Страница 81 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

311. Какое число надо подставить вместо $a$, чтобы корнем уравнения:

1) $(x - 7) + a = 23$ было число 9;

2) $(11 + x) + 101 = a$ было число 5?

1)

В уравнении $(x - 7) + a = 23$ корень $x$ равен 9. Чтобы найти, какое число нужно подставить вместо $a$, подставим значение $x = 9$ в исходное уравнение и решим его относительно $a$.

Подставляем $x=9$:

$(9 - 7) + a = 23$

Вычисляем значение в скобках:

$2 + a = 23$

Чтобы найти $a$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$a = 23 - 2$

$a = 21$

Проверка: $(9 - 7) + 21 = 2 + 21 = 23$. Равенство верно.

Ответ: 21

2)

В уравнении $(11 + x) + 101 = a$ корень $x$ равен 5. Чтобы найти значение $a$, подставим $x = 5$ в уравнение.

Подставляем $x=5$:

$(11 + 5) + 101 = a$

Вычисляем значение в скобках:

$16 + 101 = a$

Складываем числа в левой части уравнения:

$a = 117$

Проверка: $(11 + 5) + 101 = 16 + 101 = 117$. Равенство верно.

Ответ: 117

312. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?

Для того чтобы узнать, сколько времени Лиза была на тренировке, нужно сначала вычислить, сколько времени она провела в школе.

1. Вычисляем время, проведенное в школе.

Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Чтобы найти продолжительность, вычтем из времени окончания время начала:

$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 8 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 5 \text{ мин }$

Итак, Лиза провела в школе 7 часов 5 минут.

2. Вычисляем время, проведенное на тренировке.

По условию, на тренировке она провела на 5 ч 40 мин меньше, чем в школе. Вычтем это время из общего времени пребывания в школе:

$7 \text{ ч } 5 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 40 \text{ мин }$

Поскольку из 5 минут нельзя вычесть 40 минут, мы "займем" 1 час (который равен 60 минутам) из 7 часов и добавим его к минутам:

$7 \text{ ч } 5 \text{ мин } = 6 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 5 \text{ мин } = 6 \text{ ч } 65 \text{ мин }$

Теперь произведем вычитание:

$6 \text{ ч } 65 \text{ мин } - 5 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 25 \text{ мин }$

Ответ: Лиза была на тренировке 1 час 25 минут.

313. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.

Построение и деление отрезка

Сначала начертим отрезок длиной 12 см. Левый конец отрезка обозначим числом 0, а правый — числом 480.
Далее, разделим этот отрезок на шесть равных частей. Для этого найдем длину каждой части в сантиметрах:
$12 \text{ см} \div 6 = 2 \text{ см}$.
Каждая часть длиной 2 см будет соответствовать определенному числовому значению на шкале. Найдем "цену деления" этой шкалы, то есть значение, которое соответствует одной части:
$(480 - 0) \div 6 = 80$.
Таким образом, на отрезке появятся метки в точках, отстоящих на 2 см, 4 см, 6 см, 8 см и 10 см от начала, со значениями 80, 160, 240, 320 и 400 соответственно.

Отметка заданных чисел на шкале

Теперь нужно отметить на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420. Для этого сначала вычислим, какому количеству единиц шкалы соответствует 1 см длины отрезка (масштаб):
$480 \text{ единиц} \div 12 \text{ см} = 40 \text{ единиц на 1 см}$.
Используя это соотношение, найдем положение каждого числа на отрезке, измеряя расстояние от точки 0:

• Число 40: $40 \div 40 = 1$ см от начала.

• Число 100: $100 \div 40 = 2,5$ см от начала.

• Число 280: $280 \div 40 = 7$ см от начала.

• Число 360: $360 \div 40 = 9$ см от начала.

• Число 420: $420 \div 40 = 10,5$ см от начала.

Итоговый результат графически представлен на следующей шкале (основные деления отмечены черным, а искомые числа - красным):

Ответ: Для выполнения задания был начерчен отрезок длиной 12 см, который представляет собой шкалу от 0 до 480. Отрезок был разделен на 6 равных частей по 2 см, цена деления шкалы составила 80 единиц. Заданные числа 40, 100, 280, 360, 420 были отмечены на шкале в точках, находящихся на расстоянии 1 см, 2,5 см, 7 см, 9 см и 10,5 см от начала отсчета (точки 0) соответственно. Выше представлено графическое изображение построенной шкалы.

314. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассчитать общую стоимость всех товаров и сравнить её с имеющейся суммой денег (900 рублей).

1. Стоимость бананов

Цена за 1 кг бананов — 65 рублей. Необходимо купить 3 кг. Рассчитаем стоимость:

$3 \text{ кг} \times 65 \text{ р./кг} = 195 \text{ р.}$

2. Стоимость мандаринов

Цена за 1 кг мандаринов — 130 рублей. Необходимо купить 2 кг. Рассчитаем стоимость:

$2 \text{ кг} \times 130 \text{ р./кг} = 260 \text{ р.}$

3. Стоимость апельсинов

Цена за 1 кг апельсинов — 95 рублей. Необходимо купить 4 кг. Рассчитаем стоимость:

$4 \text{ кг} \times 95 \text{ р./кг} = 380 \text{ р.}$

4. Общая стоимость покупки

Теперь сложим стоимость всех товаров, чтобы найти итоговую сумму:

$195 \text{ р.} + 260 \text{ р.} + 380 \text{ р.} = 835 \text{ р.}$

5. Сравнение и вывод

Общая стоимость покупки составляет 835 рублей. Сравним эту сумму с имеющимися деньгами:

$835 \text{ р.} < 900 \text{ р.}$

Поскольку общая стоимость покупки меньше, чем имеющаяся сумма денег, совершить такую покупку возможно.

Ответ: да, можно.

315. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?

Для решения этой логической задачи необходимо исходить из главного условия: на каждом ящичке наклеена неверная этикетка. У нас есть три ящичка с этикетками «ББ» (два белых), «ЧЧ» (два чёрных) и «БЧ» (белый и чёрный).

Проанализируем, какое содержимое может быть в каждом из них.В ящичке с этикеткой «ББ» не может быть два белых шара, значит, в нём либо два чёрных (ЧЧ), либо белый и чёрный (БЧ).В ящичке с этикеткой «ЧЧ» не может быть два чёрных шара, значит, в нём либо два белых (ББ), либо белый и чёрный (БЧ).Ящичек с этикеткой «БЧ» не может содержать белый и чёрный шары. Это ключевой момент: значит, в этом ящичке лежат два шара одного цвета — либо два белых (ББ), либо два чёрных (ЧЧ).

Именно поэтому единственный шар нужно вынуть из ящичка с этикеткой «БЧ». Поскольку мы заранее знаем, что оба шара в нём одинаковые, цвет одного вынутого шара немедленно и однозначно раскрывает нам всё содержимое этого ящичка.

Если вынутый из ящичка «БЧ» шар окажется белым, это говорит нам, что в этом ящичке лежат два белых шара (ББ). Зная это, мы можем определить содержимое остальных. В ящичке с этикеткой «ЧЧ» не могут быть два чёрных шара (по условию), и не могут быть два белых (они уже найдены). Значит, там лежат белый и чёрный шары (БЧ). Методом исключения, в ящичке с этикеткой «ББ» находятся оставшиеся два чёрных шара (ЧЧ).

Если же вынутый из ящичка «БЧ» шар окажется чёрным, это означает, что в нём лежат два чёрных шара (ЧЧ). Тогда в ящичке с этикеткой «ББ» не могут быть два белых шара (по условию), и не могут быть два чёрных (они уже найдены). Значит, там находятся белый и чёрный шары (БЧ). Следовательно, в ящичке с этикеткой «ЧЧ» лежат оставшиеся два белых шара (ББ).

Таким образом, один шар, вынутый из правильного ящичка, позволяет полностью определить содержимое всех трёх ящичков.

Ответ: Нужно вынуть один шар из ящичка с этикеткой «БЧ». Если шар окажется белым, значит, в ящичке «БЧ» лежат два белых шара, в ящичке «ЧЧ» — белый и чёрный, а в ящичке «ББ» — два чёрных. Если шар окажется чёрным, то в ящичке «БЧ» лежат два чёрных шара, в ящичке «ББ» — белый и чёрный, а в ящичке «ЧЧ» — два белых.