Страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

252. Поезд отправляется от станции A в 7 ч 37 мин и в тот же день прибывает на станцию B в 9 ч 12 мин. Сколько времени поезд идёт от станции A до станции B?

Чтобы определить, сколько времени поезд находится в пути, необходимо найти разность между временем прибытия и временем отправления.

Время отправления поезда со станции А: 7 ч 37 мин.

Время прибытия поезда на станцию В: 9 ч 12 мин.

Для вычисления времени в пути, вычтем из времени прибытия время отправления:

$9$ ч $12$ мин - $7$ ч $37$ мин

Поскольку количество минут во времени прибытия ($12$) меньше, чем во времени отправления ($37$), необходимо преобразовать время прибытия. "Займем" 1 час из 9 часов и переведем его в минуты. В 1 часе 60 минут.

$9$ ч $12$ мин = ($8$ ч + $1$ ч) $12$ мин = $8$ ч + ($60$ мин + $12$ мин) = $8$ ч $72$ мин.

Теперь произведем вычитание:

$8$ ч $72$ мин - $7$ ч $37$ мин

Отдельно вычитаем часы и минуты:

Часы: $8$ ч - $7$ ч = $1$ ч.

Минуты: $72$ мин - $37$ мин = $35$ мин.

Таким образом, поезд находится в пути 1 час 35 минут.

Ответ: 1 ч 35 мин.

253. Поезд отправляется от станции А и в тот же день прибывает на станцию B в 15 ч 20 мин. В котором часу поезд отправляется от станции А, если путь от А до В занимает 6 ч 48 мин?

Чтобы найти время отправления поезда от станции А, нужно от времени его прибытия на станцию В отнять время, которое он был в пути.

Время прибытия: 15 ч 20 мин.
Время в пути: 6 ч 48 мин.

Найдем время отправления:
$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 48 \text{ мин }$

Поскольку из 20 минут нельзя вычесть 48 минут, мы займем 1 час (который равен 60 минутам) из 15 часов и добавим его к минутам.

$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 14 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 20 \text{ мин } = 14 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 20 \text{ мин } = 14 \text{ ч } 80 \text{ мин }$

Теперь выполним вычитание:
$14 \text{ ч } 80 \text{ мин } - 6 \text{ ч } 48 \text{ мин } = (14 - 6) \text{ ч } (80 - 48) \text{ мин } = 8 \text{ ч } 32 \text{ мин }$

Следовательно, поезд отправляется от станции А в 8 часов 32 минуты.
Ответ: 8 ч 32 мин.

254. Найдите разность:

1) $76 \text{ м } 39 \text{ см} - 41 \text{ м } 24 \text{ см};$

2) $64 \text{ м } 45 \text{ см} - 27 \text{ м } 86 \text{ см};$

3) $22 \text{ км } 527 \text{ м} - 17 \text{ км } 783 \text{ м};$

4) $12 \text{ ч } 24 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 18 \text{ мин};$

5) $35 \text{ мин } 17 \text{ с} - 15 \text{ мин } 35 \text{ с};$

6) $53 \text{ ч } 32 \text{ мин} - 44 \text{ ч } 56 \text{ мин}.$

1) Для вычисления разности $76\ м\ 39\ см - 41\ м\ 24\ см$ вычитаем метры из метров, а сантиметры из сантиметров.
$76\ м - 41\ м = 35\ м$
$39\ см - 24\ см = 15\ см$
Объединяем результаты и получаем $35\ м\ 15\ см$.
Ответ: 35 м 15 см.

2) В выражении $64\ м\ 45\ см - 27\ м\ 86\ см$ количество сантиметров в уменьшаемом ($45$) меньше, чем в вычитаемом ($86$). Поэтому необходимо "занять" единицу у старшего разряда. Занимаем 1 метр ($100$ см) у $64$ метров.
$64\ м\ 45\ см = 63\ м\ (100+45)\ см = 63\ м\ 145\ см$.
Теперь выполняем вычитание:
$63\ м - 27\ м = 36\ м$
$145\ см - 86\ см = 59\ см$
Результат: $36\ м\ 59\ см$.
Ответ: 36 м 59 см.

3) В выражении $22\ км\ 527\ м - 17\ км\ 783\ м$ количество метров в уменьшаемом ($527$) меньше, чем в вычитаемом ($783$). Занимаем 1 километр ($1000$ м) у $22$ километров.
$22\ км\ 527\ м = 21\ км\ (1000+527)\ м = 21\ км\ 1527\ м$.
Выполняем вычитание:
$21\ км - 17\ км = 4\ км$
$1527\ м - 783\ м = 744\ м$
Результат: $4\ км\ 744\ м$.
Ответ: 4 км 744 м.

4) Для вычисления разности $12\ ч\ 24\ мин - 9\ ч\ 18\ мин$ вычитаем часы из часов, а минуты из минут.
$12\ ч - 9\ ч = 3\ ч$
$24\ мин - 18\ мин = 6\ мин$
Объединяем результаты и получаем $3\ ч\ 6\ мин$.
Ответ: 3 ч 6 мин.

5) В выражении $35\ мин\ 17\ с - 15\ мин\ 35\ с$ количество секунд в уменьшаемом ($17$) меньше, чем в вычитаемом ($35$). Занимаем 1 минуту ($60$ секунд) у $35$ минут.
$35\ мин\ 17\ с = 34\ мин\ (60+17)\ с = 34\ мин\ 77\ с$.
Выполняем вычитание:
$34\ мин - 15\ мин = 19\ мин$
$77\ с - 35\ с = 42\ с$
Результат: $19\ мин\ 42\ с$.
Ответ: 19 мин 42 с.

6) В выражении $53\ ч\ 32\ мин - 44\ ч\ 56\ мин$ количество минут в уменьшаемом ($32$) меньше, чем в вычитаемом ($56$). Занимаем 1 час ($60$ минут) у $53$ часов.
$53\ ч\ 32\ мин = 52\ ч\ (60+32)\ мин = 52\ ч\ 92\ мин$.
Выполняем вычитание:
$52\ ч - 44\ ч = 8\ ч$
$92\ мин - 56\ мин = 36\ мин$
Результат: $8\ ч\ 36\ мин$.
Ответ: 8 ч 36 мин.

255. Найдите разность:

1). $3 \text{ дм } 2 \text{ см } - 2 \text{ дм } 6 \text{ см};$

2). $3 \text{ кг } 26 \text{ г } - 1 \text{ кг } 920 \text{ г};$

3). $4 \text{ км } 8 \text{ м } - 1 \text{ км } 19 \text{ м};$

4). $16 \text{ ч } 26 \text{ мин } - 9 \text{ ч } 52 \text{ мин};$

5). $10 \text{ мин } 4 \text{ с } - 5 \text{ мин } 40 \text{ с};$

6). $2 \text{ ч } 36 \text{ мин } 16 \text{ с } - 5 \text{ мин } 35 \text{ с}.$

1) 3 дм 2 см – 2 дм 6 см
Для вычисления разности преобразуем величины так, чтобы вычитание стало возможным. Так как из 2 см нельзя вычесть 6 см, мы "займем" 1 дм у 3 дм. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$).
$3 \text{ дм } 2 \text{ см} = (2 + 1) \text{ дм } 2 \text{ см} = 2 \text{ дм } (10 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \text{ дм } 12 \text{ см}$
Теперь выполним вычитание:
$(2 \text{ дм } 12 \text{ см}) - (2 \text{ дм } 6 \text{ см}) = (2-2) \text{ дм } + (12-6) \text{ см} = 0 \text{ дм } + 6 \text{ см} = 6 \text{ см}$
Ответ: 6 см

2) 3 кг 26 г – 1 кг 920 г
Чтобы найти разность, воспользуемся тем же методом. Из 26 г нельзя вычесть 920 г. Займем 1 кг у 3 кг. В одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$3 \text{ кг } 26 \text{ г} = 2 \text{ кг } (1000 \text{ г} + 26 \text{ г}) = 2 \text{ кг } 1026 \text{ г}$
Теперь найдем разность:
$(2 \text{ кг } 1026 \text{ г}) - (1 \text{ кг } 920 \text{ г}) = (2-1) \text{ кг } + (1026-920) \text{ г} = 1 \text{ кг } 106 \text{ г}$
Ответ: 1 кг 106 г

3) 4 км 8 м – 1 км 19 м
Поскольку из 8 м нельзя вычесть 19 м, займем 1 км у 4 км. В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
$4 \text{ км } 8 \text{ м} = 3 \text{ км } (1000 \text{ м} + 8 \text{ м}) = 3 \text{ км } 1008 \text{ м}$
Выполним вычитание:
$(3 \text{ км } 1008 \text{ м}) - (1 \text{ км } 19 \text{ м}) = (3-1) \text{ км } + (1008-19) \text{ м} = 2 \text{ км } 989 \text{ м}$
Ответ: 2 км 989 м

4) 16 ч 26 мин – 9 ч 52 мин
Для вычитания времени действуем аналогично. Из 26 минут нельзя вычесть 52 минуты. Займем 1 час у 16 часов. В одном часе 60 минут ($1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$).
$16 \text{ ч } 26 \text{ мин} = 15 \text{ ч } (60 \text{ мин} + 26 \text{ мин}) = 15 \text{ ч } 86 \text{ мин}$
Теперь можно вычитать:
$(15 \text{ ч } 86 \text{ мин}) - (9 \text{ ч } 52 \text{ мин}) = (15-9) \text{ ч } + (86-52) \text{ мин} = 6 \text{ ч } 34 \text{ мин}$
Ответ: 6 ч 34 мин

5) 10 мин 4 с – 5 мин 40 с
Из 4 секунд нельзя вычесть 40 секунд. Займем 1 минуту у 10 минут. В одной минуте 60 секунд ($1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$).
$10 \text{ мин } 4 \text{ с} = 9 \text{ мин } (60 \text{ с} + 4 \text{ с}) = 9 \text{ мин } 64 \text{ с}$
Произведем вычитание:
$(9 \text{ мин } 64 \text{ с}) - (5 \text{ мин } 40 \text{ с}) = (9-5) \text{ мин } + (64-40) \text{ с} = 4 \text{ мин } 24 \text{ с}$
Ответ: 4 мин 24 с

6) 2 ч 36 мин 16 с – 5 мин 35 с
Начнем вычитание с секунд. Из 16 с нельзя вычесть 35 с. Займем 1 минуту у 36 минут. 1 минута равна 60 секундам.
$2 \text{ ч } 36 \text{ мин } 16 \text{ с} = 2 \text{ ч } 35 \text{ мин } (60 \text{ с} + 16 \text{ с}) = 2 \text{ ч } 35 \text{ мин } 76 \text{ с}$
Теперь можно выполнить вычитание:
$2 \text{ ч } 35 \text{ мин } 76 \text{ с}$
$-\quad 0 \text{ ч } 5 \text{ мин } 35 \text{ с}$
Вычитаем секунды: $76 \text{ с} - 35 \text{ с} = 41 \text{ с}$
Вычитаем минуты: $35 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$
Вычитаем часы: $2 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$
Получаем результат: 2 ч 30 мин 41 с
Ответ: 2 ч 30 мин 41 с

256. Заполните имеющиеся пропуски в таблице, в которой приведены данные о выступлениях российских школьников на международных математических олимпиадах в 2016–2021 гг.

Место проведения: Гонконг, Год: 2016, Количество медалей - Золотые: 4, Серебряные: 1, Бронзовые: 1, Итого:

Место проведения: Бразилия, Год: 2017, Количество медалей - Золотые: 1, Серебряные: 3, Бронзовые: , Итого: 6

Место проведения: Румыния, Год: 2018, Количество медалей - Золотые: , Серебряные: 1, Бронзовые: 0, Итого: 6

Место проведения: Великобритания, Год: 2019, Количество медалей - Золотые: , Серебряные: 4, Бронзовые: 0, Итого: 6

Место проведения: Россия, Год: 2020, Количество медалей - Золотые: 2, Серебряные: , Бронзовые: , Итого: 6

Место проведения: Россия, Год: 2021, Количество медалей - Золотые: 5, Серебряные: , Бронзовые: 0, Итого: 6

Место проведения: Всего медалей, Год: , Количество медалей - Золотые: , Серебряные: 14, Бронзовые: , Итого:

Для заполнения пропусков в таблице будем исходить из того, что итоговое количество медалей за год (столбец "Итого") является суммой золотых, серебряных и бронзовых медалей. Аналогично, итоговые значения в строке "Всего медалей" являются суммами значений в соответствующих столбцах.

Заполнение пропуска в строке "Гонконг, 2016"

Чтобы найти общее количество медалей за 2016 год, сложим количество золотых, серебряных и бронзовых медалей.
$4 + 1 + 1 = 6$
Ответ: 6 (в столбце "Итого")

Заполнение пропуска в строке "Бразилия, 2017"

Здесь известно общее количество медалей (6), а также количество золотых (1) и серебряных (3). Чтобы найти количество бронзовых медалей, вычтем из общего числа сумму золотых и серебряных.
$6 - (1 + 3) = 6 - 4 = 2$
Ответ: 2 (в столбце "Бронзовые")

Заполнение пропуска в строке "Румыния, 2018"

Находим количество золотых медалей, вычитая из общего числа сумму серебряных и бронзовых медалей.
$6 - (1 + 0) = 5$
Ответ: 5 (в столбце "Золотые")

Заполнение пропуска в строке "Великобритания, 2019"

Аналогично, находим количество золотых медалей для 2019 года.
$6 - (4 + 0) = 2$
Ответ: 2 (в столбце "Золотые")

Заполнение пропуска в строке "Россия, 2021"

Находим количество серебряных медалей, вычитая из общего числа сумму золотых и бронзовых медалей.
$6 - (5 + 0) = 1$
Ответ: 1 (в столбце "Серебряные")

Заполнение пропусков в строке "Россия, 2020"

В этой строке два пропуска. Сначала найдем количество серебряных медалей. Мы знаем, что всего серебряных медалей за все годы — 14. Вычтем из этого числа сумму уже известных серебряных медалей.
$14 - (1_{2016} + 3_{2017} + 1_{2018} + 4_{2019} + 1_{2021}) = 14 - 10 = 4$
Теперь мы знаем, что в 2020 году было 2 золотые и 4 серебряные медали. Найдем количество бронзовых медалей.
$6 - (2 + 4) = 0$
Ответ: 4 (в столбце "Серебряные") и 0 (в столбце "Бронзовые")

Заполнение пропусков в строке "Всего медалей"

Осталось заполнить итоговую строку, посчитав суммы по столбцам.
Всего золотых медалей:
$4 + 1 + 5 + 2 + 2 + 5 = 19$
Всего бронзовых медалей:
$1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3$
Итоговое количество всех медалей (проверка):
$19 (\text{золотые}) + 14 (\text{серебряные}) + 3 (\text{бронзовые}) = 36$
Также можно сложить столбец "Итого": $6 \times 6 = 36$.
Ответ: 19 (в столбце "Золотые"), 3 (в столбце "Бронзовые"), 36 (в столбце "Итого")

Итоговая заполненная таблица:

257. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы вычитание было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r} \text{_*****}\\ -\text{_*****}\\ \hline \text{1} \end{array}$

2) $\begin{array}{r} \text{_65**}\\ -\text{*172}\\ \hline \text{7*69} \end{array}$

3) $\begin{array}{r} \text{_72**}\\ -\text{*359}\\ \hline \text{2*19} \end{array}$

4) $\begin{array}{r} \text{_*94*76}\\ -\text{1*78*9}\\ \hline \text{13*80*} \end{array}$

5) $\begin{array}{r} \text{_*00*00}\\ -\text{*27**}\\ \hline \text{5*143} \end{array}$

6) $\begin{array}{r} \text{_5*5*5*5}\\ -\text{48484*}\\ \hline \text{*8*8*87} \end{array}$

1)

В данном примере из четырехзначного числа вычитают трехзначное и получают в результате 1. Это возможно только в одном случае: если из наименьшего четырехзначного числа (1000) вычесть наибольшее трехзначное число (999).

Проверка: $1000 - 999 = 1$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 1000 \\ & - & 999 \\\hline & & 1 \\\end{array}$$

2)

Обозначим пример в виде `_ A65BC - D172 = 77E69`. Решим задачу, двигаясь справа налево по разрядам.

1. Разряд единиц: $C - 2 = 9$. Это возможно только при заёме из разряда десятков. $10 + C - 2 = 9$, откуда $C + 8 = 9$, следовательно, $C = 1$.

2. Разряд десятков: $(B - 1) - 7 = 6$. Снова нужен заём из разряда сотен. $(10 + B - 1) - 7 = 6$, откуда $B + 2 = 6$, следовательно, $B = 4$.

3. Разряд сотен: $(5 - 1) - 1 = E$. Мы заняли единицу у 5 для десятков, и в вычитаемом стоит 1. $4 - 1 = 3$, следовательно, $E = 3$.

4. Разряд тысяч: $6 - D = 7$. Нужен заём из старшего разряда. $16 - D = 7$, следовательно, $D = 9$.

5. Разряд десятков тысяч: $(A - 1) - 0 = 7$. Мы заняли единицу у A. Отсюда $A = 8$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 86541 \\ & - & 9172 \\\hline & & 77369 \\\end{array}$$

3)

Обозначим пример в виде `_ 72AB - C359 = 2D19`. Удобнее решать задачу, выполнив сложение разности и вычитаемого, чтобы получить уменьшаемое.

$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & & 2D19 \\ & + & C359 \\\hline & & 72AB \\\end{array}$$

1. Разряд единиц: $9 + 9 = 18$. Значит, $B = 8$, и 1 переносится в разряд десятков.

2. Разряд десятков: $1 + 5 + 1 = 7$. Значит, $A = 7$. Переноса нет.

3. Разряд сотен: $D + 3$ должно оканчиваться на 2. Это означает $D + 3 = 12$. Значит, $D = 9$, и 1 переносится в разряд тысяч.

4. Разряд тысяч: $1 + 2 + C = 7$. Отсюда $3 + C = 7$, следовательно, $C = 4$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 7278 \\ & - & 4359 \\\hline & & 2919 \\\end{array}$$

4)

Обозначим пример в виде `_ A94B76 - 1C78D9 = 13E80F`. Решим задачу, двигаясь справа налево.

1. Разряд единиц: $6 - 9 = F$. Нужен заём. $16 - 9 = 7$, следовательно, $F = 7$.

2. Разряд десятков: $(7 - 1) - D = 0$. $6 - D = 0$, следовательно, $D = 6$.

3. Разряд сотен: $B - 8 = 8$. Нужен заём. $10 + B - 8 = 8$, откуда $B + 2 = 8$, следовательно, $B = 6$.

4. Разряд тысяч: $(4 - 1) - 7 = E$. $3 - 7 = E$. Нужен заём. $13 - 7 = 6$, следовательно, $E = 6$.

5. Разряд десятков тысяч: $(9 - 1) - C = 3$. $8 - C = 3$, следовательно, $C = 5$.

6. Разряд сотен тысяч: $A - 1 = 1$. Следовательно, $A = 2$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 294676 \\ & - & 157869 \\\hline & & 136807 \\\end{array}$$

5)

Разность является пятизначным числом, значит, уменьшаемое - шестизначное, а вычитаемое - пятизначное. Запишем это в виде `_ A00B00 - C27DE = 5F143`. Решим через сложение.

$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & & 5F143 \\ & + & C27DE \\\hline & & A00B00 \\\end{array}$$

1. Разряд единиц: $3 + E$ оканчивается на 0. $3 + E = 10$, следовательно, $E = 7$. Переносим 1.

2. Разряд десятков: $1 + 4 + D$ оканчивается на 0. $5 + D = 10$, следовательно, $D = 5$. Переносим 1.

3. Разряд сотен: $1 + 1 + 7 = B$. Следовательно, $B = 9$. Переноса нет.

4. Разряд тысяч: $F + 2$ оканчивается на 0. $F + 2 = 10$, следовательно, $F = 8$. Переносим 1.

5. Разряд десятков тысяч: $1 + 5 + C$ оканчивается на 0. $6 + C = 10$, следовательно, $C = 4$. Переносим 1.

6. Разряд сотен тысяч: $A$ равно перенесенной 1, следовательно, $A = 1$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 100900 \\ & - & 42757 \\\hline & & 58143 \\\end{array}$$

6)

Данная задача в том виде, как она представлена в условии, не имеет решения. Возникает логическое противоречие в старшем разряде.

Рассмотрим вычитание в столбце десятков тысяч: `* - 8 = 8`. Обозначим неизвестную цифру в уменьшаемом как $A$. Получаем $A - 8 = 8$. Это возможно только при заёме из старшего разряда (сотен тысяч). В этом случае, $10 + A - 8 = 8$, откуда $A = 6$.

Теперь рассмотрим вычитание в столбце сотен тысяч: `5 - 4 = *`. Обозначим неизвестную цифру в разности как $E$. Так как мы были вынуждены занять единицу из этого разряда, вычитание принимает вид $(5 - 1) - 4 = E$, что дает $0 = E$.

Это означает, что первая цифра в ответе должна быть 0. Однако в условии ответ представлен как шестизначное число `*8*8*7`, где первая звёздочка подразумевает цифру, отличную от нуля (поскольку числа не записывают с ведущими нулями). Это и есть противоречие.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в первой цифре уменьшаемого. Если заменить 5 на 6, задача получает решение.

Решение для исправленного условия (6*5*5*...):

Обозначим пример в виде `_ 6A5B5C - 48484D = E8F8G7`. Решая справа налево, последовательно находим:

1. Сотни тысяч: Так как для вычитания из $A$ (в разряде десятков тысяч) нужно занять, то $(6-1)-4=E$, откуда $E=1$.

2. Десятки тысяч: $(10+A)-8=8$, откуда $A=6$.

3. Тысячи: Так как для вычитания из $B$ (в разряде сотен) нужно занять, то $(5-1)-4=F$, откуда $F=0$.

4. Сотни: $(10+B)-8=8$, откуда $B=6$.

5. Десятки: Так как для вычитания из $C$ (в разряде единиц) нужно занять, то $(5-1)-4=G$, откуда $G=0$.

6. Единицы: $(10+C)-D=7$. Это уравнение имеет несколько решений, например $C=0, D=3$ или $C=1, D=4$. Выберем $C=2, D=5$.

Ответ: При условии, что первая цифра уменьшаемого равна 6, а не 5, одно из возможных решений:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 665652 \\ & - & 484845 \\\hline & & 180807 \\\end{array}$$