Номер 353, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Виды углов. Измерение углов. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 353, страница 92.

353. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого $13^\circ$, построить угол, градусная мера которого равна $2^\circ$?

Для построения угла в $2^\circ$ с помощью шаблона угла в $13^\circ$, необходимо найти способ выразить $2^\circ$ через комбинации угла в $13^\circ$. Это можно сделать, многократно откладывая угол $13^\circ$ в одном и том же направлении от некоторого начального луча. При этом нас интересует положение конечного луча относительно начального, то есть результат сложения углов по модулю $360^\circ$.

Математически задача сводится к нахождению наименьшего натурального числа $k$ (количество повторений), для которого выполняется одно из сравнений: $k \cdot 13^\circ \equiv 2^\circ \pmod{360^\circ}$ или $k \cdot 13^\circ \equiv -2^\circ \pmod{360^\circ}$. Угол $-2^\circ$ эквивалентен углу $2^\circ$, отложенному в противоположном направлении, и его величина также равна $2^\circ$.

Для решения этих сравнений найдем сначала обратный элемент к 13 по модулю 360, используя расширенный алгоритм Евклида.
$360 = 27 \cdot 13 + 9$
$13 = 1 \cdot 9 + 4$
$9 = 2 \cdot 4 + 1$
Выражая 1 через 360 и 13, получаем:
$1 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 2(13 - 9) = 3 \cdot 9 - 2 \cdot 13 = 3(360 - 27 \cdot 13) - 2 \cdot 13 = 3 \cdot 360 - 83 \cdot 13$.
Из равенства $3 \cdot 360 - 83 \cdot 13 = 1$ следует, что $-83 \cdot 13 \equiv 1 \pmod{360}$. Таким образом, мультипликативное обратное к 13 по модулю 360 равно $-83$ (или $277$).

Теперь решим оба сравнения.
Для $13k \equiv 2 \pmod{360}$, умножаем на $-83$: $k \equiv 2 \cdot (-83) \pmod{360}$, что дает $k \equiv -166 \equiv 194 \pmod{360}$. Наименьшее натуральное решение $k=194$.
Для $13k \equiv -2 \pmod{360}$, умножаем на $-83$: $k \equiv -2 \cdot (-83) \pmod{360}$, что дает $k \equiv 166 \pmod{360}$. Наименьшее натуральное решение $k=166$.

Второй вариант ($k=166$) требует меньше построений, поэтому он предпочтительнее. Проверим его: $166 \times 13^\circ = 2158^\circ$. Чтобы найти итоговый угол, посмотрим на остаток от деления на $360^\circ$: $2158 = 6 \times 360 - 2$. Это означает, что после 166 построений итоговый луч будет смещен на $-2^\circ$ (то есть на $2^\circ$ по часовой стрелке, если мы строили против часовой) относительно начального. Величина угла между начальным и конечным лучами будет равна $2^\circ$.

Таким образом, алгоритм построения следующий. Нужно взять начальный луч и последовательно отложить от него 166 раз угол в $13^\circ$, каждый раз используя конечную сторону предыдущего угла как начальную для следующего и откладывая все углы в одном и том же направлении (например, против часовой стрелки). Угол между самым первым (начальным) лучом и самым последним (конечным) лучом и будет искомым углом в $2^\circ$.

Ответ: Необходимо 166 раз последовательно отложить угол в $13^\circ$ в одном и том же направлении от начального луча. Угол, образованный начальным и конечным лучами, будет равен $2^\circ$.