Страница 89 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Какой из двух неравных углов считают большим?

Чтобы определить, какой из двух неравных углов больше, их сравнивают. Существует два основных способа сравнения:

1. Метод наложения. Можно мысленно или практически наложить один угол на другой так, чтобы их вершины совпали, а одна из сторон первого угла совпала с одной из сторон второго. Тот угол, вторая сторона которого окажется внутри другого угла, будет считаться меньшим. Соответственно, тот угол, который полностью содержит в себе другой угол, является большим.
2. Сравнение градусных мер. У каждого угла есть численная характеристика его величины — градусная мера (или радианная мера). Большим из двух углов считается тот, у которого градусная мера больше. Это наиболее распространенный и точный способ сравнения.

Например, сравним два угла: $\angle A$ с градусной мерой $45^\circ$ и $\angle B$ с градусной мерой $90^\circ$.
Поскольку числовое значение $90$ больше, чем $45$ ($90 > 45$), то и угол $\angle B$ больше угла $\angle A$. Записывается это как $\angle B > \angle A$.

Ответ: Большим из двух неравных углов считают тот, у которого градусная мера больше.

8. Каким свойством обладает величина угла?

Основное свойство, которым обладает величина угла, — это аддитивность.

Это свойство означает, что если некоторый угол разделить лучом, выходящим из его вершины и проходящим между его сторонами, на два меньших угла, то величина исходного угла будет равна сумме величин этих двух меньших углов.

Например, если луч $OB$ проходит между сторонами угла $\angle AOC$, то он делит его на два угла: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Величина угла $\angle AOC$ будет равна сумме величин углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

Математически это свойство записывается следующей формулой:

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$

Также стоит отметить, что величина любого угла является неотрицательным числом, и равным углам соответствуют равные величины.

Ответ: Величина угла обладает свойством аддитивности, которое заключается в том, что величина угла равна сумме величин углов, на которые он разбивается любым лучом, выходящим из его вершины и проходящим между его сторонами.

9. Какой угол называют острым?

Острым углом в геометрии называют угол, который меньше прямого угла, то есть его градусная мера больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Если обозначить величину острого угла греческой буквой $\alpha$, то его значение будет удовлетворять строгому неравенству: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

В отличие от тупого угла (больше $90^\circ$) и прямого угла (равен $90^\circ$), острый угол является "узким". Примерами острых углов являются все углы в равностороннем треугольнике (каждый по $60^\circ$) или, например, угол в $45^\circ$.

Ответ: Острым называют угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

10. Какой угол называют прямым?

Прямой угол — это угол, градусная мера которого составляет ровно $90^\circ$. Это одно из ключевых понятий в геометрии.

Прямой угол можно определить несколькими взаимосвязанными способами:
1. Через градусную меру: Это самое распространенное определение. Угол считается прямым, если его величина равна $90^\circ$.
2. Через развернутый угол: Прямой угол — это ровно половина развернутого угла. Развернутый угол, стороны которого образуют прямую линию, равен $180^\circ$. Следовательно, прямой угол равен $180^\circ \div 2 = 90^\circ$.
3. Через полный оборот: Прямой угол составляет одну четверть полного оборота (полного круга). Так как полный оборот — это $360^\circ$, прямой угол равен $360^\circ \div 4 = 90^\circ$.
4. Через перпендикулярность: Два луча (или отрезка, или прямые), выходящие из одной точки, образуют прямой угол, если они перпендикулярны друг другу. Понятия перпендикулярности и прямого угла неразрывно связаны.
5. Через радианную меру: В системе измерения углов в радианах прямой угол равен $\frac{\pi}{2}$ радиан.

На чертежах для обозначения прямого угла в его вершине обычно рисуют не дугу, а небольшой квадрат.

Ответ: Прямым углом называют угол, величина которого равна $90^\circ$.

11. Какой угол называют тупым?

Тупым углом в геометрии называют угол, который больше прямого угла ($90^\circ$), но меньше развернутого угла ($180^\circ$).

Таким образом, если градусная мера угла, обозначенная как $\alpha$, удовлетворяет неравенству $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то этот угол является тупым.

Визуально тупой угол выглядит "раскрытым" шире, чем прямой угол, но его стороны еще не лежат на одной прямой. Например, углы в $110^\circ$, $150^\circ$, $179^\circ$ — это тупые углы.

Ответ: Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

1. Назовите два числа, одно из которых:

1) на 27 больше другого;

2) на 15 меньше другого;

3) в 7 раз меньше другого;

4) в 3 раза больше другого.

1) на 27 больше другого

Пусть первое, меньшее число, равно $x$. Тогда второе число, которое по условию на 27 больше, будет равно $x + 27$. Мы можем выбрать любое число в качестве $x$ и найти соответствующее ему второе число.
Возьмем, к примеру, $x = 10$.
Тогда второе число будет: $10 + 27 = 37$.
Проверим, выполняется ли условие: $37 - 10 = 27$. Число 37 действительно на 27 больше числа 10.
Ответ: 10 и 37.

2) на 15 меньше другого

Пусть большее число равно $y$. Тогда меньшее число, которое по условию на 15 меньше, будет равно $y - 15$. Мы можем выбрать любое число в качестве $y$ и найти соответствующее ему второе число.
Возьмем, к примеру, $y = 20$.
Тогда второе число будет: $20 - 15 = 5$.
Проверим, выполняется ли условие: число 5 на 15 меньше числа 20.
Ответ: 5 и 20.

3) в 7 раз меньше другого

Пусть меньшее число равно $a$. Тогда большее число, которое по условию в 7 раз больше, будет равно $7 \times a$. Мы можем выбрать любое число в качестве $a$ и найти соответствующее ему второе число.
Возьмем, к примеру, $a = 3$.
Тогда второе число будет: $7 \times 3 = 21$.
Проверим, выполняется ли условие: $21 \div 3 = 7$. Число 3 действительно в 7 раз меньше числа 21.
Ответ: 3 и 21.

4) в 3 раза больше другого

Пусть меньшее число равно $b$. Тогда большее число, которое по условию в 3 раза больше, будет равно $3 \times b$. Мы можем выбрать любое число в качестве $b$ и найти соответствующее ему второе число.
Возьмем, к примеру, $b = 8$.
Тогда второе число будет: $3 \times 8 = 24$.
Проверим, выполняется ли условие: $24 \div 8 = 3$. Число 24 действительно в 3 раза больше числа 8.
Ответ: 8 и 24.

2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?

Поскольку часы спешат на 10 минут, это означает, что они показывают время на 10 минут больше, чем есть на самом деле. Чтобы найти точное время, нужно из времени, которое показывают часы, вычесть 10 минут.

Время на часах: 10 ч 8 мин.

Выполним вычитание:

$10 \text{ ч } 8 \text{ мин } - 10 \text{ мин }$

Так как из 8 минут вычесть 10 минут нельзя, мы представим 10 часов 8 минут в другом виде. Заберем 1 час из 10 часов и переведем его в минуты (1 час = 60 минут):

$10 \text{ ч } 8 \text{ мин } = 9 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 8 \text{ мин } = 9 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 8 \text{ мин } = 9 \text{ ч } 68 \text{ мин }$

Теперь произведем вычитание:

$9 \text{ ч } 68 \text{ мин } - 10 \text{ мин } = 9 \text{ ч } 58 \text{ мин }$

Следовательно, реальное время — 9 часов 58 минут.

Ответ: 9 ч 58 мин.

3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?

Поскольку часы отстают, это означает, что они показывают время меньше, чем реальное. Чтобы найти правильное время, нужно к времени, которое показывают часы, прибавить величину отставания.

Дано:

• Время на часах: 16 ч 55 мин.
• Часы отстают на: 7 мин.

Вычислим реальное время, прибавив 7 минут к показаниям часов:

$16 \text{ ч } 55 \text{ мин } + 7 \text{ мин }$

Сначала сложим минуты:

$55 \text{ мин } + 7 \text{ мин } = 62 \text{ мин }$

Так как в одном часе 60 минут, мы можем представить 62 минуты как 1 час и 2 минуты:

$62 \text{ мин } = 60 \text{ мин } + 2 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 2 \text{ мин }$

Теперь добавим полученный результат к часам:

$16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } 2 \text{ мин } = 17 \text{ ч } 02 \text{ мин }$

Следовательно, на самом деле сейчас 17 часов 02 минуты.

Ответ: 17 ч 02 мин.

330. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развёрнутые: $\angle A = 96^\circ$, $\angle B = 84^\circ$, $\angle S = 180^\circ$, $\angle D = 90^\circ$, $\angle R = 162^\circ$, $\angle E = 60^\circ$, $\angle Q = 100^\circ$, $\angle M = 72^\circ$?

Для классификации данных углов воспользуемся определениями видов углов по их градусной мере.

острые

Острые углы — это углы, градусная мера которых больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. В данном списке к острым углам относятся:

$\angle B = 84^\circ$ (поскольку $0^\circ < 84^\circ < 90^\circ$)

$\angle E = 60^\circ$ (поскольку $0^\circ < 60^\circ < 90^\circ$)

$\angle M = 72^\circ$ (поскольку $0^\circ < 72^\circ < 90^\circ$)

Ответ: острые углы: $\angle B, \angle E, \angle M$.

тупые

Тупые углы — это углы, градусная мера которых больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. В данном списке к тупым углам относятся:

$\angle A = 96^\circ$ (поскольку $90^\circ < 96^\circ < 180^\circ$)

$\angle R = 162^\circ$ (поскольку $90^\circ < 162^\circ < 180^\circ$)

$\angle Q = 100^\circ$ (поскольку $90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$)

Ответ: тупые углы: $\angle A, \angle R, \angle Q$.

прямые

Прямые углы — это углы, градусная мера которых равна ровно $90^\circ$. В данном списке прямым углом является:

$\angle D = 90^\circ$

Ответ: прямой угол: $\angle D$.

развёрнутые

Развёрнутые углы — это углы, градусная мера которых равна ровно $180^\circ$. В данном списке развёрнутым углом является:

$\angle S = 180^\circ$

Ответ: развёрнутый угол: $\angle S$.

331. Градусная мера угла равна:

1) $24^\circ$;

2) $170^\circ$.

Какова градусная мера угла между биссектрисой данного угла и его стороной?

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Таким образом, чтобы найти градусную меру угла между биссектрисой и стороной данного угла, необходимо разделить градусную меру этого угла на 2.

1)

Если градусная мера угла равна $24^\circ$, то угол между его биссектрисой и стороной будет равен:
$\frac{24^\circ}{2} = 12^\circ$.
Ответ: $12^\circ$.

2)

Если градусная мера угла равна $170^\circ$, то угол между его биссектрисой и стороной будет равен:
$\frac{170^\circ}{2} = 85^\circ$.
Ответ: $85^\circ$.

332. Найдите градусную меру угла, биссектриса которого образует с одной из его сторон угол, равный:

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Следовательно, угол, образованный биссектрисой и одной из сторон исходного угла, равен половине этого исходного угла. Чтобы найти градусную меру всего угла, необходимо умножить градусную меру угла между биссектрисой и стороной на 2.

1)Угол, который биссектриса образует с одной из сторон, равен $37^\circ$. Чтобы найти меру всего угла, умножим это значение на 2:
$2 \cdot 37^\circ = 74^\circ$
Ответ: $74^\circ$.

2)Угол, который биссектриса образует с одной из сторон, равен $75^\circ$. Чтобы найти меру всего угла, умножим это значение на 2:
$2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$
Ответ: $150^\circ$.

333. Определите по рисунку 122 градусную меру угла:

1) AOB;

2) AOC;

3) AOE;

4) EOF;

5) DOF.

Рис. 122

Для определения градусной меры углов воспользуемся транспортиром, изображенным на рисунке. Центр транспортира находится в точке O. Основание транспортира лежит на прямой AF. У транспортира есть две шкалы для измерения углов:

• Внешняя шкала, на которой 0° соответствует лучу OA, а 180° — лучу OF.
• Внутренняя шкала, на которой 0° соответствует лучу OF, а 180° — лучу OA.

Градусная мера угла определяется как разность показаний на одной и той же шкале для лучей, образующих этот угол.

1) AOB

Для определения градусной меры угла AOB найдем положения лучей OA и OB на шкалах транспортира.
По внешней шкале: луч OA находится на отметке 0°, а луч OB — на отметке 40°.
Следовательно, $ \angle AOB = 40° - 0° = 40° $.
По внутренней шкале: луч OA находится на отметке 180°, а луч OB — на отметке 140°.
Следовательно, $ \angle AOB = 180° - 140° = 40° $.
Ответ: $ \angle AOB = 40° $

2) AOC

Для определения градусной меры угла AOC найдем положения лучей OA и OC.
По внешней шкале: луч OA находится на отметке 0°, а луч OC — на отметке 90°.
Следовательно, $ \angle AOC = 90° - 0° = 90° $.
По внутренней шкале: луч OA находится на отметке 180°, а луч OC — на отметке 90°.
Следовательно, $ \angle AOC = 180° - 90° = 90° $.
Ответ: $ \angle AOC = 90° $

3) AOE

Для определения градусной меры угла AOE найдем положения лучей OA и OE.
По внешней шкале: луч OA находится на отметке 0°, а луч OE — на отметке 150°.
Следовательно, $ \angle AOE = 150° - 0° = 150° $.
По внутренней шкале: луч OA находится на отметке 180°, а луч OE — на отметке 30°.
Следовательно, $ \angle AOE = 180° - 30° = 150° $.
Ответ: $ \angle AOE = 150° $

4) EOF

Для определения градусной меры угла EOF найдем положения лучей OE и OF. Удобнее использовать внутреннюю шкалу, где луч OF совпадает с нулем.
По внутренней шкале: луч OF находится на отметке 0°, а луч OE — на отметке 30°.
Следовательно, $ \angle EOF = 30° - 0° = 30° $.
По внешней шкале: луч OF находится на отметке 180°, а луч OE — на отметке 150°.
Следовательно, $ \angle EOF = 180° - 150° = 30° $.
Ответ: $ \angle EOF = 30° $

5) DOF

Для определения градусной меры угла DOF найдем положения лучей OD и OF. Воспользуемся внутренней шкалой.
По внутренней шкале: луч OF находится на отметке 0°, а луч OD — на отметке 65°.
Следовательно, $ \angle DOF = 65° - 0° = 65° $.
По внешней шкале: луч OF находится на отметке 180°, а луч OD — на отметке 115°.
Следовательно, $ \angle DOF = 180° - 115° = 65° $.
Ответ: $ \angle DOF = 65° $