Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

346. Из вершины развёрнутого угла $ACP$ (рис. 129) проведено два луча $CT$ и $CF$ так, что $\angle ACF = 158^\circ$, $\angle TCP = 134^\circ$. Вычислите величину угла $TCF$.

Рис. 129

По условию задачи, угол ACP является развёрнутым. Величина развёрнутого угла составляет $180^\circ$. Таким образом, $\angle ACP = 180^\circ$.
Лучи CT и CF, проведённые из вершины C, делят развёрнутый угол на три части: $\angle ACT$, $\angle TCF$ и $\angle FCP$. Сумма этих углов равна $180^\circ$:
$\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP = 180^\circ$.
В задаче даны величины углов $\angle ACF = 158^\circ$ и $\angle TCP = 134^\circ$.
Рассмотрим, из каких углов они состоят, согласно рисунку:
Угол $\angle ACF$ является суммой углов $\angle ACT$ и $\angle TCF$.
$\angle ACF = \angle ACT + \angle TCF = 158^\circ$.
Угол $\angle TCP$ является суммой углов $\angle TCF$ и $\angle FCP$.
$\angle TCP = \angle TCF + \angle FCP = 134^\circ$.
Сложим величины этих двух углов:
$\angle ACF + \angle TCP = (\angle ACT + \angle TCF) + (\angle TCF + \angle FCP)$.
Если мы перегруппируем слагаемые в правой части, то увидим, что сумма углов $\angle ACT$, $\angle TCF$ и $\angle FCP$ образует развёрнутый угол $\angle ACP$, а угол $\angle TCF$ учитывается дважды:
$\angle ACF + \angle TCP = (\angle ACT + \angle TCF + \angle FCP) + \angle TCF$.
Заменим сумму в скобках на величину развёрнутого угла $\angle ACP$:
$\angle ACF + \angle TCP = \angle ACP + \angle TCF$.
Теперь подставим в это равенство известные значения углов:
$158^\circ + 134^\circ = 180^\circ + \angle TCF$.
$292^\circ = 180^\circ + \angle TCF$.
Из полученного уравнения найдём искомую величину угла $\angle TCF$:
$\angle TCF = 292^\circ - 180^\circ = 112^\circ$.

Ответ: $112^\circ$.

347. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, — острый;

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой;

3) биссектриса тупого угла делит его на два острых угла;

4) сумма градусных мер двух острых углов больше $90^\circ$;

5) угол, который больше прямого, — тупой?

1) угол, который меньше тупого, — острый;

Это утверждение неверно. По определению, тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Острый угол — меньше $90^\circ$. Утверждение гласит, что любой угол, который меньше тупого, является острым. Возьмем для примера тупой угол $\alpha = 150^\circ$. Рассмотрим угол $\beta = 120^\circ$. Этот угол меньше $\alpha$ ($120^\circ < 150^\circ$), но при этом он сам является тупым, а не острым. Другой пример: прямой угол $\gamma = 90^\circ$. Он также меньше $150^\circ$, но не является острым. Таким образом, утверждение неверно, так как угол меньше тупого может быть другим тупым углом, прямым углом или острым углом.
Ответ: Неверно.

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой;

Это утверждение неверно. Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Утверждение состоит в том, что любой угол меньше $180^\circ$ является тупым. Однако это не так. Например, прямой угол $90^\circ$ меньше $180^\circ$, но он не тупой. Острый угол, например, $45^\circ$, также меньше $180^\circ$, но он не тупой. Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: Неверно.

3) биссектриса тупого угла делит его на два острых угла;

Это утверждение верно. Тупой угол $\gamma$ по определению находится в пределах $90^\circ < \gamma < 180^\circ$. Биссектриса делит этот угол на два равных угла, мера каждого из которых равна $\gamma/2$. Чтобы найти диапазон значений для этих новых углов, разделим неравенство для $\gamma$ на 2: $\frac{90^\circ}{2} < \frac{\gamma}{2} < \frac{180^\circ}{2}$, что дает $45^\circ < \frac{\gamma}{2} < 90^\circ$. Поскольку градусная мера каждого из полученных углов строго меньше $90^\circ$ и больше $0^\circ$, эти углы по определению являются острыми.
Ответ: Верно.

4) сумма градусных мер двух острых углов больше 90°;

Это утверждение неверно. Острый угол $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Если мы возьмем два острых угла, например, $\alpha_1 = 30^\circ$ и $\alpha_2 = 40^\circ$, то их сумма будет равна $30^\circ + 40^\circ = 70^\circ$. Эта сумма не больше $90^\circ$. Сумма двух острых углов может быть как меньше, так и равна, так и больше $90^\circ$. Например, $80^\circ + 85^\circ = 165^\circ$, что больше $90^\circ$, а $45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$. Утверждение не выполняется для всех случаев.
Ответ: Неверно.

5) угол, который больше прямого, — тупой?

Это утверждение неверно. Прямой угол равен $90^\circ$. Тупой угол — это угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Однако существуют и другие углы, которые больше прямого, но не являются тупыми. Например, развёрнутый угол равен $180^\circ$. Он больше $90^\circ$, но не является тупым. Также существуют рефлексные (или отраженные) углы, которые больше $180^\circ$ (например, $270^\circ$). Они тоже больше $90^\circ$, но не являются тупыми. Следовательно, утверждение ложно.
Ответ: Неверно.

348. Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают:

1) 3 ч;

2) 6 ч;

3) 4 ч;

4) 11 ч;

5) 7 ч.

Для решения этой задачи необходимо знать, что циферблат часов представляет собой окружность, содержащую $360^\circ$. На циферблате 12 основных часовых делений. Следовательно, угол между двумя соседними часовыми делениями равен:

$360^\circ \div 12 = 30^\circ$

Во всех указанных случаях время ровное, поэтому минутная стрелка всегда указывает на 12. Угол между стрелками будет равен углу, на который часовая стрелка отклонилась от 12. Под углом между стрелками обычно понимают наименьший из двух возможных углов.

1) 3 ч

В 3 часа часовая стрелка указывает на цифру 3, а минутная — на 12. Между ними 3 часовых деления. Угол между стрелками составляет:

$3 \times 30^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$.

2) 6 ч

В 6 часов часовая стрелка указывает на цифру 6, а минутная — на 12. Между ними 6 часовых делений. Стрелки направлены в противоположные стороны, образуя развернутый угол:

$6 \times 30^\circ = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.

3) 4 ч

В 4 часа часовая стрелка указывает на цифру 4, а минутная — на 12. Между ними 4 часовых деления. Угол между стрелками составляет:

$4 \times 30^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

4) 11 ч

В 11 часов часовая стрелка указывает на цифру 11, а минутная — на 12. Кратчайшее расстояние между ними составляет 1 часовое деление (от 11 до 12). Угол между стрелками равен:

$1 \times 30^\circ = 30^\circ$

Можно также посчитать больший угол, который равен $11 \times 30^\circ = 330^\circ$, и найти меньший: $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

5) 7 ч

В 7 часов часовая стрелка указывает на цифру 7, а минутная — на 12. Угол по часовой стрелке составляет $7 \times 30^\circ = 210^\circ$. Поскольку этот угол больше $180^\circ$, мы находим меньший угол:

$360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$

Другой способ — посчитать количество делений по кратчайшему пути (против часовой стрелки): от 12 до 7 это 5 делений ($12 - 7 = 5$). Тогда угол равен:

$5 \times 30^\circ = 150^\circ$

Ответ: $150^\circ$.

349. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развёрнутые углы, образовавшиеся при этом.

Для решения задачи необходимо сначала провести три прямые, которые пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения буквой O. Каждую прямую можно обозначить двумя точками, например, прямая AB, прямая CD и прямая EF. Все три прямые проходят через точку O.

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Градусная мера развёрнутого угла составляет $180^\circ$.

В нашей конфигурации каждая из трех прямых линий образует развёрнутый угол с вершиной в точке их пересечения O. Давайте перечислим их:

• Прямая AB проходит через точку O, образуя два противоположно направленных луча OA и OB. Эти лучи формируют развёрнутый угол $ \angle AOB $.
• Прямая CD проходит через точку O, образуя два противоположно направленных луча OC и OD. Эти лучи формируют развёрнутый угол $ \angle COD $.
• Прямая EF проходит через точку O, образуя два противоположно направленных луча OE и OF. Эти лучи формируют развёрнутый угол $ \angle EOF $.

Таким образом, при пересечении трех прямых в одной точке образуется ровно три развёрнутых угла.

Ответ: Если обозначить три прямые как AB, CD и EF, а их точку пересечения как O, то образуются три развёрнутых угла: $ \angle AOB $, $ \angle COD $ и $ \angle EOF $.

350. Начертите угол $ABC$, градусная мера которого составляет $120^\circ$.
Проведите луч $BD$ так, чтобы градусная мера угла $ABD$ была равна $40^\circ$. Вычислите градусную меру угла $DBC$.
Сколько решений имеет задача?

Согласно условию, дан угол $ \angle ABC = 120^{\circ} $. Необходимо провести луч $BD$ так, чтобы $ \angle ABD = 40^{\circ} $. Существует два возможных расположения луча $BD$ относительно сторон угла $ \angle ABC $, что приводит к двум возможным решениям.

Случай 1: Луч BD проходит внутри угла ABC.

В этом случае угол $ \angle ABC $ разделяется лучом $BD$ на два угла: $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $. По аксиоме измерения углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер его частей: $ \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC $.

Чтобы найти $ \angle DBC $, нужно из градусной меры угла $ \angle ABC $ вычесть градусную меру угла $ \angle ABD $: $ \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ} $.

Случай 2: Луч BD проходит вне угла ABC.

В этом случае луч $BA$ находится между лучами $BD$ и $BC$. Тогда угол $ \angle DBC $ является суммой углов $ \angle DBA $ (который по величине равен $ \angle ABD $) и $ \angle ABC $: $ \angle DBC = \angle DBA + \angle ABC $.

Подставив известные значения, получим: $ \angle DBC = 40^{\circ} + 120^{\circ} = 160^{\circ} $.

Таким образом, угол $DBC$ может иметь два значения.

Ответ: $80^{\circ}$ или $160^{\circ}$.

Поскольку мы нашли два различных возможных значения для градусной меры угла $ \angle DBC $, которые соответствуют двум разным геометрическим конфигурациям, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

351. Луч ВК является биссектрисой угла CBD, $\angle ABK = 146^{\circ}$, $\angle ABC$ – развёрнутый (рис. 130, а). Вычислите градусную меру угла CBD.

а

Поскольку угол $∠ABC$ — развёрнутый, его градусная мера равна $180°$.

Углы $∠ABK$ и $∠KBC$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $BK$, а две другие стороны $BA$ и $BC$ являются продолжением друг друга, образуя прямую. Сумма смежных углов равна $180°$. Исходя из этого, мы можем найти градусную меру угла $∠KBC$:
$∠KBC = ∠ABC - ∠ABK$
$∠KBC = 180° - 146° = 34°$

По условию задачи, луч $BK$ является биссектрисой угла $∠CBD$. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:
$∠DBK = ∠KBC = 34°$

Градусная мера угла $∠CBD$ равна сумме градусных мер углов $∠DBK$ и $∠KBC$ или удвоенной мере угла $∠KBC$:
$∠CBD = 2 \cdot ∠KBC$
$∠CBD = 2 \cdot 34° = 68°$

Ответ: 68°.

352. Луч ОА является биссектрисой угла COM, $\angle COM = 54^\circ$, $\angle BOC$ — развёрнутый (рис. 130, б). Вычислите градусную меру угла BOA.

б

Поскольку луч OA является биссектрисой угла COM, он делит этот угол на два равных угла: ∠COA и ∠AOM. Градусная мера каждого из этих углов равна половине градусной меры угла COM.

Вычислим градусную меру угла AOM:
$∠AOM = ∠COM / 2 = 54° / 2 = 27°$

Угол BOC является развернутым, поэтому его градусная мера составляет 180°. Углы BOM и COM являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол BOC. Сумма смежных углов равна 180°.

$∠BOM + ∠COM = ∠BOC$
$∠BOM + 54° = 180°$

Найдем градусную меру угла BOM:
$∠BOM = 180° - 54° = 126°$

Искомый угол BOA состоит из двух углов: ∠BOM и ∠AOM. Чтобы найти его градусную меру, нужно сложить градусные меры этих углов.

$∠BOA = ∠BOM + ∠AOM$
$∠BOA = 126° + 27° = 153°$

Ответ: 153°.

353. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого $13^\circ$, построить угол, градусная мера которого равна $2^\circ$?

Для построения угла в $2^\circ$ с помощью шаблона угла в $13^\circ$, необходимо найти способ выразить $2^\circ$ через комбинации угла в $13^\circ$. Это можно сделать, многократно откладывая угол $13^\circ$ в одном и том же направлении от некоторого начального луча. При этом нас интересует положение конечного луча относительно начального, то есть результат сложения углов по модулю $360^\circ$.

Математически задача сводится к нахождению наименьшего натурального числа $k$ (количество повторений), для которого выполняется одно из сравнений: $k \cdot 13^\circ \equiv 2^\circ \pmod{360^\circ}$ или $k \cdot 13^\circ \equiv -2^\circ \pmod{360^\circ}$. Угол $-2^\circ$ эквивалентен углу $2^\circ$, отложенному в противоположном направлении, и его величина также равна $2^\circ$.

Для решения этих сравнений найдем сначала обратный элемент к 13 по модулю 360, используя расширенный алгоритм Евклида.
$360 = 27 \cdot 13 + 9$
$13 = 1 \cdot 9 + 4$
$9 = 2 \cdot 4 + 1$
Выражая 1 через 360 и 13, получаем:
$1 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 2(13 - 9) = 3 \cdot 9 - 2 \cdot 13 = 3(360 - 27 \cdot 13) - 2 \cdot 13 = 3 \cdot 360 - 83 \cdot 13$.
Из равенства $3 \cdot 360 - 83 \cdot 13 = 1$ следует, что $-83 \cdot 13 \equiv 1 \pmod{360}$. Таким образом, мультипликативное обратное к 13 по модулю 360 равно $-83$ (или $277$).

Теперь решим оба сравнения.
Для $13k \equiv 2 \pmod{360}$, умножаем на $-83$: $k \equiv 2 \cdot (-83) \pmod{360}$, что дает $k \equiv -166 \equiv 194 \pmod{360}$. Наименьшее натуральное решение $k=194$.
Для $13k \equiv -2 \pmod{360}$, умножаем на $-83$: $k \equiv -2 \cdot (-83) \pmod{360}$, что дает $k \equiv 166 \pmod{360}$. Наименьшее натуральное решение $k=166$.

Второй вариант ($k=166$) требует меньше построений, поэтому он предпочтительнее. Проверим его: $166 \times 13^\circ = 2158^\circ$. Чтобы найти итоговый угол, посмотрим на остаток от деления на $360^\circ$: $2158 = 6 \times 360 - 2$. Это означает, что после 166 построений итоговый луч будет смещен на $-2^\circ$ (то есть на $2^\circ$ по часовой стрелке, если мы строили против часовой) относительно начального. Величина угла между начальным и конечным лучами будет равна $2^\circ$.

Таким образом, алгоритм построения следующий. Нужно взять начальный луч и последовательно отложить от него 166 раз угол в $13^\circ$, каждый раз используя конечную сторону предыдущего угла как начальную для следующего и откладывая все углы в одном и том же направлении (например, против часовой стрелки). Угол между самым первым (начальным) лучом и самым последним (конечным) лучом и будет искомым углом в $2^\circ$.

Ответ: Необходимо 166 раз последовательно отложить угол в $13^\circ$ в одном и том же направлении от начального луча. Угол, образованный начальным и конечным лучами, будет равен $2^\circ$.

354. Как построить угол, градусная мера которого $1^{\circ}$, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

1) $19^{\circ}$;

2) $7^{\circ}$?

Для построения угла в $1^{\circ}$ с помощью шаблона с заданным углом $\alpha$ необходимо найти способ получить $1^{\circ}$ путем сложения или вычитания углов $\alpha$. Это достигается путем многократного откладывания угла $\alpha$ от общего центра. Цель — найти такое количество повторений $m$, чтобы суммарный угол $m \cdot \alpha$ отличался от одного или нескольких полных оборотов ($k \cdot 360^{\circ}$) ровно на $1^{\circ}$. Математически это сводится к решению диофантова уравнения $m \cdot \alpha - k \cdot 360 = 1$ (или $k \cdot 360 - m \cdot \alpha = 1$) в целых числах $m$ и $k$. Такое решение существует, если наибольший общий делитель $\text{НОД}(\alpha, 360) = 1$.

В этом случае $\alpha = 19^{\circ}$. Нам нужно найти такие натуральные числа $m$ и $k$, что $m \cdot 19^{\circ} - k \cdot 360^{\circ} = 1^{\circ}$.Сначала убедимся, что решение существует, проверив, что числа 19 и 360 взаимно просты. Число 19 — простое, а 360 не делится на 19 ($360 = 18 \cdot 19 + 18$). Следовательно, $\text{НОД}(19, 360) = 1$, и решение существует.

Подбором или с помощью расширенного алгоритма Евклида находим наименьшие натуральные числа $m$ и $k$, удовлетворяющие уравнению. Заметим, что $19 \cdot 19 = 361$. Тогда мы можем записать:$19 \cdot 19^{\circ} - 1 \cdot 360^{\circ} = 361^{\circ} - 360^{\circ} = 1^{\circ}$Отсюда $m=19$, $k=1$. Это означает, что 19 углов по $19^{\circ}$ составляют один полный оборот и $1^{\circ}$.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выберем точку $O$ и проведем из нее луч $OA$.
2. Используя шаблон, отложим от луча $OA$ угол в $19^{\circ}$. Пусть второй стороной этого угла будет луч $OB$.
3. Далее от луча $OB$ отложим следующий угол в $19^{\circ}$, и так далее.
4. Повторим эту операцию 19 раз, последовательно откладывая углы друг за другом вокруг центра $O$.
5. Общий угол, образованный начальным лучом $OA$ и конечным лучом после 19-го шага, будет равен $19 \cdot 19^{\circ} = 361^{\circ}$.
6. Так как полный оборот составляет $360^{\circ}$, то угол между начальным и конечным лучами будет равен $361^{\circ} - 360^{\circ} = 1^{\circ}$.

Ответ: Необходимо последовательно отложить 19 раз угол в $19^{\circ}$ от общего центра. Угол между начальной стороной первого угла и конечной стороной последнего и будет искомым углом в $1^{\circ}$.

В этом случае $\alpha = 7^{\circ}$. Ищем натуральные числа $m$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $m \cdot 7^{\circ} - k \cdot 360^{\circ} = 1^{\circ}$.Проверим, что $\text{НОД}(7, 360) = 1$. Число 7 — простое, а 360 на 7 не делится ($360 = 51 \cdot 7 + 3$). Следовательно, числа взаимно просты и решение существует.

С помощью расширенного алгоритма Евклида или подбором находим подходящие $m$ и $k$.$1 = 7 \cdot m - 360 \cdot k$Одно из решений этого уравнения: $m=103$ и $k=2$. Проверим его:$103 \cdot 7^{\circ} - 2 \cdot 360^{\circ} = 721^{\circ} - 720^{\circ} = 1^{\circ}$Это означает, что 103 угла по $7^{\circ}$ составляют два полных оборота и $1^{\circ}$.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выберем точку $O$ и проведем из нее луч $OA$.
2. Используя шаблон, последовательно отложим от общего центра $O$ 103 угла по $7^{\circ}$ каждый.
3. Суммарный построенный угол будет равен $103 \cdot 7^{\circ} = 721^{\circ}$.
4. Этот угол равен двум полным оборотам ($2 \cdot 360^{\circ} = 720^{\circ}$) и еще $1^{\circ}$.
5. Следовательно, угол между начальным лучом $OA$ и конечным лучом, полученным после 103-го шага, будет равен $721^{\circ} - 720^{\circ} = 1^{\circ}$.

Ответ: Необходимо последовательно отложить 103 раза угол в $7^{\circ}$ от общего центра. Угол между начальной стороной первого угла и конечной стороной последнего будет равен $1^{\circ}$.