Номер 297, страница 75 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 10. Числовые и буквенные выражения. Формулы. Упражнения - номер 297, страница 75.

Условие.

297. Решая задачи 219 (1) и 219 (2), вы нашли значения числовых выражений $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ и $1 + 2 + 3 + \dots + 100$. Заметим, что к тем же результатам можно прийти, найдя значения выражений $(11 \cdot 10) : 2$ и $(101 \cdot 100) : 2$ соответственно. Выскажите гипотезу, по какой формуле можно найти значение $S$ выражения $1 + 2 + 3 + \dots + n$, где $n$ — любое натуральное число, большее 1. Проверьте свою гипотезу для:

1) $n = 15$;

2) $n = 20$;

3) $n = 30$.

Решение.

Решение 2.

В задаче даны примеры для нахождения суммы натуральных чисел от 1 до $n$:
Для суммы $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ (здесь $n=10$), результат можно найти как $(11 \cdot 10) : 2$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{(10+1) \cdot 10}{2}$.
Для суммы $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ (здесь $n=100$), результат можно найти как $(101 \cdot 100) : 2$. Это можно записать в виде формулы: $\frac{(100+1) \cdot 100}{2}$.
На основе этих примеров можно выдвинуть гипотезу, что для нахождения суммы $S$ первых $n$ натуральных чисел ($S = 1 + 2 + 3 + \dots + n$) можно использовать общую формулу:
$S = \frac{(n+1) \cdot n}{2}$ или $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
Эта формула известна как формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Теперь проверим эту гипотезу для заданных значений $n$.

1) n = 15
Подставляем значение $n=15$ в нашу формулу:
$S = \frac{15 \cdot (15+1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2} = \frac{240}{2} = 120$.
Ответ: 120.

2) n = 20
Подставляем значение $n=20$ в нашу формулу:
$S = \frac{20 \cdot (20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$.
Ответ: 210.

3) n = 30
Подставляем значение $n=30$ в нашу формулу:
$S = \frac{30 \cdot (30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 15 \cdot 31 = 465$.
Ответ: 465.