Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Корнем каких из следующих уравнений является число 5:

1) $2x - 3 = 7;$

2) $x + 20 = 20 + x;$

3) $x \cdot x \cdot x + 25 = 150;$

4) $x + 12 = 22 - x?$

Чтобы проверить, является ли число 5 корнем уравнения, нужно подставить это число вместо переменной $x$ в каждое из уравнений. Если в результате получается верное числовое равенство, то число 5 является корнем уравнения.

1) $2x - 3 = 7$

Подставляем $x = 5$ в уравнение:

$2 \cdot 5 - 3 = 7$

$10 - 3 = 7$

$7 = 7$

Равенство верное, следовательно, число 5 является корнем этого уравнения.

Ответ: является.

2) $x + 20 = 20 + x$

Подставляем $x = 5$ в уравнение:

$5 + 20 = 20 + 5$

$25 = 25$

Равенство верное. Данное уравнение является тождеством, то есть оно верно при любом значении $x$. Следовательно, число 5 также является его корнем.

Ответ: является.

3) $x \cdot x \cdot x + 25 = 150$

Уравнение можно записать в виде $x^3 + 25 = 150$. Подставляем $x = 5$:

$5^3 + 25 = 150$

$125 + 25 = 150$

$150 = 150$

Равенство верное, следовательно, число 5 является корнем этого уравнения.

Ответ: является.

4) $x + 12 = 22 - x$

Подставляем $x = 5$ в обе части уравнения:

Левая часть: $5 + 12 = 17$

Правая часть: $22 - 5 = 17$

$17 = 17$

Равенство верное, следовательно, число 5 является корнем этого уравнения.

Ответ: является.

4. У Пети и Миши было поровну конфет. Петя отдал Мише 8 конфет.

На сколько конфет у Миши стало больше, чем у Пети?

Чтобы решить эту задачу, введем переменную. Пусть $x$ — это количество конфет, которое было у каждого мальчика изначально.

По условию, у Пети и Миши было поровну конфет, то есть:

• Количество конфет у Пети = $x$
• Количество конфет у Миши = $x$

Затем Петя отдал Мише 8 конфет. После этого количество конфет у каждого изменилось:

• У Пети стало на 8 конфет меньше: $x - 8$.
• У Миши стало на 8 конфет больше: $x + 8$.

Чтобы узнать, на сколько конфет у Миши стало больше, чем у Пети, нужно найти разницу между их новым количеством конфет. Для этого вычтем из количества конфет Миши количество конфет Пети:

$(x + 8) - (x - 8)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри нее меняются на противоположные:

$x + 8 - x + 8 = (x - x) + (8 + 8) = 0 + 16 = 16$

Таким образом, разница в количестве конфет составила 16.

Другой способ рассуждения:

Когда Петя отдает 8 конфет, у него становится на 8 конфет меньше, чем было. У Миши же становится на 8 конфет больше, чем было. Разрыв между ними складывается из этих двух изменений. Общая разница будет равна $8 + 8 = 16$ конфет.

Ответ: у Миши стало на 16 конфет больше, чем у Пети.

5. Повозка, запряжённая парой коней, проехала 20 км. Сколько километров пробежал каждый конь?

Эта задача на логику, а не на арифметику. В условии сказано, что повозка была запряжена парой коней. Это означает, что два коня были в одной упряжке и тянули повозку вместе, двигаясь параллельно друг другу на протяжении всего пути.

Когда повозка движется, все её части, а также тянущие её животные, проходят одно и то же расстояние. Если повозка проехала 20 км, то и каждый конь, который был в неё запряжён, пробежал те же самые 20 км. Их усилия складываются, чтобы тянуть повозку, но расстояние, которое они преодолевают, остаётся одинаковым для каждого.

Таким образом, если общее пройденное расстояние составляет $S = 20$ км, то расстояние, которое пробежал первый конь, $S_1 = 20$ км, и расстояние, которое пробежал второй конь, $S_2 = 20$ км.
Ответ: 20 км.

316. Как можно обозначить угол, изображённый на рисунке 102? Укажите его вершину и стороны.

Рис. 102

Как можно обозначить угол, изображённый на рисунке 102?

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла). Существует несколько способов обозначения угла:

• Тремя заглавными буквами. В этом случае в середине названия указывается буква, обозначающая вершину угла, а по краям — буквы, обозначающие точки, лежащие на его сторонах. Для угла на рисунке это будут обозначения $\angle MKN$ или $\angle NKM$.
• Одной заглавной буквой. Этот способ используется, когда из данной вершины выходит только один угол, и такое обозначение не вызовет путаницы. Угол на рисунке можно обозначить по его вершине — $\angle K$.

Ответ: Угол можно обозначить как $\angle MKN$, $\angle NKM$ или $\angle K$.

Укажите его вершину и стороны.

Вершина угла — это общая начальная точка его сторон. На рисунке 102 лучи KM и KN выходят из точки K, следовательно, она и является вершиной.

Стороны угла — это лучи, выходящие из его вершины. Для данного угла сторонами являются лучи KM и KN.

Ответ: Вершина угла — точка K, стороны угла — лучи KM и KN.

317. На каком из рисунков 103, а, б, в луч $OK$ является биссектрисой угла $AOB$?

Рис. 103

Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит этот угол на два равных угла.

Проанализируем каждый рисунок:

а) На рисунке «а» луч $OK$ исходит из вершины $O$ угла $AOB$. Он проходит между сторонами $OA$ и $OB$. Визуально луч $OK$ делит угол $AOB$ на два равных угла: $\angle AOK = \angle KOB$. Следовательно, на этом рисунке луч $OK$ является биссектрисой угла $AOB$.

б) На рисунке «б» луч $OK$ исходит из вершины $O$, но не проходит между сторонами угла $AOB$. Таким образом, он не может быть биссектрисой этого угла.

в) На рисунке «в» луч $OK$ исходит из вершины $O$ и проходит между сторонами угла $AOB$. Однако, визуально видно, что угол $\angle AOK$ меньше, чем угол $\angle KOB$. Так как луч не делит угол на две равные части, он не является биссектрисой.

Таким образом, единственным рисунком, на котором луч $OK$ является биссектрисой угла $AOB$, является рисунок «а».

Ответ: а.

318. Назовите все углы, изображённые на рисунке 104.

Рис. 104

Углы, изображённые на рисунке:

$ \angle BAE $

$ \angle EAM $

$ \angle BAM $

На рисунке изображена точка А, которая является общей вершиной для всех углов. Из этой вершины исходят три луча: АВ, АЕ и АМ. Угол образуется двумя лучами, выходящими из одной точки. Чтобы найти все углы, нужно рассмотреть все возможные пары этих лучей.
1. Лучи АВ и АЕ образуют угол, который обозначается как $\angle BAE$ (или $\angle EAB$).
2. Лучи АЕ и АМ образуют угол, который обозначается как $\angle EAM$ (или $\angle MAE$).
3. Лучи АВ и АМ образуют самый большой угол, который обозначается как $\angle BAM$ (или $\angle MAB$). Этот угол состоит из двух меньших углов: $\angle BAM = \angle BAE + \angle EAM$.
Таким образом, на рисунке изображены три различных угла.
Ответ: $\angle BAE$, $\angle EAM$, $\angle BAM$.

319. Запишите все углы, изображённые на рисунке 105.

Рис. 105

Углы, изображённые на рисунке:

$ \angle OTC $

$ \angle CTF $

$ \angle OTF $

На рисунке 105 изображены три луча, которые выходят из общей вершины T: это лучи TO, TC и TF. Угол образуется парой лучей, выходящих из одной вершины. Чтобы найти все углы на рисунке, необходимо рассмотреть все возможные комбинации пар этих лучей.

1. Первый угол образован лучами TO и TC. Этот угол можно обозначить как $\angle OTC$ или $\angle CTO$.

2. Второй угол образован лучами TC и TF. Его обозначение — $\angle CTF$ или $\angle FTC$.

3. Третий угол, самый большой, образован лучами TO и TF. Он включает в себя два предыдущих угла ($\angle OTF = \angle OTC + \angle CTF$). Этот угол обозначается как $\angle OTF$ или $\angle FTO$.

Таким образом, на рисунке изображены три различных угла.

Ответ: $\angle OTC$, $\angle CTF$, $\angle OTF$.

320. Какие из лучей, изображённых на рисунке 106, пересекают сторону угла $BOC$?

Рис. 106

Угол $BOC$ имеет две стороны — это лучи $OB$ и $OC$, которые выходят из общей вершины $O$. Чтобы ответить на вопрос, нужно определить, какие из предложенных лучей ($AK$, $MN$, $ST$) имеют общую точку хотя бы с одной из сторон угла $BOC$.

Проанализируем каждый луч, изображенный на рисунке:

• Луч $AK$: Этот луч начинается в точке $A$ и проходит через точку $K$. Если мысленно продолжить его в направлении точки $K$, он не пересечет ни луч $OB$, ни луч $OC$. Он проходит вне области, ограниченной сторонами угла.
• Луч $MN$: Этот луч начинается в точке $M$ и проходит через точку $N$. При его продолжении за точку $N$ он пересекает сторону $OB$ угла $BOC$.
• Луч $ST$: Этот луч начинается в точке $S$ и проходит через точку $T$. При его продолжении за точку $T$ он пересекает сторону $OC$ угла $BOC$.

Таким образом, из трех изображенных лучей только два пересекают стороны угла $BOC$.

Ответ: лучи $MN$ и $ST$.