Страница 82 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую фигуру называют углом?

В геометрии углом называют геометрическую фигуру, которая образована двумя лучами, исходящими из одной общей точки. Эта общая точка называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла.

Плоскость, на которой лежит угол, разделяется его сторонами на две области: внутреннюю и внешнюю. Как правило, под углом понимают его внутреннюю область, то есть меньшую из двух частей плоскости.

Для обозначения угла используют специальный знак $\angle$. Угол можно обозначить тремя заглавными латинскими буквами, например, $\angle ABC$. В такой записи буква, обозначающая вершину угла ($B$), всегда ставится в середине. Также угол можно обозначать одной буквой, соответствующей его вершине (например, $\angle B$), если это не вызовет неоднозначности, или греческой буквой (например, $\alpha, \beta, \gamma$), которой помечают внутреннюю область угла на чертеже.

Ответ: Угол — это геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух лучей (сторон), исходящих из этой точки.

2. Какие два угла называют равными?

В геометрии два угла называются равными, если их можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. Это означает, что при наложении вершина одного угла совпадает с вершиной другого, а стороны (лучи) одного угла совмещаются со сторонами другого.

С практической точки зрения это означает, что равные углы имеют одинаковую меру, которая измеряется в градусах или радианах. Если величина угла $A$ равна $ \alpha $, и величина угла $B$ также равна $ \alpha $, то эти углы равны.

Например, если $\angle A = 45^\circ$ и $\angle B = 45^\circ$, то углы $A$ и $B$ равны. Это записывается в виде формулы: $\angle A = \angle B$.

Ответ: Два угла называют равными, если их градусные меры одинаковы, или, что то же самое, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут.

3. Как называют луч, который делит угол на два равных угла?

3. Луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных (конгруэнтных) угла, называется биссектрисой угла.

Это фундаментальное понятие в геометрии. Если мы имеем угол $∠AOB$, и из его вершины $O$ проведен луч $OC$, который проходит между сторонами $OA$ и $OB$ так, что угол $∠AOC$ равен углу $∠COB$, то луч $OC$ является биссектрисой. Величина каждого из получившихся углов равна половине величины исходного угла:

$∠AOC = ∠COB = \frac{1}{2}∠AOB$

Важным свойством биссектрисы является то, что любая ее точка равноудалена от сторон угла. Биссектрисы трех углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в этот треугольник окружности.

Для простоты запоминания этого термина в школьной программе часто используют мнемоническое правило: "Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам".

Ответ: биссектриса.

1. Каких чисел не хватает в цепочке вычислений?

$ \square \xrightarrow{+14} 62 \xrightarrow{- \Box} 39 \xrightarrow{- \Box} \bigcirc \xrightarrow{+79} 100 $

Для того чтобы найти недостающие числа, необходимо решить несколько уравнений, двигаясь по цепочке вычислений. Некоторые действия мы выполним в обратном порядке.

Первое число (в начальном квадрате)

Обозначим первое неизвестное число за $x$. Из схемы следует, что если к этому числу прибавить 14, то получится 62. Составим уравнение:

$x + 14 = 62$

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 62 - 14$

$x = 48$

Таким образом, первое число в цепочке равно 48.

Ответ: 48.

Число, которое вычитается из 62

Обозначим второе неизвестное число за $y$. Составим уравнение по схеме:

$62 - y = 39$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$y = 62 - 39$

$y = 23$

Следовательно, из 62 вычитается число 23.

Ответ: 23.

Число в последнем круге

Это число удобнее найти, двигаясь с конца цепочки. Обозначим его за $z$. К этому числу прибавляют 79 и получают 100. Составим уравнение:

$z + 79 = 100$

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$z = 100 - 79$

$z = 21$

Число в последнем круге равно 21.

Ответ: 21.

Число, которое вычитается из 39

Теперь, зная, что результатом этого вычитания является число 21 (которое мы нашли в предыдущем шаге), мы можем найти последнее неизвестное. Обозначим его за $w$.

$39 - w = 21$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$w = 39 - 21$

$w = 18$

Последнее недостающее число — 18.

Ответ: 18.

2. Решите уравнение:

1) $x + 13 = 28$;

2) $20 - x = 12$;

3) $x - 11 = 79$;

4) $10 + x = 28$.

1) Решим уравнение $x + 13 = 28$.

В данном уравнении переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Выразим $x$:

$x = 28 - 13$

Выполним вычитание:

$x = 15$

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$15 + 13 = 28$

$28 = 28$

Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 15$.

2) Решим уравнение $20 - x = 12$.

В данном уравнении переменная $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность.

Выразим $x$:

$x = 20 - 12$

Выполним вычитание:

$x = 8$

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$20 - 8 = 12$

$12 = 12$

Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 8$.

3) Решим уравнение $x - 11 = 79$.

В данном уравнении переменная $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

Выразим $x$:

$x = 79 + 11$

Выполним сложение:

$x = 90$

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$90 - 11 = 79$

$79 = 79$

Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 90$.

4) Решим уравнение $10 + x = 28$.

В данном уравнении переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Выразим $x$:

$x = 28 - 10$

Выполним вычитание:

$x = 18$

Сделаем проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$10 + 18 = 28$

$28 = 28$

Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = 18$.