Номер 257, страница 68 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 9. Вычитание натуральных чисел. Упражнения - номер 257, страница 68.

Условие.

257. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы вычитание было выполнено верно:

1) $\begin{array}{r} \text{_*****}\\ -\text{_*****}\\ \hline \text{1} \end{array}$

2) $\begin{array}{r} \text{_65**}\\ -\text{*172}\\ \hline \text{7*69} \end{array}$

3) $\begin{array}{r} \text{_72**}\\ -\text{*359}\\ \hline \text{2*19} \end{array}$

4) $\begin{array}{r} \text{_*94*76}\\ -\text{1*78*9}\\ \hline \text{13*80*} \end{array}$

5) $\begin{array}{r} \text{_*00*00}\\ -\text{*27**}\\ \hline \text{5*143} \end{array}$

6) $\begin{array}{r} \text{_5*5*5*5}\\ -\text{48484*}\\ \hline \text{*8*8*87} \end{array}$

Решение.

Решение 2.

1)

В данном примере из четырехзначного числа вычитают трехзначное и получают в результате 1. Это возможно только в одном случае: если из наименьшего четырехзначного числа (1000) вычесть наибольшее трехзначное число (999).

Проверка: $1000 - 999 = 1$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 1000 \\ & - & 999 \\\hline & & 1 \\\end{array}$$

2)

Обозначим пример в виде `_ A65BC - D172 = 77E69`. Решим задачу, двигаясь справа налево по разрядам.

1. Разряд единиц: $C - 2 = 9$. Это возможно только при заёме из разряда десятков. $10 + C - 2 = 9$, откуда $C + 8 = 9$, следовательно, $C = 1$.

2. Разряд десятков: $(B - 1) - 7 = 6$. Снова нужен заём из разряда сотен. $(10 + B - 1) - 7 = 6$, откуда $B + 2 = 6$, следовательно, $B = 4$.

3. Разряд сотен: $(5 - 1) - 1 = E$. Мы заняли единицу у 5 для десятков, и в вычитаемом стоит 1. $4 - 1 = 3$, следовательно, $E = 3$.

4. Разряд тысяч: $6 - D = 7$. Нужен заём из старшего разряда. $16 - D = 7$, следовательно, $D = 9$.

5. Разряд десятков тысяч: $(A - 1) - 0 = 7$. Мы заняли единицу у A. Отсюда $A = 8$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 86541 \\ & - & 9172 \\\hline & & 77369 \\\end{array}$$

3)

Обозначим пример в виде `_ 72AB - C359 = 2D19`. Удобнее решать задачу, выполнив сложение разности и вычитаемого, чтобы получить уменьшаемое.

$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & & 2D19 \\ & + & C359 \\\hline & & 72AB \\\end{array}$$

1. Разряд единиц: $9 + 9 = 18$. Значит, $B = 8$, и 1 переносится в разряд десятков.

2. Разряд десятков: $1 + 5 + 1 = 7$. Значит, $A = 7$. Переноса нет.

3. Разряд сотен: $D + 3$ должно оканчиваться на 2. Это означает $D + 3 = 12$. Значит, $D = 9$, и 1 переносится в разряд тысяч.

4. Разряд тысяч: $1 + 2 + C = 7$. Отсюда $3 + C = 7$, следовательно, $C = 4$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 7278 \\ & - & 4359 \\\hline & & 2919 \\\end{array}$$

4)

Обозначим пример в виде `_ A94B76 - 1C78D9 = 13E80F`. Решим задачу, двигаясь справа налево.

1. Разряд единиц: $6 - 9 = F$. Нужен заём. $16 - 9 = 7$, следовательно, $F = 7$.

2. Разряд десятков: $(7 - 1) - D = 0$. $6 - D = 0$, следовательно, $D = 6$.

3. Разряд сотен: $B - 8 = 8$. Нужен заём. $10 + B - 8 = 8$, откуда $B + 2 = 8$, следовательно, $B = 6$.

4. Разряд тысяч: $(4 - 1) - 7 = E$. $3 - 7 = E$. Нужен заём. $13 - 7 = 6$, следовательно, $E = 6$.

5. Разряд десятков тысяч: $(9 - 1) - C = 3$. $8 - C = 3$, следовательно, $C = 5$.

6. Разряд сотен тысяч: $A - 1 = 1$. Следовательно, $A = 2$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 294676 \\ & - & 157869 \\\hline & & 136807 \\\end{array}$$

5)

Разность является пятизначным числом, значит, уменьшаемое - шестизначное, а вычитаемое - пятизначное. Запишем это в виде `_ A00B00 - C27DE = 5F143`. Решим через сложение.

$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & & 5F143 \\ & + & C27DE \\\hline & & A00B00 \\\end{array}$$

1. Разряд единиц: $3 + E$ оканчивается на 0. $3 + E = 10$, следовательно, $E = 7$. Переносим 1.

2. Разряд десятков: $1 + 4 + D$ оканчивается на 0. $5 + D = 10$, следовательно, $D = 5$. Переносим 1.

3. Разряд сотен: $1 + 1 + 7 = B$. Следовательно, $B = 9$. Переноса нет.

4. Разряд тысяч: $F + 2$ оканчивается на 0. $F + 2 = 10$, следовательно, $F = 8$. Переносим 1.

5. Разряд десятков тысяч: $1 + 5 + C$ оканчивается на 0. $6 + C = 10$, следовательно, $C = 4$. Переносим 1.

6. Разряд сотен тысяч: $A$ равно перенесенной 1, следовательно, $A = 1$.

Ответ:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 100900 \\ & - & 42757 \\\hline & & 58143 \\\end{array}$$

6)

Данная задача в том виде, как она представлена в условии, не имеет решения. Возникает логическое противоречие в старшем разряде.

Рассмотрим вычитание в столбце десятков тысяч: `* - 8 = 8`. Обозначим неизвестную цифру в уменьшаемом как $A$. Получаем $A - 8 = 8$. Это возможно только при заёме из старшего разряда (сотен тысяч). В этом случае, $10 + A - 8 = 8$, откуда $A = 6$.

Теперь рассмотрим вычитание в столбце сотен тысяч: `5 - 4 = *`. Обозначим неизвестную цифру в разности как $E$. Так как мы были вынуждены занять единицу из этого разряда, вычитание принимает вид $(5 - 1) - 4 = E$, что дает $0 = E$.

Это означает, что первая цифра в ответе должна быть 0. Однако в условии ответ представлен как шестизначное число `*8*8*7`, где первая звёздочка подразумевает цифру, отличную от нуля (поскольку числа не записывают с ведущими нулями). Это и есть противоречие.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в первой цифре уменьшаемого. Если заменить 5 на 6, задача получает решение.

Решение для исправленного условия (6*5*5*...):

Обозначим пример в виде `_ 6A5B5C - 48484D = E8F8G7`. Решая справа налево, последовательно находим:

1. Сотни тысяч: Так как для вычитания из $A$ (в разряде десятков тысяч) нужно занять, то $(6-1)-4=E$, откуда $E=1$.

2. Десятки тысяч: $(10+A)-8=8$, откуда $A=6$.

3. Тысячи: Так как для вычитания из $B$ (в разряде сотен) нужно занять, то $(5-1)-4=F$, откуда $F=0$.

4. Сотни: $(10+B)-8=8$, откуда $B=6$.

5. Десятки: Так как для вычитания из $C$ (в разряде единиц) нужно занять, то $(5-1)-4=G$, откуда $G=0$.

6. Единицы: $(10+C)-D=7$. Это уравнение имеет несколько решений, например $C=0, D=3$ или $C=1, D=4$. Выберем $C=2, D=5$.

Ответ: При условии, что первая цифра уменьшаемого равна 6, а не 5, одно из возможных решений:$$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}r} & _{} & 665652 \\ & - & 484845 \\\hline & & 180807 \\\end{array}$$