

2. Складываем минуты:

Складываем количество минут:

$36 \text{ мин} + 48 \text{ мин} = 84 \text{ мин}$

3. Преобразуем минуты в часы и минуты:

Поскольку в одном часе 60 минут, а полученная сумма минут (84) больше 60, мы можем выделить из нее целый час:

$84 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 24 \text{ мин}$

Так как $60 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$, то $84 \text{ мин}$ равны $1 \text{ ч} \ 24 \text{ мин}$.

4. Находим итоговую сумму:

Теперь к сумме часов, полученной в первом шаге, добавляем результат из третьего шага:

$8 \text{ ч} + 1 \text{ ч} \ 24 \text{ мин} = 9 \text{ ч} \ 24 \text{ мин}$

Полученный результат соответствует варианту В.

Ответ: В) 9 ч 24 мин

3. В виде какого равенства можно записать то, что число $m$ на 18 меньше числа $n$?

А) $m - n = 19$
Б) $n - m = 18$
В) $m + n = 18$
Г) $m = n + 18$

Условие "число $m$ на 18 меньше числа $n$" означает, что число $n$ является большим, а число $m$ — меньшим. Разница между этими двумя числами составляет 18.

Это можно выразить математически двумя эквивалентными способами:

• Если из большего числа ($n$) вычесть меньшее ($m$), получится их разница: $n - m = 18$.
• Чтобы получить меньшее число ($m$), нужно из большего числа ($n$) вычесть разницу: $m = n - 18$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы найти тот, который соответствует условию.

А) $m - n = 19$

Это равенство означает, что $m = n + 19$, то есть число $m$ больше числа $n$ на 19. Это противоречит условию задачи, согласно которому $m$ меньше $n$.

Б) $n - m = 18$

Это равенство показывает, что разность между $n$ и $m$ равна 18. Поскольку результат вычитания положителен, это означает, что $n$ больше $m$ на 18. Это в точности соответствует условию, что "число $m$ на 18 меньше числа $n$". Этот вариант является правильным.

В) $m + n = 18$

Это равенство описывает сумму чисел $m$ и $n$, а не их разность. Оно не соответствует условию задачи.

Г) $m = n + 18$

Это равенство означает, что число $m$ больше числа $n$ на 18, что является утверждением, противоположным условию задачи.

Следовательно, единственное верное равенство, которое соответствует условию, — это $n - m = 18$.

Ответ: Б) $n - m = 18$

4. Чему равен корень уравнения $(x - 63) + 105 = 175$?

А) 133

Б) 7

В) 343

Г) 217

Чтобы найти корень уравнения, нужно найти значение переменной $x$.

Дано уравнение:

$(x - 63) + 105 = 175$

Для начала, рассмотрим выражение в левой части. Выражение $(x - 63)$ можно рассматривать как одно неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (175) вычесть известное слагаемое (105):

$x - 63 = 175 - 105$

Выполним вычитание в правой части:

$x - 63 = 70$

Теперь у нас есть уравнение, где $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (70) прибавить вычитаемое (63):

$x = 70 + 63$

Выполним сложение:

$x = 133$

Проверка:

Подставим найденное значение $x=133$ в исходное уравнение:

$(133 - 63) + 105 = 70 + 105 = 175$

$175 = 175$

Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно. Этот результат соответствует варианту А).

Ответ: 133

5. Укажите верное утверждение:

А) угол, который больше острого угла, — тупой

Б) угол, который меньше тупого угла, — прямой

В) острый угол меньше тупого угла

Г) угол, который больше прямого угла, — развёрнутый

Для того чтобы определить верное утверждение, проанализируем каждый из предложенных вариантов, используя определения основных видов углов:

• Острый угол — угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
• Развёрнутый угол — угол, градусная мера которого равна $180^\circ$.

А) угол, который больше острого угла, — тупой

Это утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Возьмем острый угол, равный $40^\circ$. Угол $70^\circ$ больше, чем $40^\circ$, но он также является острым. Угол $90^\circ$ тоже больше $40^\circ$, но он прямой. Таким образом, угол, который больше острого, не обязательно является тупым.
Ответ: неверно.

Б) угол, который меньше тупого угла, — прямой

Это утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Возьмем тупой угол, равный $130^\circ$. Угол $110^\circ$ меньше $130^\circ$, но он тоже является тупым. Угол $60^\circ$ также меньше $130^\circ$, но он является острым. Таким образом, угол, который меньше тупого, не обязательно является прямым.
Ответ: неверно.

В) острый угол меньше тупого угла

Это утверждение верно. По определению, градусная мера любого острого угла ($\alpha$) находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Градусная мера любого тупого угла ($\gamma$) находится в диапазоне $90^\circ < \gamma < 180^\circ$. Из этих неравенств следует, что любой острый угол ($\alpha < 90^\circ$) всегда меньше любого тупого угла ($\gamma > 90^\circ$).
Ответ: верно.

Г) угол, который больше прямого угла, — развёрнутый

Это утверждение неверно. Прямой угол равен $90^\circ$, а развёрнутый — $180^\circ$. Угол, который больше прямого, может быть тупым. Например, угол в $150^\circ$ больше $90^\circ$, но он является тупым, а не развёрнутым.
Ответ: неверно.

6. Из вершины развёрнутого угла MKP, изображённого на рисунке 155, проведены лучи KA и KB так, что $∠MKB = 115^\circ$, $∠AKP = 94^\circ$. Вычислите градусную меру угла AKB.

A) $21^\circ$

Б) $27^\circ$

В) $29^\circ$

Г) $32^\circ$

Рис. 155

Поскольку угол $MKP$ является развёрнутым, его градусная мера составляет $180^{\circ}$.

Из условия задачи нам даны два угла: $\angle MKB = 115^{\circ}$ и $\angle AKP = 94^{\circ}$.

Для нахождения угла $\angle AKB$ можно использовать свойство сложения углов. Если мы сложим углы $\angle MKB$ и $\angle AKP$, мы фактически сложим все три угла, составляющие развёрнутый угол ($\angle MKA$, $\angle AKB$, $\angle BKP$), при этом угол $\angle AKB$, находящийся между лучами $KA$ и $KB$, будет учтён дважды.

Математически это можно записать так:

$\angle MKB + \angle AKP = (\angle MKA + \angle AKB) + (\angle BKP + \angle AKB)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$\angle MKB + \angle AKP = (\angle MKA + \angle AKB + \angle BKP) + \angle AKB$

Сумма в скобках представляет собой развёрнутый угол $\angle MKP$:

$\angle MKA + \angle AKB + \angle BKP = \angle MKP = 180^{\circ}$

Таким образом, наша формула принимает вид:

$\angle MKB + \angle AKP = \angle MKP + \angle AKB$

Теперь подставим известные значения и решим уравнение относительно $\angle AKB$:

$115^{\circ} + 94^{\circ} = 180^{\circ} + \angle AKB$

$209^{\circ} = 180^{\circ} + \angle AKB$

$\angle AKB = 209^{\circ} - 180^{\circ}$

$\angle AKB = 29^{\circ}$

Ответ: $29^{\circ}$

7. Определите, какой из треугольников, изображённых на рисунках 156–158, является равнобедренным, и укажите его периметр.

Рис. 156

Треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 5$ см, $BC = 8$ см, $AC = 11$ см.

Рис. 157

Треугольник $DEF$ со сторонами $DF = 4$ см, $EF = 6$ см, $DE = 6$ см.

Рис. 158

Треугольник $KMN$ со сторонами $KM = 5$ см, $MN = 12$ см, $KN = 13$ см.

А) 24 см

Б) 16 см

В) 30 см

Г) 20 см

Для решения задачи необходимо проанализировать каждый треугольник, чтобы найти тот, у которого две стороны равны (такой треугольник называется равнобедренным), а затем вычислить его периметр, который равен сумме длин всех его сторон.

Рис. 156

Рассмотрим треугольник ABC. Длины его сторон: $AB = 5$ см, $BC = 8$ см, $AC = 11$ см. Так как все стороны имеют разную длину ($5 \neq 8 \neq 11$), этот треугольник не является равнобедренным.

Рис. 157

Рассмотрим треугольник DFE. Длины его сторон: $DF = 4$ см, $FE = 6$ см, $DE = 6$ см. Две стороны этого треугольника равны: $FE = DE = 6$ см. Следовательно, треугольник DFE является равнобедренным.
Найдем его периметр (P) как сумму длин всех сторон:
$P_{DFE} = DF + FE + DE = 4 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Рис. 158

Рассмотрим треугольник KMN. Длины его сторон: $KM = 5$ см, $MN = 12$ см, $KN = 13$ см. Так как все стороны имеют разную длину ($5 \neq 12 \neq 13$), этот треугольник не является равнобедренным.

Таким образом, из трех предложенных треугольников только треугольник, изображенный на рисунке 157, является равнобедренным, и его периметр составляет 16 см.

Ответ: Равнобедренным является треугольник на Рис. 157, его периметр равен 16 см.