Номер 354, страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 13. Виды углов. Измерение углов. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 354, страница 92.

354. Как построить угол, градусная мера которого $1^{\circ}$, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

1) $19^{\circ}$;

2) $7^{\circ}$?

Для построения угла в $1^{\circ}$ с помощью шаблона с заданным углом $\alpha$ необходимо найти способ получить $1^{\circ}$ путем сложения или вычитания углов $\alpha$. Это достигается путем многократного откладывания угла $\alpha$ от общего центра. Цель — найти такое количество повторений $m$, чтобы суммарный угол $m \cdot \alpha$ отличался от одного или нескольких полных оборотов ($k \cdot 360^{\circ}$) ровно на $1^{\circ}$. Математически это сводится к решению диофантова уравнения $m \cdot \alpha - k \cdot 360 = 1$ (или $k \cdot 360 - m \cdot \alpha = 1$) в целых числах $m$ и $k$. Такое решение существует, если наибольший общий делитель $\text{НОД}(\alpha, 360) = 1$.

1) 19°

В этом случае $\alpha = 19^{\circ}$. Нам нужно найти такие натуральные числа $m$ и $k$, что $m \cdot 19^{\circ} - k \cdot 360^{\circ} = 1^{\circ}$.Сначала убедимся, что решение существует, проверив, что числа 19 и 360 взаимно просты. Число 19 — простое, а 360 не делится на 19 ($360 = 18 \cdot 19 + 18$). Следовательно, $\text{НОД}(19, 360) = 1$, и решение существует.

Подбором или с помощью расширенного алгоритма Евклида находим наименьшие натуральные числа $m$ и $k$, удовлетворяющие уравнению. Заметим, что $19 \cdot 19 = 361$. Тогда мы можем записать:$19 \cdot 19^{\circ} - 1 \cdot 360^{\circ} = 361^{\circ} - 360^{\circ} = 1^{\circ}$Отсюда $m=19$, $k=1$. Это означает, что 19 углов по $19^{\circ}$ составляют один полный оборот и $1^{\circ}$.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выберем точку $O$ и проведем из нее луч $OA$.
2. Используя шаблон, отложим от луча $OA$ угол в $19^{\circ}$. Пусть второй стороной этого угла будет луч $OB$.
3. Далее от луча $OB$ отложим следующий угол в $19^{\circ}$, и так далее.
4. Повторим эту операцию 19 раз, последовательно откладывая углы друг за другом вокруг центра $O$.
5. Общий угол, образованный начальным лучом $OA$ и конечным лучом после 19-го шага, будет равен $19 \cdot 19^{\circ} = 361^{\circ}$.
6. Так как полный оборот составляет $360^{\circ}$, то угол между начальным и конечным лучами будет равен $361^{\circ} - 360^{\circ} = 1^{\circ}$.

Ответ: Необходимо последовательно отложить 19 раз угол в $19^{\circ}$ от общего центра. Угол между начальной стороной первого угла и конечной стороной последнего и будет искомым углом в $1^{\circ}$.

2) 7°

В этом случае $\alpha = 7^{\circ}$. Ищем натуральные числа $m$ и $k$, удовлетворяющие уравнению $m \cdot 7^{\circ} - k \cdot 360^{\circ} = 1^{\circ}$.Проверим, что $\text{НОД}(7, 360) = 1$. Число 7 — простое, а 360 на 7 не делится ($360 = 51 \cdot 7 + 3$). Следовательно, числа взаимно просты и решение существует.

С помощью расширенного алгоритма Евклида или подбором находим подходящие $m$ и $k$.$1 = 7 \cdot m - 360 \cdot k$Одно из решений этого уравнения: $m=103$ и $k=2$. Проверим его:$103 \cdot 7^{\circ} - 2 \cdot 360^{\circ} = 721^{\circ} - 720^{\circ} = 1^{\circ}$Это означает, что 103 угла по $7^{\circ}$ составляют два полных оборота и $1^{\circ}$.

Алгоритм построения:

1. На плоскости выберем точку $O$ и проведем из нее луч $OA$.
2. Используя шаблон, последовательно отложим от общего центра $O$ 103 угла по $7^{\circ}$ каждый.
3. Суммарный построенный угол будет равен $103 \cdot 7^{\circ} = 721^{\circ}$.
4. Этот угол равен двум полным оборотам ($2 \cdot 360^{\circ} = 720^{\circ}$) и еще $1^{\circ}$.
5. Следовательно, угол между начальным лучом $OA$ и конечным лучом, полученным после 103-го шага, будет равен $721^{\circ} - 720^{\circ} = 1^{\circ}$.

Ответ: Необходимо последовательно отложить 103 раза угол в $7^{\circ}$ от общего центра. Угол между начальной стороной первого угла и конечной стороной последнего будет равен $1^{\circ}$.