Страница 79 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое число называют корнем (решением) уравнения?

1. Корнем или решением уравнения называют такое значение переменной (неизвестной), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Другими словами, это число, которое "удовлетворяет" уравнению.

Например, рассмотрим простое уравнение: $x + 5 = 12$.

Если мы подставим число 7 вместо переменной $x$, мы получим: $7 + 5 = 12$.

Равенство $12 = 12$ является верным. Следовательно, число 7 является корнем (решением) этого уравнения.

Если мы попробуем подставить любое другое число, например, 10, мы получим неверное равенство: $10 + 5 = 15$, а $15 \neq 12$. Значит, число 10 не является корнем данного уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Ответ: Корнем (решением) уравнения называют значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.

2. Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни (или решения) или доказать, что корней нет. Корнем уравнения называется такое значение переменной (неизвестной), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Например, для уравнения $x + 5 = 8$ число 3 является корнем, так как при его подстановке получается верное равенство $3 + 5 = 8$.

Процесс решения заключается в поиске всего множества корней. Это множество может быть:

• пустым, если уравнение не имеет решений (например, уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней);
• содержать конечное число корней (например, квадратное уравнение $x^2 - 9 = 0$ имеет два корня: $x=3$ и $x=-3$);
• содержать бесконечное число корней (например, тригонометрическое уравнение $\cos(x) = 1$ имеет бесконечное множество корней вида $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число).

Таким образом, полный результат решения уравнения — это либо перечисление всех его корней, либо доказательство того, что их не существует.

Ответ: Решить уравнение — значит найти все значения переменной, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство (т.е. найти все его корни), либо доказать, что таких значений не существует.

3. Как найти неизвестное слагаемое?

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Это базовое правило арифметики, которое помогает решать простые уравнения.

Рассмотрим общий случай. Пусть у нас есть уравнение вида:

$a + x = c$

В этом уравнении:

• $a$ – известное слагаемое,
• $x$ – неизвестное слагаемое,
• $c$ – сумма.

Чтобы найти $x$, нужно из суммы $c$ вычесть известное слагаемое $a$:

$x = c - a$

Пример:

Решим уравнение $x + 9 = 21$.

Здесь неизвестное слагаемое – это $x$, известное слагаемое – $9$, а сумма – $21$.

Применяем правило: вычитаем из суммы известное слагаемое.

$x = 21 - 9$

$x = 12$

Для проверки можно подставить найденное значение в исходное уравнение:

$12 + 9 = 21$

$21 = 21$

Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

4. Как найти неизвестное уменьшаемое? вычитаемое?

Как найти неизвестное уменьшаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое. Это правило можно выразить формулой: если уменьшаемое $x$ неизвестно в уравнении $x - a = b$, то его можно найти так: $x = b + a$.

Например, в уравнении $x - 8 = 12$, неизвестное уменьшаемое $x$ находится сложением вычитаемого (8) и разности (12):
$x = 12 + 8$
$x = 20$
Проверка: $20 - 8 = 12$.

Ответ: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Как найти неизвестное вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность. В виде формулы это правило выглядит следующим образом: если вычитаемое $x$ неизвестно в уравнении $a - x = b$, то его можно найти так: $x = a - b$.

Например, в уравнении $25 - x = 10$, неизвестное вычитаемое $x$ находится вычитанием разности (10) из уменьшаемого (25):
$x = 25 - 10$
$x = 15$
Проверка: $25 - 15 = 10$.

Ответ: чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

1. Найдите значение выражения $53 + x$, если:

1) $x = 29$;

2) $x = 61$.

1) Чтобы найти значение выражения $53 + x$ при $x = 29$, нужно подставить значение $x$ в выражение.
$53 + 29 = 82$
Ответ: 82

2) Чтобы найти значение выражения $53 + x$ при $x = 61$, нужно подставить значение $x$ в выражение.
$53 + 61 = 114$
Ответ: 114

2. Найдите значение выражения $12y$, если:

1) $y = 7$;

2) $y = 20$.

1)

Чтобы найти значение выражения $12y$, если $y = 7$, нужно подставить значение $y$ в выражение и выполнить умножение.

$12y = 12 \cdot 7$

Выполним вычисление:

$12 \cdot 7 = 84$

Ответ: 84

2)

Чтобы найти значение выражения $12y$, если $y = 20$, нужно подставить значение $y$ в выражение и выполнить умножение.

$12y = 12 \cdot 20$

Выполним вычисление:

$12 \cdot 20 = 240$

Ответ: 240

3. Найдите по формуле пути $s = 50t$ расстояние (в метрах), которое проходит Петя:

1) за 4 мин;

2) за 10 мин.

Что означает числовой множитель в этой формуле?

Для решения задачи используем формулу пути $s = 50t$, где $s$ — это расстояние в метрах, а $t$ — время в минутах.

1) Найдем расстояние, которое проходит Петя за 4 минуты.
Для этого подставим в формулу значение времени $t = 4$ мин:
$s = 50 \times 4 = 200$ (м).
Ответ: За 4 минуты Петя проходит 200 метров.

2) Найдем расстояние, которое проходит Петя за 10 минут.
Для этого подставим в формулу значение времени $t = 10$ мин:
$s = 50 \times 10 = 500$ (м).
Ответ: За 10 минут Петя проходит 500 метров.

Что означает числовой множитель в этой формуле?
Общая формула для нахождения расстояния при равномерном движении выглядит как $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость движения, а $t$ — время.
Сравнивая общую формулу с данной в задаче $s = 50t$, видим, что числовой множитель 50 соответствует скорости $v$. Так как расстояние $s$ измеряется в метрах, а время $t$ в минутах, то скорость измеряется в метрах в минуту (м/мин).
Ответ: Числовой множитель 50 означает скорость движения Пети, которая составляет 50 метров в минуту.

4. Число a на 10 больше, чем число b. В виде каких из следующих равенств это можно записать:

1) $a + b = 10$;

2) $a - b = 10$;

3) $b - a = 10$;

4) $a - 10 = b$;

5) $b + 10 = a$?

Условие "число a на 10 больше, чем число b" означает, что разница между a и b составляет 10. Поскольку a является большим числом, это можно записать в виде нескольких эквивалентных математических равенств:

• Если от большего числа (a) отнять меньшее (b), получится их разница (10): $a - b = 10$.
• Если к меньшему числу (b) прибавить разницу (10), получится большее число (a): $b + 10 = a$.
• Если от большего числа (a) отнять разницу (10), получится меньшее число (b): $a - 10 = b$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных равенств, чтобы определить, какие из них являются верными.

1) $a + b = 10$;
Это равенство описывает сумму чисел, а не их разность. Условие "a на 10 больше b" не означает, что их сумма равна 10. Например, если $b = 5$, то $a = 15$, а их сумма $a + b = 20$. Таким образом, это равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $a - b = 10$;
Это равенство в точности говорит о том, что разность между большим числом a и меньшим числом b равна 10. Это прямая запись исходного условия. Таким образом, это равенство верно.
Ответ: верно.

3) $b - a = 10$;
Это равенство означало бы, что число b на 10 больше, чем число a, что прямо противоречит условию задачи. Поскольку $a > b$, разность $b - a$ должна быть отрицательным числом ($b - a = -10$). Таким образом, это равенство неверно.
Ответ: неверно.

4) $a - 10 = b$;
Это равенство является алгебраическим преобразованием верного равенства $a - b = 10$. Если перенести b в правую часть уравнения, а 10 — в левую, мы получим $a - 10 = b$. Логически это также верно: если a на 10 больше, чем b, то, уменьшив a на 10, мы получим b. Таким образом, это равенство верно.
Ответ: верно.

5) $b + 10 = a$?
Это равенство также является прямой записью условия: если к меньшему числу b прибавить 10, получится большее число a. Вопросительный знак в конце, скорее всего, является опечаткой в задании. Равенство $b + 10 = a$ является верным.
Ответ: верно.

5. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество гирь по 2 кг, а $y$ — количество гирь по 3 кг.

Согласно условию, всего гирь было 10. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 10$

Весы находятся в равновесии, значит, общая масса гирь на одной чаше равна общей массе на другой. Это дает нам второе уравнение:

$2x = 3y$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x = 3y \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 10 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(10 - y) = 3y$

Теперь решим полученное уравнение:

$20 - 2y = 3y$

$20 = 3y + 2y$

$20 = 5y$

$y = \frac{20}{5}$

$y = 4$

Мы нашли количество гирь по 3 кг — их 4. Теперь найдем количество гирь по 2 кг, подставив значение $y$ в выражение $x = 10 - y$:

$x = 10 - 4$

$x = 6$

Следовательно, гирь по 2 кг было 6.

Проверим: общее количество гирь $6 + 4 = 10$. Общий вес на каждой чаше: $6 \cdot 2 = 12$ кг и $4 \cdot 3 = 12$ кг. Условия задачи выполнены.

Ответ: поставили 6 гирь по 2 кг и 4 гири по 3 кг.

302. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:

1) $x + 16 = 28$;

2) $4x - 5 = 7$?

Чтобы определить, какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения, необходимо поочередно подставить каждое из этих чисел в уравнение вместо переменной $x$. Если при подстановке числа получается верное числовое равенство, то это число и является корнем уравнения.

1) $x + 16 = 28$;

- Проверим, является ли число 3 корнем:
$3 + 16 = 19$.
Полученное равенство $19 = 28$ является неверным.

- Проверим, является ли число 12 корнем:
$12 + 16 = 28$.
Полученное равенство $28 = 28$ является верным.

- Проверим, является ли число 14 корнем:
$14 + 16 = 30$.
Полученное равенство $30 = 28$ является неверным.

Таким образом, корнем уравнения $x + 16 = 28$ является число 12.
Ответ: 12.

2) $4x - 5 = 7$?

- Проверим, является ли число 3 корнем:
$4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$.
Полученное равенство $7 = 7$ является верным.

- Проверим, является ли число 12 корнем:
$4 \cdot 12 - 5 = 48 - 5 = 43$.
Полученное равенство $43 = 7$ является неверным.

- Проверим, является ли число 14 корнем:
$4 \cdot 14 - 5 = 56 - 5 = 51$.
Полученное равенство $51 = 7$ является неверным.

Таким образом, корнем уравнения $4x - 5 = 7$ является число 3.
Ответ: 3.