Страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какая фигура ограничивает многоугольник?

Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Таким образом, фигура, которая ограничивает многоугольник, — это замкнутая ломаная линия.

Рассмотрим подробнее, что это значит:

• Ломаная линия — это фигура, состоящая из нескольких отрезков, последовательно соединенных друг с другом в своих концах. Эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки их соединения — вершинами.
• Замкнутая ломаная линия — это такая ломаная, у которой начало первого звена совпадает с концом последнего. Она образует замкнутый контур.

Звенья замкнутой ломаной линии, ограничивающей многоугольник, называются его сторонами, а вершины этой ломаной — вершинами многоугольника. Важным свойством является то, что соседние стороны не лежат на одной прямой, а несоседние стороны не имеют общих точек.

Ответ: Многоугольник ограничивает замкнутая ломаная линия.

2. Какие элементы многоугольника вы знаете?

Многоугольник — это геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. К основным элементам многоугольника относят:

• Вершины — это точки, являющиеся концами звеньев ломаной, ограничивающей многоугольник. У n-угольника ровно $n$ вершин.
• Стороны — это отрезки (звенья ломаной), соединяющие две соседние вершины. У n-угольника ровно $n$ сторон.
• Углы — это углы, образованные двумя сторонами, сходящимися в одной вершине. Различают внутренние и внешние углы.
  • Внутренние углы: расположены внутри многоугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.
  • Внешние углы: углы, смежные внутренним углам. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.
• Диагонали — это отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника. Общее число диагоналей в выпуклом n-угольнике можно вычислить по формуле: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

Также с многоугольником связаны такие характеристики, как периметр (сумма длин всех его сторон) и площадь (величина части плоскости, которую занимает многоугольник).

Ответ: К основным элементам многоугольника относятся вершины, стороны, углы и диагонали.

3. Что называют периметром многоугольника?

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. Это числовая характеристика, показывающая общую длину границы, которая очерчивает плоскую геометрическую фигуру. Периметр принято обозначать заглавной латинской буквой $P$.

Для того чтобы вычислить периметр любого многоугольника, необходимо последовательно сложить длины всех его сторон. Если многоугольник имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, \ldots, a_n$, то его периметр $P$ можно найти по общей формуле:
$P = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$

Например, если у пятиугольника стороны равны 5 см, 7 см, 6 см, 8 см и 4 см, то его периметр будет равен:
$P = 5 + 7 + 6 + 8 + 4 = 30$ см.

Ответ: Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон.

4. Какие фигуры называют равными?

Две геометрические фигуры называют равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это означает, что одну фигуру можно переместить в пространстве (с помощью параллельного переноса), повернуть или зеркально отразить таким образом, что она в точности совпадет с другой фигурой. Такое преобразование, не изменяющее форму и размеры фигуры, называется движением (или изометрией).

Основное свойство равных фигур — они имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. У равных фигур все соответствующие элементы равны. Например:
- два отрезка равны, если равны их длины;
- два угла равны, если равны их градусные (или радианные) меры;
- две окружности равны, если равны их радиусы;
- два многоугольника равны, если у них соответственно равны стороны и углы.

Если фигура $F_1$ равна фигуре $F_2$, то это записывают как $F_1 = F_2$. У равных фигур также совпадают такие характеристики, как периметр и площадь (для плоских фигур) или объем (для пространственных фигур).

Ответ: Равными называют фигуры, которые можно совместить друг с другом путем наложения так, что они полностью совпадут.

1. Сумму чисел $24$ и $18$ уменьшите на $33$.

1. Чтобы решить данную задачу, необходимо последовательно выполнить два математических действия.

Сначала нужно найти сумму чисел 24 и 18. "Сумма" означает результат сложения.

$24 + 18 = 42$

Далее, полученную сумму (42) нужно уменьшить на 33. "Уменьшить на" означает, что нужно выполнить вычитание.

$42 - 33 = 9$

Ответ: 9

2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить последовательно два математических действия: вычитание и умножение.

1. Сначала найдем "разность чисел 30 и 14". Разность — это результат вычитания. Запишем и вычислим:

$30 - 14 = 16$

2. Далее, полученный результат (число 16) нужно "увеличить в 3 раза". Это означает, что его нужно умножить на 3.

$16 \times 3 = 48$

Таким образом, все вычисление можно записать одним выражением, где скобки указывают на порядок действий:

$(30 - 14) \times 3 = 16 \times 3 = 48$

Ответ: 48

3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19. $12 \times 5 + 19$

Чтобы решить данную задачу, необходимо выполнить два последовательных математических действия.

1. Сначала найдем произведение чисел 12 и 5. Произведение - это результат операции умножения.

$12 \times 5 = 60$

2. Затем, полученный результат (произведение) нужно увеличить на 19. Это означает, что к 60 нужно прибавить 19.

$60 + 19 = 79$

Таким образом, итоговый результат равен 79.

Ответ: 79

4. Частное чисел 1889 и 9 уменьшите в 7 раз.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных математических действия.

1. Найти частное чисел 189 и 9.
"Частное" — это результат, получаемый при делении одного числа на другое. В данном случае необходимо разделить 189 на 9.
Выполним деление:
$189 \div 9 = 21$

2. Уменьшить полученное частное в 7 раз.
Теперь результат первого действия, число 21, нужно "уменьшить в 7 раз". Это означает, что мы должны разделить 21 на 7.
Выполним второе деление:
$21 \div 7 = 3$

Ответ: 3

5. Укажите среди данных отрезков равные, если: $AB = 5 \text{ см } 3 \text{ мм}, CD = 4 \text{ м } 5 \text{ см}, PK = 45 \text{ см}, EF = 2 \text{ дм } 8 \text{ мм}, TQ = 53 \text{ мм}, MN = 208 \text{ мм}.$

Чтобы определить, какие из данных отрезков равны, необходимо привести их длины к одной единице измерения. Наиболее удобной единицей для сравнения в данном случае являются миллиметры (мм), так как это наименьшая единица, представленная в условии.

Для перевода воспользуемся следующими соотношениями:

$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$

$1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$

$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Теперь выполним перевод длины каждого отрезка в миллиметры:

AB

Длина отрезка $AB = 5 \text{ см } 3 \text{ мм}$. Переведем сантиметры в миллиметры и сложим с имеющимися миллиметрами:

$5 \text{ см } 3 \text{ мм} = (5 \cdot 10) \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 50 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 53 \text{ мм}$.

CD

Длина отрезка $CD = 4 \text{ м } 5 \text{ см}$. Переведем метры и сантиметры в миллиметры:

$4 \text{ м } 5 \text{ см} = (4 \cdot 1000) \text{ мм} + (5 \cdot 10) \text{ мм} = 4000 \text{ мм} + 50 \text{ мм} = 4050 \text{ мм}$.

PK

Длина отрезка $PK = 45 \text{ см}$. Переведем сантиметры в миллиметры:

$45 \text{ см} = 45 \cdot 10 \text{ мм} = 450 \text{ мм}$.

EF

Длина отрезка $EF = 2 \text{ дм } 8 \text{ мм}$. Переведем дециметры в миллиметры:

$2 \text{ дм } 8 \text{ мм} = (2 \cdot 100) \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 200 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 208 \text{ мм}$.

TQ

Длина отрезка $TQ$ уже дана в миллиметрах: $TQ = 53 \text{ мм}$.

MN

Длина отрезка $MN$ также дана в миллиметрах: $MN = 208 \text{ мм}$.

Теперь сравним все полученные длины в миллиметрах:

• $AB = 53 \text{ мм}$
• $CD = 4050 \text{ мм}$
• $PK = 450 \text{ мм}$
• $EF = 208 \text{ мм}$
• $TQ = 53 \text{ мм}$
• $MN = 208 \text{ мм}$

Из сравнения видно, что равными являются следующие пары отрезков:

$AB = TQ = 53 \text{ мм}$

$EF = MN = 208 \text{ мм}$

Ответ: $AB = TQ$ и $EF = MN$.

358. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 138.

Рис. 138

Вершины:

$M$, $N$, $K$, $P$, $E$

Стороны:

$MN$, $NK$, $KP$, $PE$, $EM$

Вершины

Вершинами многоугольника называются точки, в которых соединяются его стороны. На рисунке 138 изображён пятиугольник, вершины которого обозначены заглавными латинскими буквами. Перечислим их по порядку, например, по часовой стрелке: M, E, P, K, N.

Ответ: M, N, K, P, E.

Стороны

Сторонами многоугольника называются отрезки, соединяющие его соседние вершины. У данного пятиугольника пять сторон. Каждая сторона обозначается двумя буквами, соответствующими её концам (вершинам).

• Сторона, соединяющая вершины M и N: $MN$
• Сторона, соединяющая вершины N и K: $NK$
• Сторона, соединяющая вершины K и P: $KP$
• Сторона, соединяющая вершины P и E: $PE$
• Сторона, соединяющая вершины E и M: $EM$

Ответ: $MN$, $NK$, $KP$, $PE$, $EM$.

359. Начертите:

1) четырёхугольник;

2) пятиугольник;

3) шестиугольник;

4) семиугольник.

Четырёхугольник — это многоугольник, который имеет $4$ вершины и $4$ стороны. Чтобы начертить произвольный четырёхугольник, необходимо отметить на плоскости четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и последовательно соединить их отрезками.

Ответ:

Пятиугольник — это многоугольник с $5$ вершинами и $5$ сторонами. Чтобы его начертить, нужно отметить на плоскости пять точек и последовательно соединить их отрезками так, чтобы получилась замкнутая ломаная линия без самопересечений.

Ответ:

Шестиугольник — это многоугольник, который имеет $6$ вершин и $6$ сторон. Для его построения отмечаем шесть точек на плоскости и соединяем их последовательно отрезками, образуя замкнутую фигуру без самопересечений.

Ответ:

Семиугольник — это многоугольник с $7$ вершинами и $7$ сторонами. Чтобы его начертить, нужно отметить семь точек на плоскости и соединить их последовательно отрезками для получения замкнутой несамопересекающейся ломаной линии.

Ответ:

360. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 6 см, 5 см 5 мм, 7 см.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Пятиугольник имеет пять сторон. В задаче даны длины всех пяти сторон: 2 см, 4 см, 6 см, 5 см 5 мм и 7 см.

Для вычисления периметра необходимо сложить длины всех сторон. Прежде чем складывать, приведем все значения к одной единице измерения — сантиметрам. В одном сантиметре 10 миллиметров, следовательно, 5 мм это 0,5 см.

Длина стороны 5 см 5 мм в сантиметрах будет:

$5 \text{ см } 5 \text{ мм } = 5 \text{ см } + 0,5 \text{ см } = 5,5 \text{ см }$

Теперь найдем периметр ($P$), сложив длины всех сторон:

$P = 2 \text{ см } + 4 \text{ см } + 6 \text{ см } + 5,5 \text{ см } + 7 \text{ см }$

Выполним сложение:

$P = (2 + 4 + 6 + 7) + 5,5 = 19 + 5,5 = 24,5 \text{ см }$

Периметр пятиугольника равен 24,5 см, что также можно записать как 24 см 5 мм.

Ответ: 24,5 см.

361. Вычислите периметр шестиугольника, три стороны которого равны по 8 см, а три другие — по 10 см.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. В данном случае у нас шестиугольник, у которого 6 сторон.

По условию задачи известно, что:

• 3 стороны имеют длину по 8 см.
• 3 другие стороны имеют длину по 10 см.

Для вычисления периметра ($P$) необходимо сложить длины всех шести сторон.

1. Найдем сумму длин первых трех сторон:

$3 \times 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$

2. Найдем сумму длин оставшихся трех сторон:

$3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$

3. Сложим полученные результаты, чтобы найти общий периметр:

$P = 24 \text{ см} + 30 \text{ см} = 54 \text{ см}$

Можно также записать всё вычисление в одно выражение:

$P = (3 \times 8) + (3 \times 10) = 24 + 30 = 54 \text{ см}$

Ответ: 54 см.

362. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 139.

Рис. 139

а

б

в

г

а

Для того чтобы нарисовать фигуру, равную изображенной на рисунке 'а', необходимо выполнить следующие действия на бумаге в клетку:

1. Выберите точку в узле сетки (в месте пересечения линий). Эта точка будет вершиной прямого угла треугольника.
2. От этой точки проведите горизонтальный отрезок вправо длиной 3 клетки.
3. Вернитесь к начальной точке и проведите из нее вертикальный отрезок вверх длиной 3 клетки.
4. Соедините отрезком концы двух построенных отрезков.

В результате вы получите прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны 3 клеткам.

Ответ: Построен прямоугольный треугольник с катетами длиной по 3 клетки.

б

Для построения фигуры, равной изображенной на рисунке 'б', нужно последовательно соединить отрезками точки на клетчатой бумаге:

1. Выберите начальную точку в узле сетки.
2. Из этой точки проведите отрезок к точке, которая находится на 2 клетки правее и на 2 клетки выше.
3. От конца полученного отрезка проведите следующий отрезок к точке, которая находится на 2 клетки правее и на 2 клетки ниже.
4. От конца второго отрезка проведите отрезок к точке, которая находится на 2 клетки левее и на 2 клетки ниже.
5. Соедините конец последнего отрезка с начальной точкой (для этого нужно провести отрезок на 2 клетки влево и на 2 клетки вверх).

В результате получится ромб, диагонали которого лежат на линиях сетки и равны 4 клеткам.

Ответ: Построен ромб, диагонали которого равны 4 клеткам.

в

Фигура 'в' представляет собой два одинаковых ромба, которые соединены в одной общей вершине. Для ее построения:

1. Сначала нарисуйте ромб так, как это описано в пункте 'б'.
2. Самую правую вершину построенного ромба выберите в качестве общей точки для второго ромба.
3. От этой общей точки постройте второй такой же ромб. Для этого последовательно соедините точки:
   • От общей точки проведите отрезок к точке на 2 клетки правее и на 2 клетки выше.
   • От конца этого отрезка проведите отрезок к точке на 2 клетки правее и на 2 клетки ниже.
   • От конца следующего отрезка проведите отрезок к точке на 2 клетки левее и на 2 клетки ниже.
   • Соедините конец последнего отрезка с общей точкой.

Полученная фигура будет состоять из двух ромбов с одной общей вершиной.

Ответ: Построена фигура из двух одинаковых ромбов, соединенных в одной вершине.

г

Фигура 'г' — это сложный многоугольник. Чтобы его нарисовать, нужно последовательно соединять отрезками точки (вершины) по контуру. Выберите начальную точку в узле сетки для самой левой точки нижнего основания фигуры и выполните следующие шаги:

1. Проведите отрезок на 2 клетки вверх.
2. От конца предыдущего отрезка проведите новый — на 1 клетку вправо и 1 клетку вверх.
3. Далее — на 1 клетку вправо.
4. Далее — на 1 клетку вверх.
5. Далее — на 1 клетку влево и 1 клетку вверх.
6. Далее — на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх.
7. Далее — на 2 клетки вправо.
8. Далее — на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.
9. Далее — на 1 клетку вправо.
10. Далее — на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз.
11. Далее — на 2 клетки вправо.
12. Далее — на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз.
13. Далее — на 1 клетку влево и 1 клетку вниз.
14. Далее — на 2 клетки влево.
15. Далее — на 1 клетку влево и 1 клетку вниз.
16. Далее — на 2 клетки влево.
17. Далее — на 1 клетку вверх.
18. Далее — на 2 клетки влево.
19. Далее — на 1 клетку вверх.
20. Далее — на 1 клетку влево и 1 клетку вниз.
21. Далее — на 2 клетки влево.
22. Далее — на 1 клетку вниз.
23. Соедините последнюю точку с начальной, проведя отрезок длиной в 1 клетку влево.

В результате получится замкнутый многоугольник сложной формы.

Ответ: Построен многоугольник по контуру, описанному в инструкции.