Страница 91 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

340. На рисунке 125 $\angle CMK = 132^\circ$, а угол $AMK$ — развёрнутый. Вычислите величину угла $AMC$.

Рис. 125

Согласно условию задачи, угол $∠AMK$ является развёрнутым. Развёрнутый угол равен $180°$.

Углы $∠AMC$ и $∠CMK$ являются смежными, так как у них общая вершина $M$, общая сторона $MC$, а стороны $MA$ и $MK$ являются продолжениями друг друга, образуя прямую линию.

Сумма смежных углов всегда равна $180°$. Поэтому можно записать следующее равенство:

$∠AMC + ∠CMK = 180°$

Из условия известно, что $∠CMK = 132°$. Подставим это значение в уравнение:

$∠AMC + 132° = 180°$

Теперь найдём величину угла $∠AMC$:

$∠AMC = 180° - 132°$

$∠AMC = 48°$

Ответ: $48°$

341. На рисунке 126 угол AOK — прямой, $\angle POC = 54^\circ$, а угол COK — развёрнутый. Вычислите величину угла AOP.

Рис. 126

Согласно условию задачи, угол $ \angle COK $ является развёрнутым. Величина развёрнутого угла составляет $ 180^\circ $.

Из рисунка видно, что развёрнутый угол $ \angle COK $ состоит из трёх смежных углов: $ \angle POC $, $ \angle AOP $ и $ \angle AOK $. Следовательно, сумма их величин равна величине развёрнутого угла:

$ \angle COK = \angle POC + \angle AOP + \angle AOK $

Нам известны следующие величины углов из условия:

$ \angle COK = 180^\circ $ (так как он развёрнутый)
$ \angle AOK = 90^\circ $ (так как он прямой)
$ \angle POC = 54^\circ $ (дано в условии)

Подставим известные значения в формулу:

$ 180^\circ = 54^\circ + \angle AOP + 90^\circ $

Сгруппируем известные слагаемые в правой части уравнения:

$ 180^\circ = (54^\circ + 90^\circ) + \angle AOP $

$ 180^\circ = 144^\circ + \angle AOP $

Теперь выразим и вычислим величину искомого угла $ \angle AOP $:

$ \angle AOP = 180^\circ - 144^\circ $

$ \angle AOP = 36^\circ $

Ответ: $ 36^\circ $

342. Какой из углов, изображённых на рисунке 127, наибольший? наименьший?

Рис. 127

A

B

C

D

Для определения наибольшего и наименьшего углов необходимо сравнить их величины. Величина угла определяется степенью расхождения его сторон (его "раствором"), а не длиной лучей, которые его образуют.

Наибольший

На рисунке 127 изображены четыре угла. Угол C является прямым, его величина равна $90^\circ$. Углы A, B и D являются острыми, то есть их величина по определению меньше $90^\circ$. Так как прямой угол всегда больше острого, то угол C является наибольшим среди всех изображённых углов.
Ответ: наибольший угол — C.

Наименьший

Для нахождения наименьшего угла необходимо сравнить между собой три острых угла: A, B и D. Визуально оценивая "раствор" сторон каждого угла, можно сделать вывод, что у угла D он самый маленький. Угол B имеет больший раствор, чем D, а угол A — больший, чем B. Следовательно, наименьшим из всех представленных углов является угол D.
Ответ: наименьший угол — D.

343. Начертите угол CDE, равный $152^\circ$. Лучoм DA разделите этот угол на два угла так, чтобы $\angle CDA = 98^\circ$. Вычислите величину угла ADE.

Согласно условию задачи, луч DA делит угол CDE на два угла: $\angle CDA$ и $\angle ADE$. Это означает, что величина угла CDE равна сумме величин углов CDA и ADE.

Это можно записать в виде формулы, основанной на аксиоме измерения углов:

$\angle CDE = \angle CDA + \angle ADE$

Нам известны величины углов $\angle CDE$ и $\angle CDA$:

$\angle CDE = 152^\circ$

$\angle CDA = 98^\circ$

Чтобы найти величину неизвестного угла $\angle ADE$, нужно из величины всего угла $\angle CDE$ вычесть величину известной его части, угла $\angle CDA$.

$\angle ADE = \angle CDE - \angle CDA$

Подставим числовые значения в формулу:

$\angle ADE = 152^\circ - 98^\circ = 54^\circ$

Таким образом, величина угла ADE составляет $54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.

344. Начертите угол $ABC$, равный $106^\circ$. Лучом $BD$ разделите этот угол на два угла так, чтобы $\angle ABD = 34^\circ$. Вычислите величину угла $DBC$.

По условию задачи дан угол $\angle ABC$, который равен $106^\circ$. Этот угол разделен лучом $BD$ на два меньших угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Поскольку луч $BD$ проходит внутри угла $\angle ABC$, то величина исходного угла равна сумме величин двух углов, на которые он разделен.

Это можно записать с помощью следующей формулы:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$

Из условия задачи мы знаем, что:

$\angle ABC = 106^\circ$

$\angle ABD = 34^\circ$

Чтобы найти величину угла $\angle DBC$, необходимо из величины угла $\angle ABC$ вычесть известную величину угла $\angle ABD$.

Подставим известные значения в нашу формулу:

$106^\circ = 34^\circ + \angle DBC$

Теперь выразим $\angle DBC$:

$\angle DBC = 106^\circ - 34^\circ$

$\angle DBC = 72^\circ$

Таким образом, величина угла $DBC$ составляет $72^\circ$.

Ответ: $72^\circ$

345. Из вершины прямого угла BOM (рис. 128) проведены два луча OA и OC так, что $ \angle BOC = 74^\circ $, $ \angle AOM = 62^\circ $. Вычислите величину угла AOC.

Рис. 128

Поскольку угол $ \angle BOM $ — прямой, его величина равна $ 90^\circ $. Из условия и рисунка следует, что лучи $ OA $ и $ OC $ проведены внутри угла $ \angle BOM $.

Весь угол $ \angle BOM $ можно представить как сумму трех углов, на которые он разделен лучами $ OA $ и $ OC $: $ \angle BOM = \angle BOA + \angle AOC + \angle COM = 90^\circ $.

В задаче даны величины углов $ \angle BOC = 74^\circ $ и $ \angle AOM = 62^\circ $. Из рисунка видно, что эти углы также являются составными: $ \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC $ $ \angle AOM = \angle AOC + \angle COM $

Для нахождения величины угла $ \angle AOC $, сложим известные нам углы $ \angle BOC $ и $ \angle AOM $. Угол $ \angle AOC $ является их общей частью, поэтому при сложении он будет учтен дважды. $ \angle BOC + \angle AOM = (\angle BOA + \angle AOC) + (\angle AOC + \angle COM) $

Сгруппируем слагаемые в правой части уравнения: $ \angle BOC + \angle AOM = (\angle BOA + \angle AOC + \angle COM) + \angle AOC $

Сумма в скобках, $ \angle BOA + \angle AOC + \angle COM $, равна углу $ \angle BOM $. Таким образом, мы можем переписать уравнение: $ \angle BOC + \angle AOM = \angle BOM + \angle AOC $

Теперь выразим искомый угол $ \angle AOC $ из этого равенства: $ \angle AOC = \angle BOC + \angle AOM - \angle BOM $

Подставим известные числовые значения и произведем вычисление: $ \angle AOC = 74^\circ + 62^\circ - 90^\circ = 136^\circ - 90^\circ = 46^\circ $.
Ответ: $46^\circ$.