Страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?

1.

Прямоугольником называют четырёхугольник, у которого все углы являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому он обладает всеми его свойствами. А именно:
• Противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны.
• Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Кроме общих свойств параллелограмма, у прямоугольника есть и уникальное свойство: его диагонали равны. Это свойство также может служить его определением: параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Что называют длиной и шириной прямоугольника?

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°). У прямоугольника есть две пары равных противоположных сторон.

Длиной и шириной прямоугольника называют длины его смежных сторон, то есть сторон, которые имеют общую вершину.

По общепринятому соглашению:

- Длина — это размер большей из двух смежных сторон.

- Ширина — это размер меньшей из двух смежных сторон.

Например, если одна сторона прямоугольника равна 10 см, а соседняя сторона — 5 см, то его длина составляет 10 см, а ширина — 5 см.

Если все стороны прямоугольника равны (такая фигура называется квадратом), то его длина равна его ширине.

Ответ: Длиной и шириной прямоугольника называют длины его смежных (соседних) сторон. Обычно большей стороне присваивают название "длина", а меньшей — "ширина".

3. Каким свойством обладают противолежащие стороны прямоугольника?

Противолежащие стороны прямоугольника обладают двумя основными свойствами, которые следуют из определения прямоугольника как частного случая параллелограмма.

Рассмотрим прямоугольник с вершинами $A, B, C, D$. В нём есть две пары противолежащих сторон: $AB$ и $CD$, а также $BC$ и $AD$.

Эти стороны обладают следующими свойствами:

1. Равенство длин

   Противолежащие стороны прямоугольника равны друг другу. Это означает, что длина стороны $AB$ в точности равна длине стороны $CD$, а длина стороны $BC$ равна длине стороны $AD$.

   Математически это записывается так:

   $AB = CD$

   $BC = AD$

2. Параллельность

   Противолежащие стороны прямоугольника параллельны. Это означает, что прямые, на которых лежат эти стороны, никогда не пересекутся, на каком бы расстоянии их ни продолжали.

   Математически это записывается с помощью знака параллельности $ \parallel $:

   $AB \parallel CD$

   $BC \parallel AD$

Таким образом, ключевым свойством противолежащих сторон прямоугольника является их попарное равенство и параллельность.

Ответ: Противолежащие стороны прямоугольника попарно равны по длине и параллельны друг другу.

4. Какую фигуру называют квадратом?

Квадратом называют правильный четырёхугольник. Это означает, что квадрат — это плоская геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны между собой и все четыре угла также равны между собой.

Поскольку сумма углов любого выпуклого четырёхугольника составляет $360^\circ$, то каждый угол квадрата равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$. То есть, все углы квадрата — прямые.

Квадрат можно определить и через другие известные фигуры:

- Квадрат — это прямоугольник (четырёхугольник с прямыми углами), у которого все стороны равны.

- Квадрат — это ромб (четырёхугольник с равными сторонами), у которого все углы прямые.

Из этого следует, что квадрат обладает всеми свойствами как прямоугольника, так и ромба. Например, его диагонали равны (свойство прямоугольника), а также взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов (свойства ромба).

Ответ: Квадратом называют правильный четырёхугольник, то есть плоскую фигуру с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами ($90^\circ$).

5. По какой формуле вычисляют периметр прямоугольника?

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. Прямоугольник является четырехугольником, у которого противоположные стороны равны, а все углы прямые.

Обозначим длину прямоугольника буквой $a$, а его ширину — буквой $b$. Поскольку у прямоугольника две стороны имеют длину $a$ и две стороны имеют длину $b$, для нахождения периметра ($P$) необходимо сложить длины всех четырех сторон.

Сложение всех сторон можно записать в виде выражения: $P = a + b + a + b$.

После приведения подобных слагаемых мы получаем первую формулу для вычисления периметра:

$P = 2a + 2b$

Однако наиболее распространенной является формула, в которой общий множитель 2 вынесен за скобки. Согласно этой формуле, нужно сначала найти сумму длины и ширины, а затем умножить полученное значение на два. Это выглядит так:

$P = 2 \cdot (a + b)$

Обе формулы являются верными и приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Периметр прямоугольника вычисляют по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина прямоугольника.

6. По какой формуле вычисляют периметр квадрата?

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все четыре стороны равны.

Обозначим длину стороны квадрата переменной $a$. Поскольку у квадрата четыре одинаковые стороны, его периметр $P$ можно найти, сложив длины всех его сторон:

$P = a + a + a + a$

Так как все четыре слагаемых одинаковы, мы можем заменить операцию сложения на умножение длины стороны на количество сторон, то есть на 4:

$P = 4 \cdot a$

Эта формула позволяет вычислить периметр любого квадрата, зная длину его стороны.

Ответ: $P = 4a$

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длины двух других сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?

По условию, треугольник является равнобедренным, а это значит, что две его стороны равны. Данная в условии сторона (12 см) может быть как одной из двух равных боковых сторон, так и основанием. Поэтому задача имеет два возможных решения, которые мы рассмотрим по отдельности.

Найдите длины двух других сторон треугольника.

Случай 1: Известная сторона является боковой стороной.

Если боковая сторона равна 12 см, то в треугольнике две стороны по 12 см. Периметр равен 32 см. Длину третьей стороны (основания) можно найти, вычтя из периметра длины двух известных сторон:

$c = 32 - (12 + 12) = 32 - 24 = 8$ см.

Получаем треугольник со сторонами 12 см, 12 см и 8 см. Необходимо проверить, может ли такой треугольник существовать, используя неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

$12 + 12 > 8$ ( $24 > 8$ ) — верно.

$12 + 8 > 12$ ( $20 > 12$ ) — верно.

Следовательно, такой треугольник существует. Длины двух других сторон в этом случае равны 12 см и 8 см.

Случай 2: Известная сторона является основанием.

Если основание равно 12 см, то две боковые стороны равны между собой. Чтобы найти их длину, вычтем из периметра длину основания и разделим результат на 2:

$a = (32 - 12) / 2 = 20 / 2 = 10$ см.

Получаем треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Проверим неравенство треугольника:

$10 + 10 > 12$ ( $20 > 12$ ) — верно.

$10 + 12 > 10$ ( $22 > 10$ ) — верно.

Такой треугольник также существует. Длины двух других сторон в этом случае равны 10 см и 10 см.

Ответ: Длины двух других сторон могут быть 12 см и 8 см, либо обе стороны по 10 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку оба рассмотренных случая приводят к треугольникам, которые удовлетворяют неравенству треугольника, оба решения являются верными. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

2. Найдите сторону равностороннего треугольника, если она меньше его периметра на 10 см.

Пусть a — длина стороны равностороннего треугольника в сантиметрах.

Поскольку треугольник равносторонний, все три его стороны равны a. Периметр P такого треугольника равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + a + a = 3a$

В условии задачи сказано, что сторона треугольника меньше его периметра на 10 см. Это можно записать в виде уравнения:

$a = P - 10$

Теперь подставим выражение для периметра ($P = 3a$) в это уравнение, чтобы найти сторону a:

$a = 3a - 10$

Решим полученное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной a в одну сторону, а числа — в другую:

$3a - a = 10$

$2a = 10$

$a = \frac{10}{2}$

$a = 5$

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет 5 см.

Ответ: 5 см.

3. Вычислите значение $y$ по формуле $y = x \cdot x + 12$, если:

1) $x = 1$;

2) $x = 10$.

Для вычисления значения y по формуле $y = x \cdot x + 12$ необходимо подставить заданное значение x в эту формулу и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем сложение).

1) Если $x = 1$:

Подставляем значение $x=1$ в формулу:

$y = 1 \cdot 1 + 12$

Выполняем умножение:

$1 \cdot 1 = 1$

Выполняем сложение:

$y = 1 + 12 = 13$

Ответ: 13.

2) Если $x = 10$:

Подставляем значение $x=10$ в формулу:

$y = 10 \cdot 10 + 12$

Выполняем умножение:

$10 \cdot 10 = 100$

Выполняем сложение:

$y = 100 + 12 = 112$

Ответ: 112.

394. Постройте:

1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см;

2) квадрат со стороной 3 см.

1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см

Для построения прямоугольника нам понадобятся линейка и угольник (или транспортир для построения прямых углов). Построение выполняется в несколько шагов:

1. Начертим отрезок $AB$ длиной 4 см.
2. В точке $A$ при помощи угольника построим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре отложим от точки $A$ отрезок $AD$ длиной 2 см.
4. В точке $B$ также построим перпендикуляр к отрезку $AB$ (в ту же сторону, что и первый перпендикуляр).
5. На втором перпендикуляре отложим от точки $B$ отрезок $BC$ длиной 2 см.
6. Соединим точки $D$ и $C$ отрезком.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. У него все углы прямые ($\angle A = \angle B = 90^\circ$ по построению, из чего следует, что $AD \parallel BC$, а так как $AD=BC$, то $ABCD$ - параллелограмм, у которого все углы прямые), и длины соседних сторон равны 4 см и 2 см.

Ответ: Построен прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см.

2) квадрат со стороной 3 см

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Построение аналогично построению прямоугольника:

1. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 3 см.
2. В точке $A$ с помощью угольника построим перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На построенном перпендикуляре отложим отрезок $AD$ длиной 3 см.
4. В точке $B$ построим перпендикуляр к отрезку $AB$ в ту же полуплоскость.
5. На этом перпендикуляре отложим отрезок $BC$ длиной 3 см.
6. Соединим отрезком точки $D$ и $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его углы прямые и все стороны равны 3 см ($AB=AD=BC=DC=3$ см).

Ответ: Построен квадрат со стороной 3 см.

395. Постройте прямоугольник, соседние стороны которого равны 25 мм и 35 мм.

Для построения прямоугольника с заданными сторонами $25$ мм и $35$ мм с помощью линейки и угольника (или транспортира) необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите отрезок $AB$ длиной $35$ мм. Это будет одна из сторон прямоугольника.

2. В точке $A$ постройте перпендикуляр к отрезку $AB$. Для этого приложите угольник так, чтобы одна из его сторон, образующих прямой угол, совпала с отрезком $AB$, а вершина прямого угла — с точкой $A$. Вдоль второй стороны угольника проведите луч с началом в точке $A$.

3. На построенном луче от точки $A$ отложите отрезок $AD$ длиной $25$ мм. Это будет соседняя сторона прямоугольника.

4. Теперь аналогичным образом постройте прямой угол в вершине $B$. Приложите угольник к отрезку $AB$ так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой $B$, и проведите луч, перпендикулярный $AB$, в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$, где находится точка $D$.

5. На этом луче отложите от точки $B$ отрезок $BC$ длиной $25$ мм.

6. Соедините точки $C$ и $D$ отрезком. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником, так как у него по построению три прямых угла ($\angle A$, $\angle B$ по построению, $\angle D$ и $\angle C$ будут также прямыми), а соседние стороны равны заданным длинам.

В результате будет построен прямоугольник со сторонами $25$ мм и $35$ мм.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.

396. Вычислите периметр:

1) прямоугольника, соседние стороны которого равны 42 см и 23 см;

2) квадрата со стороной 8 дм.

1) Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2(a + b)$, где $a$ и $b$ — это длины его соседних сторон.
По условию задачи, стороны прямоугольника равны $a = 42$ см и $b = 23$ см.
Подставим эти значения в формулу:
$P = 2 \times (42 + 23)$
Сначала выполним сложение в скобках:
$42 + 23 = 65$ см.
Теперь умножим полученную сумму на 2:
$P = 2 \times 65 = 130$ см.
Ответ: 130 см.

2) Периметр квадрата находится по формуле $P = 4a$, где $a$ — это длина его стороны.
По условию задачи, сторона квадрата равна $a = 8$ дм.
Подставим это значение в формулу:
$P = 4 \times 8 = 32$ дм.
Ответ: 32 дм.

397. Найдите периметр прямоугольника, соседние стороны которого равны 13 мм и 17 мм.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон. У прямоугольника противоположные стороны равны. Если соседние стороны равны $a$ и $b$, то две другие стороны также будут равны $a$ и $b$.

Формула для вычисления периметра прямоугольника $P$ выглядит так:

$P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2 \cdot (a + b)$

В данной задаче нам даны длины соседних сторон:

$a = 13$ мм

$b = 17$ мм

Подставим эти значения в формулу:

$P = 2 \cdot (13 + 17)$

Сначала выполним действие в скобках:

$13 + 17 = 30$

Теперь умножим результат на 2:

$P = 2 \cdot 30 = 60$ мм

Ответ: 60 мм.

398. 1) Длина одной из сторон прямоугольника равна 14 см, что на 5 см больше длины соседней стороны. Найдите периметр прямоугольника.

2) Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.

1)

Пусть $a$ и $b$ — длины соседних сторон прямоугольника. По условию, длина одной из сторон равна 14 см. Пусть это будет сторона $a$.
$a = 14$ см.

Эта сторона на 5 см больше длины соседней стороны $b$. Следовательно, чтобы найти длину стороны $b$, нужно из длины стороны $a$ вычесть 5 см:
$b = a - 5$ см $= 14 - 5 = 9$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
Подставим найденные значения длин сторон:
$P = 2(14 + 9) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

Ответ: 46 см.

2)

Периметр прямоугольника $P$ равен 34 см. Длина одной из его сторон, пусть это будет $a$, равна 12 см. Нужно найти длину соседней стороны $b$.

Формула для нахождения периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.
Подставим известные значения в формулу:
$34 = 2(12 + b)$

Чтобы найти сумму длин соседних сторон $(a+b)$, разделим периметр на 2:
$12 + b = 34 / 2$
$12 + b = 17$

Теперь найдем длину неизвестной стороны $b$:
$b = 17 - 12 = 5$ см.

Ответ: 5 см.