Страница 69 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

258. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы вычитание было выполнено верно:

1) $$\begin{array}{r}\text{_} \, \text{*} \, 5 \, 6 \, 7 \, \text{*} \\-\quad\quad \text{*} \, 9 \, \text{*} \, 7 \\\hline\quad 8 \, 6 \, \text{*} \, 4 \, 6\end{array}$$

2) $$\begin{array}{r}\text{_} \, \text{*} \, \text{*} \, 5 \, \text{*} \, 2 \\-\quad \text{_} \, 7 \, \text{*} \, 1 \, \text{*} \\\hline\quad 7 \, 6 \, 7 \, 4 \, 6\end{array}$$

Запишем пример в виде столбика и будем восстанавливать пропущенные цифры (обозначены звёздочками), двигаясь справа налево, от разряда единиц к старшим разрядам.

$ \begin{array}{rrrrrr} & * & 5 & 6 & 7 & * \\ - & & * & 9 & * & 7 \\ \hline & 8 & 6 & * & 4 & 6 \end{array} $

Разряд единиц: Неизвестная цифра (уменьшаемое) минус 7 равно 6. Это можно записать как $* - 7 = 6$. Такое возможно только при заёме из разряда десятков. Тогда получаем $(10 + *) - 7 = 6$, или $3 + * = 6$. Отсюда, последняя цифра уменьшаемого равна $6-3=3$.

Разряд десятков: В уменьшаемом была цифра 7. Мы заняли из неё единицу, осталась 6. Из 6 вычитаем неизвестную цифру и получаем 4. $6 - * = 4$. Значит, неизвестная цифра в вычитаемом равна $6-4=2$.

Разряд сотен: Из 6 вычитаем 9. Так как $6 < 9$, нужно занять единицу из разряда тысяч. Получаем $16 - 9 = 7$. Значит, неизвестная цифра в разности равна 7.

Разряд тысяч: В уменьшаемом была цифра 5. Мы заняли из неё единицу, осталась 4. Из 4 вычитаем неизвестную цифру и получаем 6. Так как $4 < 6$, нужно занять из следующего разряда. Получаем $14 - * = 6$. Значит, неизвестная цифра в вычитаемом равна $14-6=8$.

Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом была неизвестная цифра, из которой мы заняли единицу. Получилось $(* - 1)$. В вычитаемом на этом месте цифры нет (это 0). Получаем $(* - 1) - 0 = 8$. Отсюда, первая цифра уменьшаемого равна $8+1=9$.

В результате получаем следующий пример:

$ \begin{array}{rrrrrr} & 9 & 5 & 6 & 7 & 3 \\ - & & 8 & 9 & 2 & 7 \\ \hline & 8 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

Проверка: $95673 - 8927 = 86746$. Всё верно.

Ответ: $ \begin{array}{r} 95673 \\ - \ 8927 \\ \hline 86746 \end{array} $

Решим второй пример аналогичным образом.

$ \begin{array}{rrrrrr} & * & * & 5 & * & 2 \\ - & & 7 & * & 1 & * \\ \hline & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

Разряд единиц: Из 2 вычитаем неизвестную цифру и получаем 6. Необходимо занять из разряда десятков. Получаем $12 - * = 6$. Отсюда, последняя цифра вычитаемого равна $12-6=6$.

Разряд десятков: В уменьшаемом была неизвестная цифра, из которой мы заняли единицу. Получилось $(* - 1)$. Из этого числа вычитаем 1 и получаем 4. $(*-1) - 1 = 4$, или $* - 2 = 4$. Значит, неизвестная цифра в уменьшаемом равна $4+2=6$.

Разряд сотен: Из 5 вычитаем неизвестную цифру и получаем 7. Так как $5 < 7$, нужно занять из разряда тысяч. Получаем $15 - * = 7$. Значит, неизвестная цифра в вычитаемом равна $15-7=8$.

Разряд тысяч: В уменьшаемом была неизвестная цифра, из которой мы заняли единицу. Получилось $(* - 1)$. Из этого числа вычитаем 7 и получаем 6. Так как $(* - 1)$ должно быть больше 7, снова нужен заём. Получаем $(10 + (* - 1)) - 7 = 6$, или $9 + * - 7 = 6$, или $* + 2 = 6$. Отсюда, неизвестная цифра в уменьшаемом равна $6-2=4$.

Разряд десятков тысяч: В уменьшаемом была неизвестная цифра, из которой мы заняли единицу. Получилось $(* - 1)$. Вычитаем 0 и получаем 7. $(* - 1) - 0 = 7$. Значит, первая цифра уменьшаемого равна $7+1=8$.

Восстановленный пример:

$ \begin{array}{rrrrrr} & 8 & 4 & 5 & 6 & 2 \\ - & & 7 & 8 & 1 & 6 \\ \hline & 7 & 6 & 7 & 4 & 6 \end{array} $

Проверка: $84562 - 7816 = 76746$. Всё верно.

Ответ: $ \begin{array}{r} 84562 \\ - \ 7816 \\ \hline 76746 \end{array} $

259. В первый день Василий собрал в своём саду 26 ящиков яблок, а во второй — 14 таких же ящиков яблок. Сколько килограммов яблок собрал Василий в первый день и сколько — во второй, если во второй день он собрал на 192 кг меньше, чем в первый?

Для решения задачи нужно сначала определить, на сколько больше ящиков яблок Василий собрал в первый день по сравнению со вторым. Эта разница в количестве ящиков и будет соответствовать разнице в массе, равной 192 кг.

1. Найдем разницу в количестве ящиков, собранных за два дня:

$26 - 14 = 12$ (ящиков)

Это означает, что в первый день Василий собрал на 12 ящиков яблок больше, и эти 12 ящиков весят 192 кг.

2. Теперь найдем массу яблок в одном ящике, разделив общую разницу в весе на разницу в количестве ящиков:

$192 : 12 = 16$ (кг)

Таким образом, в каждом ящике находится 16 кг яблок.

3. Вычислим, сколько килограммов яблок Василий собрал в первый день, умножив количество ящиков на массу одного ящика:

$26 \times 16 = 416$ (кг)

4. Аналогично вычислим, сколько килограммов яблок было собрано во второй день:

$14 \times 16 = 224$ (кг)

5. Проверим полученный результат: разница между массой яблок, собранных в первый и второй день, должна составлять 192 кг.

$416 - 224 = 192$ (кг)

Расчеты верны.

Ответ: в первый день Василий собрал 416 кг яблок, а во второй день — 224 кг яблок.

260. Один поезд находился в пути 7 ч, а второй — 13 ч. Второй поезд проехал на 360 км больше, чем первый. Сколько километров прошёл каждый поезд, если они двигались с одинаковой скоростью?

Для решения задачи будем исходить из того, что, поскольку скорости поездов одинаковы, разница в пройденном расстоянии обусловлена исключительно разницей во времени нахождения в пути.

1. Найдём разницу во времени движения поездов.

Второй поезд был в пути дольше, чем первый. Найдём, на сколько часов дольше:

$13 \text{ ч} - 7 \text{ ч} = 6 \text{ ч}$

2. Найдём скорость поездов.

За эти 6 часов второй поезд проехал на 360 км больше. Следовательно, мы можем найти их общую скорость, разделив разницу в расстоянии на разницу во времени:

$v = \frac{360 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$

3. Найдём расстояние, которое прошёл каждый поезд.

Теперь, зная скорость, можем вычислить расстояние для каждого поезда по формуле: расстояние = скорость × время ($S = v \cdot t$).

Расстояние, которое прошёл первый поезд:

$S_1 = 60 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 420 \text{ км}$

Расстояние, которое прошёл второй поезд:

$S_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot 13 \text{ ч} = 780 \text{ км}$

Проверка: $780 \text{ км} - 420 \text{ км} = 360 \text{ км}$. Разница в расстоянии соответствует условию задачи.

Ответ: первый поезд прошёл 420 км, а второй – 780 км.

261. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(412 + 116) - 112;$

2) $(593 + 675) - 275;$

3) $844 - (244 + 318);$

4) $729 - (396 + 229).$

1) Для вычисления значения выражения $(412 + 116) - 112$, удобнее использовать сочетательное свойство сложения и изменить порядок действий. Сначала можно выполнить вычитание, а затем сложение.
$(412 + 116) - 112 = 412 + (116 - 112)$.
Выполним действие в скобках: $116 - 112 = 4$.
Теперь выполним сложение: $412 + 4 = 416$.
Ответ: 416

2) В выражении $(593 + 675) - 275$ также удобно применить сочетательное свойство и сначала найти разность чисел 675 и 275, так как они имеют одинаковые последние две цифры.
$(593 + 675) - 275 = 593 + (675 - 275)$.
Вычислим разность в скобках: $675 - 275 = 400$.
Теперь сложим полученный результат с оставшимся числом: $593 + 400 = 993$.
Ответ: 993

3) Чтобы найти значение выражения $844 - (244 + 318)$, воспользуемся правилом вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Это позволяет нам раскрыть скобки.
$844 - (244 + 318) = 844 - 244 - 318$.
Удобнее сначала выполнить вычитание $844 - 244$, так как у этих чисел одинаковые последние две цифры: $844 - 244 = 600$.
Затем из полученного результата вычтем второе число: $600 - 318 = 282$.
Ответ: 282

4) Для вычисления выражения $729 - (396 + 229)$ применим то же правило вычитания суммы из числа, что и в предыдущем примере.
$729 - (396 + 229) = 729 - 396 - 229$.
Для удобства сгруппируем числа так, чтобы сначала вычесть из 729 число 229: $(729 - 229) - 396$.
Вычислим разность в скобках: $729 - 229 = 500$.
Теперь вычтем из 500 оставшееся число: $500 - 396 = 104$.
Ответ: 104

262. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(176 + 343) - 243;$

2) $(684 + 915) - 484;$

3) $1287 - (487 + 164);$

4) $971 - (235 + 371).$

1) $(176 + 343) - 243$

Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения и вычитания. Можно изменить порядок действий, не меняя результат. Сначала выполним вычитание, а затем сложение.

$(176 + 343) - 243 = 176 + (343 - 243)$

Вычислим разность в скобках:

$343 - 243 = 100$

Теперь прибавим полученное число к первому слагаемому:

$176 + 100 = 276$

Ответ: 276

2) $(684 + 915) - 484$

Здесь также удобнее сначала выполнить вычитание, так как числа 684 и 484 имеют одинаковые последние две цифры. Перегруппируем слагаемые:

$(684 + 915) - 484 = (684 - 484) + 915$

Вычислим разность:

$684 - 484 = 200$

Теперь выполним сложение:

$200 + 915 = 1115$

Ответ: 1115

3) $1287 - (487 + 164)$

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа каждое слагаемое по очереди. Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные:

$1287 - (487 + 164) = 1287 - 487 - 164$

Удобно сначала вычесть 487 из 1287:

$1287 - 487 = 800$

Теперь из полученного результата вычтем второе число:

$800 - 164 = 636$

Ответ: 636

4) $971 - (235 + 371)$

Аналогично предыдущему примеру, раскроем скобки и вычтем каждое слагаемое по отдельности:

$971 - (235 + 371) = 971 - 235 - 371$

Для удобства вычислений поменяем местами вычитаемые:

$(971 - 371) - 235$

Выполним первое вычитание:

$971 - 371 = 600$

Теперь выполним второе вычитание:

$600 - 235 = 365$

Ответ: 365

263. Упростите выражение:

1) $(35 + x) - 15;$

2) $(432 + b) - 265;$

3) $96 - (m + 48);$

4) $516 - (216 + x).$

1) Для того чтобы упростить выражение $(35 + x) - 15$, мы можем воспользоваться сочетательным свойством сложения. Это позволяет нам изменить порядок вычислений. Сначала уберем скобки, так как перед ними нет знака минус, а затем сгруппируем числа:

$(35 + x) - 15 = 35 + x - 15 = (35 - 15) + x$.

Выполним вычитание чисел:

$35 - 15 = 20$.

В результате получаем:

$20 + x$.

Ответ: $20 + x$.

2) Упростим выражение $(432 + b) - 265$. Как и в предыдущем случае, мы можем опустить скобки и перегруппировать слагаемые для удобства вычислений:

$(432 + b) - 265 = 432 + b - 265 = (432 - 265) + b$.

Вычислим разность чисел:

$432 - 265 = 167$.

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$167 + b$.

Ответ: $167 + b$.

3) Рассмотрим выражение $96 - (m + 48)$. В этом случае перед скобками стоит знак минус. Чтобы раскрыть скобки, нужно поменять знак каждого слагаемого внутри скобок на противоположный:

$96 - (m + 48) = 96 - m - 48$.

Теперь сгруппируем числа и выполним вычитание:

$(96 - 48) - m = 48 - m$.

Ответ: $48 - m$.

4) Упростим выражение $516 - (216 + x)$. Здесь, как и в третьем примере, перед скобками стоит знак минус. Раскрывая скобки, меняем знаки слагаемых внутри на противоположные:

$516 - (216 + x) = 516 - 216 - x$.

Выполним вычитание чисел:

$(516 - 216) - x = 300 - x$.

Ответ: $300 - x$.

264. Упростите выражение:

1) $(a + 546) - 328$;

2) $(c + 961) - 592$;

3) $272 - (125 + y)$;

4) $925 - (p + 735)$.

1) Чтобы упростить выражение $(a + 546) - 328$, мы можем воспользоваться сочетательным свойством сложения и сначала выполнить действие с числами.
$(a + 546) - 328 = a + (546 - 328)$
Вычислим разность в скобках:
$546 - 328 = 218$
Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:
$a + 218$
Ответ: $a + 218$

2) Упростим выражение $(c + 961) - 592$. Как и в предыдущем примере, применим сочетательное свойство сложения.
$(c + 961) - 592 = c + (961 - 592)$
Вычислим разность чисел:
$961 - 592 = 369$
В результате получаем:
$c + 369$
Ответ: $c + 369$

3) Для упрощения выражения $272 - (125 + y)$ необходимо раскрыть скобки. Поскольку перед скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$272 - (125 + y) = 272 - 125 - y$
Теперь выполним вычитание чисел:
$272 - 125 = 147$
Упрощенное выражение:
$147 - y$
Ответ: $147 - y$

4) Упростим выражение $925 - (p + 735)$. Для этого раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
$925 - (p + 735) = 925 - p - 735$
Сгруппируем числа и выполним вычитание:
$925 - 735 - p$
$925 - 735 = 190$
Итоговое выражение:
$190 - p$
Ответ: $190 - p$

265. Как изменится разность, если:

1) уменьшаемое увеличить на 8;

2) вычитаемое увеличить на 5?

Выдвиньте предположение (гипотезу): как изменится разность, если уменьшаемое увеличить на число $x$? Вычитаемое увеличить на число $x$? Обоснуйте свою гипотезу, используя правило вычитания числа из суммы двух слагаемых и правило вычитания из числа суммы двух слагаемых

1) уменьшаемое увеличить на 8;
Пусть первоначальная разность равна $a - b$, где $a$ – уменьшаемое, а $b$ – вычитаемое. Если уменьшаемое увеличить на 8, то новое уменьшаемое будет $a + 8$. Новая разность станет $(a + 8) - b$. Используя свойства вычитания, получаем: $(a + 8) - b = a + 8 - b = (a - b) + 8$. Это означает, что первоначальная разность $(a - b)$ увеличится на 8.
Ответ: разность увеличится на 8.

2) вычитаемое увеличить на 5?
Пусть первоначальная разность равна $a - b$. Если вычитаемое увеличить на 5, то новое вычитаемое будет $b + 5$. Новая разность станет $a - (b + 5)$. Раскрывая скобки, получаем: $a - (b + 5) = a - b - 5 = (a - b) - 5$. Это означает, что первоначальная разность $(a - b)$ уменьшится на 5.
Ответ: разность уменьшится на 5.

Предположение (гипотеза) и обоснование:

Гипотеза 1: Если уменьшаемое увеличить на число $x$, то разность тоже увеличится на $x$.
Обоснование: Пусть начальная разность равна $a - b$. Новая разность будет $(a + x) - b$. Применим правило вычитания числа из суммы двух слагаемых ($(m + n) - k = (m - k) + n$). Получаем: $(a + x) - b = (a - b) + x$. Таким образом, первоначальная разность $(a - b)$ увеличилась на $x$.
Ответ: разность увеличится на $x$.

Гипотеза 2: Если вычитаемое увеличить на число $x$, то разность уменьшится на $x$.
Обоснование: Пусть начальная разность равна $a - b$. Новая разность будет $a - (b + x)$. Применим правило вычитания из числа суммы двух слагаемых ($k - (m + n) = (k - m) - n$). Получаем: $a - (b + x) = (a - b) - x$. Таким образом, первоначальная разность $(a - b)$ уменьшилась на $x$.
Ответ: разность уменьшится на $x$.

266. В двузначном числе 6 десятков. Между цифрами этого числа вписали цифру 0. На сколько полученное трёхзначное число больше, чем данное двузначное?

Пусть исходное двузначное число состоит из 6 десятков и $x$ единиц. Тогда это число можно записать в виде $60 + x$. Его цифры — 6 и $x$.

По условию, между цифрами этого числа вписали цифру 0. Новое трёхзначное число будет состоять из 6 сотен, 0 десятков и $x$ единиц. Его цифры — 6, 0 и $x$.

Значение нового числа равно $100 \cdot 6 + 10 \cdot 0 + x = 600 + x$.

Чтобы узнать, на сколько полученное трёхзначное число больше, чем данное двузначное, найдём их разность:

$(600 + x) - (60 + x) = 600 + x - 60 - x = 540$.

Таким образом, новое число больше исходного на 540.

Ответ: 540

267. В записи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставьте между некоторыми цифра-ми знак «+» или «-» так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.

Задача состоит в том, чтобы, используя последовательность цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9, составить математическое выражение, значение которого равно 100. Для этого между некоторыми цифрами можно поставить знаки «+» или «−». Цифры, между которыми знак не ставится, образуют многозначные числа.

Эта задача имеет несколько решений. Рассмотрим одно из них и проверим его правильность.

Один из возможных вариантов расстановки знаков и объединения цифр выглядит так: $$1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9$$

Чтобы убедиться, что значение этого выражения равно 100, выполним вычисления по порядку, слева направо:
1. Сначала выполним сложение: $1 + 23 = 24$.
2. Затем из полученного результата вычтем 4: $24 - 4 = 20$.
3. К результату прибавим 56: $20 + 56 = 76$.
4. Продолжим сложение, прибавляя 7: $76 + 7 = 83$.
5. Далее прибавим 8: $83 + 8 = 91$.
6. На последнем шаге прибавим 9: $91 + 9 = 100$.
Таким образом, данное выражение действительно равно 100.

Существуют и другие варианты решения этой задачи, например:
$123 - 45 - 67 + 89 = 100$
$12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100$

Ответ: $1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 100$.