Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой угол называют развёрнутым?

1. Развёрнутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными лучами. Это означает, что его стороны лежат на одной прямой и выходят из одной точки (вершины угла) в противоположных направлениях. Таким образом, развёрнутый угол визуально представляет собой прямую линию.
Градусная мера развёрнутого угла по определению равна $180^\circ$. Это соответствует половине полного оборота ($360^\circ$) или сумме двух прямых углов (каждый по $90^\circ$). В радианной мере величина развёрнутого угла равна $\pi$ радиан.

Ответ: Угол, стороны которого лежат на одной прямой, а его величина равна $180^\circ$.

2. В каких единицах измеряют углы?

Для измерения углов существует несколько различных единиц. Выбор конкретной единицы зависит от области ее применения, будь то повседневная жизнь, математика, физика, геодезия или навигация. Основными единицами являются градусы, радианы и грады.

Градусы

Градусная мера является самой распространенной и общепринятой системой измерения углов. В этой системе полный оборот окружности делится на 360 равных частей, которые называются градусами. Градус обозначается символом $^\circ$.

• Полный угол составляет $360^\circ$.
• Развернутый угол (соответствует прямой линии) равен $180^\circ$.
• Прямой угол равен $90^\circ$.

Для более точных измерений используются дольные единицы градуса: минуты (обозначаются знаком $'$) и секунды (обозначаются знаком $''$).

• 1 градус равен 60 минутам: $1^\circ = 60'$.
• 1 минута равна 60 секундам: $1' = 60''$.

Например, угол можно записать как $45^\circ 30' 15''$.

Радианы

Радианная мера является стандартной в высшей математике (в частности, в тригонометрии и математическом анализе) и во многих разделах физики. Один радиан (обозначается "рад" или rad) — это величина центрального угла в окружности, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.

Так как длина всей окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, полный угол содержит $2\pi$ радиан.

• Полный угол составляет $2\pi$ рад.
• Развернутый угол равен $\pi$ рад.
• Прямой угол равен $\frac{\pi}{2}$ рад.

Связь между градусной и радианной мерой устанавливается соотношением $180^\circ = \pi$ рад. Это позволяет легко переводить одни единицы в другие:

• Для перевода градусов в радианы: $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$.
• Для перевода радиан в градусы: $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

Приблизительное значение одного радиана: $1 \text{ рад} \approx 57.296^\circ$.

Грады (гоны)

Град, или гон, — это единица, которая в основном применяется в геодезии и иногда в строительстве. Эта система удобна тем, что основана на десятичном принципе. Прямой угол делится на 100 градов (обозначается grad, g или gon).

• Полный угол составляет 400 grad.
• Развернутый угол равен 200 grad.
• Прямой угол равен 100 grad.

Другие единицы измерения

Существуют и другие, более узкоспециализированные единицы:

• Обороты (циклы): 1 оборот — это полный поворот на $360^\circ$. Используется в технике для измерения частоты вращения (например, обороты в минуту).
• Тысячные (милы): Используются в военном деле, в частности в артиллерии. Окружность делится на 6000 (в системе стран бывшего Варшавского договора) или 6400 (в системе НАТО) тысячных.
• Румбы: Морская навигационная единица. Окружность (картушка компаса) делится на 32 румба. 1 румб равен $11.25^\circ$.

Ответ: Основными единицами измерения углов являются градусы (а также их доли — минуты и секунды), радианы и грады (гоны). В специальных областях также применяются обороты, тысячные и румбы.

3. Какова градусная мера развёрнутого угла?

3. Развёрнутый угол — это угол, стороны которого являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой по разные стороны от вершины. Визуально такой угол выглядит как прямая линия.

По определению в геометрии, градусная мера развёрнутого угла составляет $180^\circ$.

Эту величину можно также вывести, сравнив развёрнутый угол с другими известными углами:

1. Развёрнутый угол представляет собой ровно половину полного угла (одного полного оборота), который равен $360^\circ$. Следовательно, его градусная мера составляет:
$ \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $

2. Развёрнутый угол можно представить как сумму двух смежных прямых углов. Поскольку градусная мера прямого угла равна $90^\circ$, мера развёрнутого угла будет равна:
$ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $

Таким образом, градусная мера развёрнутого угла всегда равна 180 градусам.

Ответ: $180^\circ$

4. Как называется прибор, который используют для измерения углов?

Прибор, который используют для измерения углов, называется транспортир.

Транспортир — это чертёжный инструмент для построения и измерения углов. Чаще всего он имеет форму полукруга и шкалу, разделённую на градусы от $0^\circ$ до $180^\circ$. Реже встречаются транспортиры в виде полного круга со шкалой от $0^\circ$ до $360^\circ$.

Чтобы измерить угол с помощью транспортира, необходимо:

1. Совместить центр транспортира с вершиной угла.
2. Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале (начало отсчёта).
3. Посмотреть, на какое деление шкалы указывает вторая сторона угла. Это число и будет величиной угла в градусах.

Кроме транспортира существуют и другие, более сложные приборы для измерения углов, применяемые в различных областях: гониометр (в оптике), теодолит (в геодезии), секстант (в навигации).

Ответ: транспортир.

5. Расскажите, как пользоваться транспортиром.

Транспортир — это инструмент для измерения и построения углов. Он представляет собой полукруг с нанесённой на него шкалой в градусах (обычно от $0^\circ$ до $180^\circ$). Основные части транспортира, которые используются при работе:

• Центр — специальная отметка (точка, отверстие или перекрестие) на прямом краю транспортира.
• Основание (нулевая линия) — прямой край транспортира, проходящий через центр и отметки $0^\circ$ и $180^\circ$.
• Шкала — дуга с делениями в градусах. Обычно на транспортире две шкалы: внутренняя (например, идущая справа налево от $0^\circ$ до $180^\circ$) и внешняя (идущая слева направо от $0^\circ$ до $180^\circ$).

Пользоваться транспортиром можно для двух основных задач: измерения существующего угла и построения угла заданной величины.

Измерение угла

Чтобы измерить величину уже начерченного угла, необходимо выполнить следующие действия:

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла (точкой, из которой выходят два луча, образующие угол).
2. Поверните транспортир так, чтобы одна из сторон угла прошла точно вдоль его основания (нулевой линии), указывая на отметку $0^\circ$.
3. Вторая сторона угла укажет на шкале его величину в градусах. Важно посмотреть значение на той шкале (внутренней или внешней), по которой вы выравнивали ноль. Если сторона угла, совмещённая с основанием, указывает на ноль на внутренней шкале, то и результат нужно считывать по внутренней шкале.

Например, если одна сторона совпадает с нулём на внешней шкале, а вторая сторона пересекает дугу на отметке $45$, то угол равен $45^\circ$.

Ответ:

Построение угла

Чтобы построить угол с заданной градусной мерой (например, $120^\circ$), выполните следующие шаги:

1. Начертите луч с помощью линейки. Отметьте на нём точку, которая будет вершиной угла (обычно это начало луча).
2. Приложите транспортир к лучу так, чтобы его центр совпал с отмеченной точкой-вершиной, а нулевая линия транспортира легла точно на луч, указывая на $0^\circ$.
3. Найдите на соответствующей шкале (той, где ноль лежит на вашем луче) отметку, равную заданной величине угла (в нашем примере — $120^\circ$). Поставьте карандашом маленькую точку напротив этой отметки.
4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите прямую линию от вершины угла через поставленную точку.

Полученные два луча, выходящие из одной вершины, образуют угол заданной величины.

Ответ:

6. Какие градусные меры имеют равные углы?

По определению, два угла считаются равными, если их можно совместить друг с другом путем наложения так, чтобы они полностью совпали. Градусная мера угла — это положительное число, которое показывает, какую часть от развернутого угла составляет данный угол. Она является количественной характеристикой размера угла.

Из определения равенства углов следует, что если углы можно совместить наложением, то они имеют одинаковый "раствор" между лучами, то есть одинаковый размер. Следовательно, их числовые характеристики, описывающие этот размер, должны быть идентичны.

Таким образом, равные углы всегда имеют одинаковую градусную меру. И наоборот, если градусные меры двух углов равны, то и сами углы равны.

Например, если даны два угла, $\angle ABC$ и $\angle DEF$, и известно, что они равны ($\angle ABC = \angle DEF$), то их градусные меры также будут равны. Если градусная мера угла $\angle ABC$ равна $45^\circ$, то и градусная мера угла $\angle DEF$ обязательно будет равна $45^\circ$.

Ответ: Равные углы имеют равные (одинаковые) градусные меры.