Страница 99 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какой треугольник называют равнобедренным? равносторонним? разносторонним?

Какой треугольник называют равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что углы при его основании равны.
Ответ: Равнобедренным называют треугольник, у которого две стороны равны.

Какой треугольник называют равносторонним?
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, у которого все три стороны равны. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника, у которого основание равно боковой стороне. Вследствие равенства сторон все углы равностороннего треугольника также равны между собой и составляют $60^\circ$, так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ ($180^\circ \div 3 = 60^\circ$).
Ответ: Равносторонним называют треугольник, у которого все три стороны равны.

Какой треугольник называют разносторонним?
Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Как следствие, все три угла разностороннего треугольника также имеют разную величину.
Ответ: Разносторонним называют треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину.

5. Как называют стороны равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны имеют специальные названия, которые определяют его структуру и свойства.

1. Боковые стороны: Это две равные по длине стороны треугольника. Именно наличие этих двух равных сторон и делает треугольник равнобедренным.

2. Основание: Это третья сторона треугольника, которая, как правило, отличается по длине от боковых сторон. (В частном случае, когда все три стороны равны, треугольник является равносторонним, и любую из его сторон можно считать основанием).

Углы, прилежащие к основанию, в равнобедренном треугольнике всегда равны.

Ответ: Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием.

6. По какой формуле вычисляют периметр равностороннего треугольника?

Периметр любого многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для обычного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ периметр $P$ вычисляется как $P = a + b + c$.

Равносторонний треугольник — это особый вид треугольника, у которого все три стороны имеют одинаковую длину. Если обозначить длину одной стороны равностороннего треугольника как $a$, то и две другие его стороны также будут равны $a$.

Следовательно, чтобы найти периметр равностороннего треугольника, нужно сложить длины его трех одинаковых сторон:

$P = a + a + a$

Это выражение можно упростить, заменив сложение одинаковых слагаемых умножением:

$P = 3 \cdot a$

Таким образом, формула для вычисления периметра равностороннего треугольника — это его сторона, умноженная на три.

Ответ: $P = 3a$, где $P$ — периметр, а $a$ — длина стороны треугольника.

1. Чему равен периметр восьмиугольника, каждая сторона которого равна 4 см?

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

В задаче дан восьмиугольник, что означает, что у него 8 сторон. Длина каждой стороны, согласно условию, составляет 4 см.

Чтобы вычислить периметр ($P$), нужно умножить количество сторон ($n$) на длину одной стороны ($a$).

Формула для вычисления периметра:
$P = n \times a$

Подставим в формулу данные из условия задачи:
$n = 8$
$a = 4 \text{ см}$

$P = 8 \times 4 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Ответ: 32 см.

2. Вычислите сумму $27 + 16 + 33 + 24$.

Чтобы вычислить сумму $27 + 16 + 33 + 24$, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Это позволяет нам менять слагаемые местами и группировать их для более удобного счёта. Сгруппируем числа так, чтобы их суммы были круглыми числами.

Заметим, что $27 + 33$ и $16 + 24$ дают в сумме круглые числа.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$27 + 16 + 33 + 24 = (27 + 33) + (16 + 24)$

Теперь выполним сложение в каждой паре скобок:

1) $27 + 33 = 60$

2) $16 + 24 = 40$

Осталось сложить полученные результаты:

$60 + 40 = 100$

Ответ: 100

3. Каких чисел не хватает в цепочке вычислений?

$ \boxed{23} \xrightarrow{+\underline{\hspace{0.7em}}} \text{\textcircled{\raisebox{-0.1ex}{41}}} \xrightarrow{+49} \text{\textcircled{\phantom{XX}}} \xrightarrow{+\underline{\hspace{0.7em}}} \text{\textcircled{\phantom{XX}}} \xrightarrow{-22} \boxed{75} $

Для того чтобы найти все недостающие числа, необходимо решить задачу по действиям, последовательно продвигаясь по цепочке вычислений. Для некоторых шагов потребуется выполнить обратные математические операции.

Нахождение первого пропущенного числа (над первой стрелкой)
Цепочка начинается с числа 23. К нему прибавляют неизвестное число и в результате получают 41. Чтобы найти это неизвестное слагаемое, нужно из суммы (41) вычесть известное слагаемое (23).
$41 - 23 = 18$
Ответ: 18.

Нахождение числа в первом пустом круге
Следующим шагом к результату предыдущего действия (41) прибавляют 49. Сумма этих чисел и будет значением в первом пустом круге.
$41 + 49 = 90$
Ответ: 90.

Нахождение числа во втором пустом круге
Чтобы найти это число, удобнее рассмотреть последний шаг цепочки и выполнить обратное действие. Из числа во втором круге вычитают 22 и получают 75. Чтобы найти это неизвестное число (уменьшаемое), нужно к разности (75) прибавить вычитаемое (22).
$75 + 22 = 97$
Ответ: 97.

Нахождение второго пропущенного числа (над третьей стрелкой)
Теперь известны числа в обоих кругах: 90 и 97. Согласно схеме, к числу в первом круге (90) прибавляют неизвестное число и получают число во втором круге (97). Чтобы найти это неизвестное слагаемое, нужно из суммы (97) вычесть известное слагаемое (90).
$97 - 90 = 7$
Ответ: 7.

Таким образом, все пропуски в цепочке вычислений заполнены. Полная схема выглядит следующим образом:

$23 \xrightarrow{+18} 41 \xrightarrow{+49} 90 \xrightarrow{+7} 97 \xrightarrow{-22} 75$

4. На трёх кустах расцвело 15 роз. Когда на одном из этих кустов распустилось ещё 3 розы, то на всех кустах роз стало поровну. Сколько роз было на каждом кусте вначале?

Для начала определим, сколько всего роз стало на трех кустах после того, как распустились новые. Изначально было 15 роз, и распустилось еще 3.

$15 + 3 = 18$ (роз) — стало всего на трех кустах.

В условии сказано, что после этого на всех кустах роз стало поровну. Чтобы найти, сколько роз стало на каждом кусте, нужно общее количество роз разделить на количество кустов.

$18 \div 3 = 6$ (роз) — стало на каждом кусте.

Теперь мы можем найти, сколько роз было на каждом кусте вначале. Мы знаем, что 3 розы распустились только на одном кусте. Это означает, что на двух других кустах количество роз не изменилось, и на них изначально было по 6 роз. На том кусте, где распустились новые розы, их стало 6 после добавления 3. Чтобы найти, сколько роз было на нем вначале, нужно из 6 вычесть 3.

$6 - 3 = 3$ (розы) — было вначале на одном кусте.

Таким образом, вначале на одном кусте было 3 розы, а на двух других — по 6 роз. Проверим: $3 + 6 + 6 = 15$ роз, что соответствует начальному условию.

Ответ: вначале на одном кусте было 3 розы, а на двух других кустах было по 6 роз.

373. Определите вид треугольника, изображённого на рисунке 143, в зависимости от вида его углов и количества равных сторон.

Рис. 143

a) Треугольник ABC.

Вид по углам: тупоугольный (угол $A$ тупой).

Вид по сторонам: разносторонний (нет отметок о равенстве сторон).

b) Треугольник MNK.

Вид по углам: остроугольный (все углы острые).

Вид по сторонам: разносторонний (нет отметок о равенстве сторон).

v) Треугольник EPF.

Вид по углам: тупоугольный (угол $P$ тупой).

Вид по сторонам: равнобедренный (стороны $EP$ и $PF$ равны).

g) Треугольник QRS.

Вид по углам: тупоугольный (угол $S$ тупой).

Вид по сторонам: равнобедренный (стороны $QR$ и $QS$ равны).

d) Треугольник ORT.

Вид по углам: прямоугольный (угол $R$ прямой).

Вид по сторонам: разносторонний (нет отметок о равенстве сторон).

e) Треугольник DBA.

Вид по углам: прямоугольный (угол $D$ прямой).

Вид по сторонам: равнобедренный (стороны $BD$ и $DA$ равны).

Для определения вида треугольника необходимо проанализировать его углы и стороны.

• По виду углов треугольники бывают:
  • Остроугольные — все углы острые (меньше $90°$).
  • Прямоугольные — один из углов прямой (равен $90°$).
  • Тупоугольные — один из углов тупой (больше $90°$).
• По количеству равных сторон треугольники бывают:
  • Разносторонние — все стороны имеют разную длину.
  • Равнобедренные — две стороны равны.
  • Равносторонние — все три стороны равны.

Проанализируем каждый треугольник на рисунке 143:

а) Треугольник $ABC$. Все его углы визуально меньше $90°$, значит, он остроугольный. На сторонах нет отметок, указывающих на их равенство, и на вид они разной длины, следовательно, он разносторонний.
Ответ: остроугольный, разносторонний.

б) Треугольник $MNK$. Угол $K$ отмечен квадратом, что означает, что он прямой ($∠K = 90°$). Следовательно, треугольник прямоугольный. Стороны имеют разную длину, значит, он разносторонний.
Ответ: прямоугольный, разносторонний.

в) Треугольник $EPF$. Все углы острые, значит, он остроугольный. Стороны $EP$ и $EF$ отмечены одинаковыми штрихами, что указывает на их равенство. Треугольник с двумя равными сторонами является равнобедренным.
Ответ: остроугольный, равнобедренный.

г) Треугольник $QRS$. Угол $R$ визуально больше $90°$, то есть он тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный. Стороны $QR$ и $RS$ отмечены одинаковыми штрихами, значит, они равны. Следовательно, треугольник равнобедренный.
Ответ: тупоугольный, равнобедренный.

д) Треугольник $ORT$. Угол $R$ — тупой, значит, треугольник тупоугольный. Все стороны имеют разную длину, поэтому он разносторонний.
Ответ: тупоугольный, разносторонний.

е) Треугольник $DBA$. Угол $B$ отмечен квадратом, значит, он прямой ($∠B = 90°$). Треугольник является прямоугольным. Стороны $DB$ и $BA$ отмечены одинаковыми штрихами, следовательно, они равны. Таким образом, треугольник равнобедренный.
Ответ: прямоугольный, равнобедренный.