Страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

292. У медвежонка было $m$ горшочков мёда. Его друг поросёнок подарил медвежонку ещё 24 горшочка, и они вместе съели $n$ горшочков мёда. Сколько горшочков мёда осталось после этого у медвежонка?

Вычислите значение полученного выражения, если $m = 56$, $n = 12$.

Сколько горшочков мёда осталось после этого у медвежонка?
Чтобы найти, сколько горшочков мёда осталось у медвежонка, нужно составить математическое выражение.
1. Изначально у медвежонка было $m$ горшочков мёда.
2. Его друг поросёнок подарил ему ещё 24 горшочка. Количество горшочков стало: $m + 24$.
3. Затем они вместе съели $n$ горшочков. Чтобы найти оставшееся количество, нужно из общего числа вычесть съеденное: $(m + 24) - n$.
Таким образом, выражение для количества оставшихся горшочков мёда: $m + 24 - n$.
Ответ: $m + 24 - n$.

Вычислите значение полученного выражения, если m = 56, n = 12.
Подставим значения $m = 56$ и $n = 12$ в полученное выражение $m + 24 - n$.
Получаем: $56 + 24 - 12$.
Выполним вычисления по порядку:
1) Сначала выполним сложение: $56 + 24 = 80$.
2) Затем из результата вычтем 12: $80 - 12 = 68$.
Ответ: 68.

293. Пьеро купил $m$ карандашей по 24 сольдо и пять тетрадей по $n$ сольдо, заплатив за тетради больше, чем за карандаши. На сколько больше заплатил Пьеро за тетради, чем за карандаши? Вычислите значение полученного выражения при $m = 6$, $n = 32$.

На сколько больше заплатил Пьеро за тетради, чем за карандаши?

1. Сначала найдём общую стоимость карандашей. Пьеро купил $m$ карандашей по 24 сольдо за каждый. Чтобы найти общую стоимость, нужно умножить количество карандашей на цену одного карандаша:
Стоимость карандашей = $m \cdot 24 = 24m$ (сольдо).

2. Далее найдём общую стоимость тетрадей. Пьеро купил 5 тетрадей по $n$ сольдо за каждую. Общая стоимость тетрадей равна:
Стоимость тетрадей = $5 \cdot n = 5n$ (сольдо).

3. Чтобы определить, на сколько больше Пьеро заплатил за тетради, чем за карандаши, необходимо из стоимости тетрадей вычесть стоимость карандашей. Согласно условию, стоимость тетрадей была больше. Составим выражение:
$5n - 24m$.

Ответ: $5n - 24m$.

Вычислите значение полученного выражения при m = 6, n = 32.

1. Подставим числовые значения $m = 6$ и $n = 32$ в составленное нами выражение $5n - 24m$:
$5 \cdot 32 - 24 \cdot 6$.

2. Выполним вычисления, соблюдая порядок действий:
а) Сначала выполним действия умножения:
$5 \cdot 32 = 160$;
$24 \cdot 6 = 144$.
б) Теперь выполним вычитание:
$160 - 144 = 16$.

Таким образом, при заданных значениях Пьеро заплатил за тетради на 16 сольдо больше, чем за карандаши.

Ответ: 16.

294. (Домашняя практическая работа) Стоимость потребления одного кубометра холодной воды составляет $x$ р., а горячей — $y$ р. Сколько должна заплатить семья за потребление 10 кубометров холодной воды и 8 кубометров горячей воды? Узнайте стоимость потребления холодной и горячей воды в вашем регионе и вычислите значение полученного выражения.

Сколько должна заплатить семья за потребление 10 кубометров холодной воды и 8 кубометров горячей воды?

Для того чтобы найти общую стоимость, нужно сложить стоимость потребленной холодной воды и стоимость потребленной горячей воды.

1. Стоимость холодной воды: Объем потребленной холодной воды равен 10 кубометрам. Стоимость одного кубометра холодной воды составляет $x$ рублей. Следовательно, стоимость 10 кубометров холодной воды равна $10 \cdot x$ рублей.

2. Стоимость горячей воды: Объем потребленной горячей воды равен 8 кубометрам. Стоимость одного кубометра горячей воды составляет $y$ рублей. Следовательно, стоимость 8 кубометров горячей воды равна $8 \cdot y$ рублей.

3. Общая стоимость: Общая сумма к оплате будет равна сумме стоимостей холодной и горячей воды: $10x + 8y$ рублей.

Ответ: Семья должна заплатить $(10x + 8y)$ рублей.

Узнайте стоимость потребления холодной и горячей воды в вашем регионе и вычислите значение полученного выражения.

Для расчета необходимо подставить в полученное выражение $10x + 8y$ актуальные тарифы на воду для вашего региона. Тарифы могут отличаться в зависимости от населенного пункта и поставщика услуг.

В качестве примера произведем расчет, используя средние тарифы для одного из регионов России (например, Москвы на начало 2024 года):

• Стоимость 1 м³ холодной воды ($x$) ≈ 50,93 руб.
• Стоимость 1 м³ горячей воды ($y$) ≈ 243,16 руб.

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

$10x + 8y = 10 \cdot 50,93 + 8 \cdot 243,16$

Выполним вычисления:

$10 \cdot 50,93 = 509,3$ (руб.) - стоимость холодной воды.

$8 \cdot 243,16 = 1945,28$ (руб.) - стоимость горячей воды.

$509,3 + 1945,28 = 2454,58$ (руб.) - общая стоимость.

Примечание: Для получения точного ответа для вашей семьи необходимо использовать тарифы, указанные в вашей квитанции за коммунальные услуги.

Ответ: Стоимость зависит от тарифов в конкретном регионе. По приведенным в примере тарифам, итоговая сумма составит 2454,58 рубля.

295. В цистерне было 712 л воды. Каждый час из неё вытекает 18 л. Составьте формулу для вычисления объёма воды, которая осталась в цистерне через t ч, и вычислите этот объём, если:

$V = 712 - 18t$

1) t = 4;

2) t = 12.

Для решения задачи сначала составим формулу. Пусть $V$ — это объем воды (в литрах), который остался в цистерне, а $t$ — это время (в часах).

Начальный объем воды в цистерне составляет 712 л. Каждый час из нее вытекает 18 л воды. Следовательно, за $t$ часов из цистерны вытечет объем воды, равный $18 \cdot t$ литров.

Чтобы найти объем воды, который остался в цистерне через $t$ часов, нужно из начального объема вычесть объем вытекшей воды. Таким образом, формула имеет вид:

$V = 712 - 18t$

Теперь, используя эту формулу, вычислим оставшийся объем воды для указанных значений времени.

1) t = 4

Подставим значение $t = 4$ в нашу формулу:

$V = 712 - 18 \cdot 4 = 712 - 72 = 640$ (л)

Ответ: через 4 часа в цистерне останется 640 л воды.

2) t = 12

Подставим значение $t = 12$ в нашу формулу:

$V = 712 - 18 \cdot 12 = 712 - 216 = 496$ (л)

Ответ: через 12 часов в цистерне останется 496 л воды.

296. Чтобы арендовать электросамокат, требуется сначала заплатить 50 р. за его разблокировку, а затем платить 6 р. за каждую минуту пользования им. Обозначив общую стоимость аренды электросамоката буквой $P$, составьте формулу для вычисления стоимости аренды в течение $t$ мин. Пользуясь составленной формулой, вычислите стоимость пользования электросамокатом, если:

1) $t = 10$

2) $t = 25$

Общая стоимость аренды $P$ складывается из двух частей: фиксированной платы за разблокировку и переменной платы, зависящей от времени использования.

Фиксированная плата составляет 50 рублей.

Стоимость каждой минуты пользования составляет 6 рублей. За $t$ минут стоимость будет равна $6 \cdot t$ рублей.

Следовательно, формула для вычисления общей стоимости аренды $P$ в течение $t$ минут выглядит так:
$P = 50 + 6t$

Теперь, используя эту формулу, вычислим стоимость для заданных значений времени.

1) $t = 10$
Подставим в формулу значение $t = 10$:
$P = 50 + 6 \cdot 10 = 50 + 60 = 110$ (рублей).
Ответ: 110 р.

2) $t = 25$
Подставим в формулу значение $t = 25$:
$P = 50 + 6 \cdot 25 = 50 + 150 = 200$ (рублей).
Ответ: 200 р.

297. Решая задачи 219 (1) и 219 (2), вы нашли значения числовых выражений $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ и $1 + 2 + 3 + \dots + 100$. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений $(11 \cdot 10) : 2$ и $(101 \cdot 100) : 2$ соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение $S$ выражения $1 + 2 + 3 + \dots + n$, где $n$ — любое натуральное число, большее 1. Проверьте свою гипотезу для:

1) $n = 15$;

2) $n = 20$;

3) $n = 30$.

В задаче даны примеры для нахождения суммы натуральных чисел от 1 до $n$:
Для суммы $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ (здесь $n=10$), результат можно найти как $(11 \cdot 10) : 2$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{(10+1) \cdot 10}{2}$.
Для суммы $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ (здесь $n=100$), результат можно найти как $(101 \cdot 100) : 2$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{(100+1) \cdot 100}{2}$.
На основе этих примеров можно выдвинуть гипотезу, что для нахождения суммы $S$ первых $n$ натуральных чисел ($S = 1 + 2 + 3 + \dots + n$) можно использовать общую формулу:
$S = \frac{(n+1) \cdot n}{2}$ или $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
Эта формула известна как формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Теперь проверим эту гипотезу для заданных значений $n$.

1) n = 15
Подставляем значение $n=15$ в нашу формулу:
$S = \frac{15 \cdot (15+1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2} = \frac{240}{2} = 120$.
Ответ: 120.

2) n = 20
Подставляем значение $n=20$ в нашу формулу:
$S = \frac{20 \cdot (20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$.
Ответ: 210.

3) n = 30
Подставляем значение $n=30$ в нашу формулу:
$S = \frac{30 \cdot (30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 15 \cdot 31 = 465$.
Ответ: 465.