Страница 84 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

321. Какие из лучей, изображённых на рисунке 107, пересекают сторону угла $BOC$?

Рис. 107

Чтобы найти лучи, пересекающие сторону угла $BOC$, необходимо проверить каждый из изображенных лучей ( $AD$, $RP$ и $EF$ ) на наличие общих точек со сторонами угла — лучами $OB$ и $OC$.

Рассмотрим каждый луч по отдельности:

1. Луч AD. Этот луч начинается в точке $A$ и проходит через точку $D$. Из рисунка видно, что он пересекает луч $OC$, который является одной из сторон угла $BOC$. С другой стороной, лучом $OB$, он не пересекается.
2. Луч RP. Этот луч начинается в точке $R$ и проходит через точку $P$. Он полностью находится внутри угла $BOC$ и не имеет общих точек ни со стороной $OB$, ни со стороной $OC$.
3. Луч EF. Этот луч начинается в точке $E$ и проходит через точку $F$. Он, как и луч $AD$, пересекает сторону $OC$ угла $BOC$ и не пересекает сторону $OB$.

Таким образом, только два луча, $AD$ и $EF$, пересекают одну из сторон угла $BOC$.

Ответ: лучи AD и EF.

322. Начертите угол $MNE$ и проведите лучи $NA$ и $NC$ между его сторонами. Запишите все образовавшиеся углы.

Для решения этой задачи сначала начертим угол с вершиной в точке N и сторонами NM и NE. Этот угол обозначается как $\angle MNE$.

Далее, согласно условию, проведем из вершины N два луча, NA и NC, так, чтобы они располагались внутри угла $\angle MNE$, то есть между его сторонами. Порядок расположения лучей может быть, например, таким (если смотреть от луча NM к лучу NE): NM, NA, NC, NE.

Теперь необходимо записать все углы, которые образовались в результате этого построения. Угол определяется парой лучей, выходящих из общей вершины. У нас есть четыре луча с общей вершиной N: NM, NA, NC и NE.

Перечислим все возможные пары лучей и соответствующие им углы:
1. Лучи NM и NA образуют угол $\angle MNA$.
2. Лучи NA и NC образуют угол $\angle ANC$.
3. Лучи NC и NE образуют угол $\angle CNE$.

Эти три угла являются основными, "маленькими" углами. Кроме них, есть углы, которые состоят из суммы двух или трех этих углов:
4. Угол, образованный лучами NM и NC: $\angle MNC = \angle MNA + \angle ANC$.
5. Угол, образованный лучами NA и NE: $\angle ANE = \angle ANC + \angle CNE$.
6. Исходный угол, образованный лучами NM и NE: $\angle MNE = \angle MNA + \angle ANC + \angle CNE$.

Таким образом, всего образовалось 6 углов.

Ответ: Образовались углы: $\angle MNA$, $\angle ANC$, $\angle CNE$, $\angle MNC$, $\angle ANE$, $\angle MNE$.

323. На рисунке 108 $ \angle ABE = \angle CBF $. Есть ли еще на этом рисунке равные углы?

Рис. 108

Да, на этом рисунке есть ещё одна пара равных углов. Давайте докажем это.

Рассмотрим угол $ \angle ABF $. Он состоит из двух углов: $ \angle ABE $ и $ \angle EBF $. Таким образом, его величину можно записать как сумму:

$ \angle ABF = \angle ABE + \angle EBF $

Теперь рассмотрим угол $ \angle EBC $. Он также состоит из двух углов: $ \angle EBF $ и $ \angle CBF $. Его величина равна:

$ \angle EBC = \angle EBF + \angle CBF $

По условию задачи нам дано, что $ \angle ABE = \angle CBF $. Угол $ \angle EBF $ является общим для обоих составных углов ($ \angle ABF $ и $ \angle EBC $). Так как мы к одному и тому же углу ($ \angle EBF $) прибавляем равные углы ($ \angle ABE $ и $ \angle CBF $), то и получившиеся в результате суммы углы будут равны.

Следовательно, $ \angle ABF = \angle EBC $.

Ответ: Да, есть. Это углы $ \angle ABF $ и $ \angle EBC $, так как $ \angle ABF = \angle EBC $.

324. На рисунке 109 $\angle AOB = \angle DOE, \angle BOC = \angle COD$. Есть ли ещё на этом рисунке равные углы?

Рис. 109

Да, на этом рисунке есть ещё пары равных углов, кроме тех, что даны в условии.

1. Сравним углы $∠AOC$ и $∠COE$.

Угол $∠AOC$ является суммой двух углов: $∠AOB$ и $∠BOC$.
$∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$.

Угол $∠COE$ является суммой двух углов: $∠COD$ и $∠DOE$.
$∠COE = ∠COD + ∠DOE$.

По условию задачи нам даны следующие равенства:
1) $∠AOB = ∠DOE$
2) $∠BOC = ∠COD$

Если мы сложим левые и правые части этих равенств, мы получим:
$∠AOB + ∠BOC = ∠DOE + ∠COD$.

Из этого следует, что углы, образованные этими суммами, также равны:
$∠AOC = ∠COE$.

Ответ: $∠AOC = ∠COE$.

2. Сравним углы $∠AOD$ и $∠BOE$.

Угол $∠AOD$ можно представить как сумму трех углов: $∠AOB$, $∠BOC$ и $∠COD$.
$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$.

Угол $∠BOE$ можно представить как сумму трех углов: $∠BOC$, $∠COD$ и $∠DOE$.
$∠BOE = ∠BOC + ∠COD + ∠DOE$.

Давайте сравним выражения для этих двух углов. Мы можем переписать выражение для $∠BOE$ для наглядности:
$∠BOE = ∠DOE + ∠BOC + ∠COD$.

По условию мы знаем, что $∠AOB = ∠DOE$. Часть $(∠BOC + ∠COD)$ является общей для обоих выражений. Так как мы к одной и той же величине угла $(∠BOC + ∠COD)$ прибавляем равные углы ($∠AOB$ и $∠DOE$), то и результирующие углы будут равны.

Следовательно, $∠AOD = ∠BOE$.

Ответ: $∠AOD = ∠BOE$.

325. На рисунке 110 углы $FOK$ и $MOE$ равны. Какие ещё углы, изображённые на этом рисунке, равны?

Рис. 110

Согласно условию задачи, углы $FOK$ и $MOE$ равны. Запишем это в виде равенства:

$\angle FOK = \angle MOE$

Рассмотрим эти углы на рисунке. Из рисунка видно, что и угол $FOK$, и угол $MOE$ включают в себя угол $MOK$. Мы можем выразить каждый из данных углов как сумму двух смежных углов.

Угол $FOK$ состоит из суммы углов $FOM$ и $MOK$:

$\angle FOK = \angle FOM + \angle MOK$

Угол $MOE$ состоит из суммы углов $MOK$ и $KOE$:

$\angle MOE = \angle MOK + \angle KOE$

Так как по условию $\angle FOK = \angle MOE$, мы можем приравнять правые части полученных выражений:

$\angle FOM + \angle MOK = \angle MOK + \angle KOE$

Теперь, если мы вычтем из обеих частей этого равенства величину общего для них угла $MOK$, равенство останется верным:

$\angle FOM + \angle MOK - \angle MOK = \angle MOK + \angle KOE - \angle MOK$

После упрощения получаем:

$\angle FOM = \angle KOE$

Следовательно, мы нашли еще одну пару равных углов на данном рисунке.

Ответ: равны углы $FOM$ и $KOE$.

326. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) произведение суммы чисел 18 и 20 и числа 8;

$(18 + 20) \times 8 = 304$

2) частное от деления разности чисел 128 и 29 на число 11;

$\frac{128 - 29}{11} = 9$

3) частное от деления произведения чисел 15 и 6 на их разность.

$\frac{15 \times 6}{15 - 6} = 10$

1) произведение суммы чисел 18 и 20 и числа 8;

Сначала составим числовое выражение. "Сумма чисел 18 и 20" записывается как $(18 + 20)$. "Произведение" этой суммы и числа 8 означает, что результат суммы нужно умножить на 8. Получаем выражение: $(18 + 20) \times 8$.
Теперь найдем его значение, выполняя действия по порядку:
1. Находим сумму в скобках: $18 + 20 = 38$.
2. Умножаем результат на 8: $38 \times 8 = 304$.
Таким образом, $(18 + 20) \times 8 = 304$.
Ответ: 304

2) частное от деления разности чисел 128 и 29 на число 11;

Составим числовое выражение. "Разность чисел 128 и 29" записывается как $(128 - 29)$. "Частное от деления" этой разности на число 11 означает, что результат разности нужно разделить на 11. Получаем выражение: $(128 - 29) \div 11$.
Найдем его значение:
1. Находим разность в скобках: $128 - 29 = 99$.
2. Делим результат на 11: $99 \div 11 = 9$.
Таким образом, $(128 - 29) \div 11 = 9$.
Ответ: 9

3) частное от деления произведения чисел 15 и 6 на их разность.

Составим числовое выражение. "Произведение чисел 15 и 6" записывается как $(15 \times 6)$. "Их разность" (разность чисел 15 и 6) записывается как $(15 - 6)$. "Частное от деления произведения на их разность" означает, что первое выражение нужно разделить на второе. Получаем: $(15 \times 6) \div (15 - 6)$.
Найдем его значение:
1. Находим произведение в первых скобках: $15 \times 6 = 90$.
2. Находим разность во вторых скобках: $15 - 6 = 9$.
3. Делим первый результат на второй: $90 \div 9 = 10$.
Таким образом, $(15 \times 6) \div (15 - 6) = 10$.
Ответ: 10

327. Решите уравнение:

1) $x + 504968 = 1017216$;

2) $120340526 - x = 7908049$.

1) $x + 504\;968 = 1\;017\;216$

В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 1\;017\;216 - 504\;968$

$x = 512\;248$

Проверим результат, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$512\;248 + 504\;968 = 1\;017\;216$

$1\;017\;216 = 1\;017\;216$

Равенство верно.

Ответ: 512 248

2) $120\;340\;526 - x = 7\;908\;049$

В этом уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 120\;340\;526 - 7\;908\;049$

$x = 112\;432\;477$

Проверим результат, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$120\;340\;526 - 112\;432\;477 = 7\;908\;049$

$7\;908\;049 = 7\;908\;049$

Равенство верно.

Ответ: 112 432 477