Страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

363. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 140.

Рис. 140

а

б

в

а

Чтобы нарисовать фигуру, равную треугольнику, изображенному на рисунке «а», на листе бумаги в клетку, следует выполнить следующие действия. Зададим координаты вершин фигуры, где одна клетка соответствует единице длины.

1. Отметьте левую нижнюю вершину в узле сетки. Примем ее за начало координат $(0, 0)$.
2. От этой точки отсчитайте 4 клетки вправо и отметьте правую нижнюю вершину в точке $(4, 0)$.
3. От левой нижней вершины $(0, 0)$ отсчитайте 2 клетки вправо и 3 клетки вверх и отметьте верхнюю вершину в точке $(2, 3)$.
4. Соедините отрезками отмеченные точки, чтобы получить треугольник.

Ответ: Фигура «а» — это треугольник с вершинами в точках с координатами $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(2, 3)$.

б

Чтобы нарисовать фигуру, равную трапеции, изображенной на рисунке «б», на листе бумаги в клетку, следует последовательно отметить ее вершины в узлах сетки и соединить их. Хотя изображение на рисунке содержит некоторые геометрические несоответствия, мы воспроизведем фигуру, сохраняя ключевые размеры, такие как длина оснований и высота.

1. Отметьте левую нижнюю вершину в точке $(0, 0)$.
2. От нее отсчитайте 2 клетки вправо и отметьте правую нижнюю вершину в точке $(2, 0)$. Это будет нижнее основание длиной 2 клетки.
3. От левой нижней вершины $(0, 0)$ отсчитайте 1 клетку вправо и 2 клетки вверх, чтобы отметить левую верхнюю вершину в точке $(1, 2)$.
4. От левой верхней вершины $(1, 2)$ отсчитайте 3 клетки вправо и отметьте правую верхнюю вершину в точке $(4, 2)$. Это будет верхнее основание длиной 3 клетки.
5. Последовательно соедините отрезками вершины: $(0, 0)$ с $(2, 0)$, $(2, 0)$ с $(4, 2)$, $(4, 2)$ с $(1, 2)$ и, наконец, $(1, 2)$ с $(0, 0)$.

Ответ: Фигура «б» — это трапеция с вершинами в точках с координатами $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(4, 2)$, $(1, 2)$.

в

Чтобы нарисовать фигуру, равную трапеции, изображенной на рисунке «в», на листе бумаги в клетку, следует выполнить следующие действия:

1. Отметьте левую нижнюю вершину в узле сетки. Примем ее за точку с координатами $(0, 0)$.
2. От этой точки отсчитайте 5 клеток вправо и отметьте правую нижнюю вершину в точке $(5, 0)$.
3. От левой нижней вершины $(0, 0)$ отсчитайте 2 клетки вправо и 3 клетки вверх, чтобы отметить левую верхнюю вершину в точке $(2, 3)$.
4. От левой верхней вершины $(2, 3)$ отсчитайте 4 клетки вправо и отметьте правую верхнюю вершину в точке $(6, 3)$.
5. Последовательно соедините отрезками отмеченные вершины, чтобы получить трапецию.

Ответ: Фигура «в» — это трапеция с вершинами в точках с координатами $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(6, 3)$, $(2, 3)$.

364. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.

Для того чтобы вычислить периметр четырёхугольника, необходимо найти длины всех его сторон, а затем сложить их. Периметр обозначается буквой $P$.

Пусть стороны четырёхугольника – это $a$, $b$, $c$ и $d$.

1. Найдём длину второй стороны ($b$)

По условию, первая сторона ($a$) равна 8 см. Вторая сторона ($b$) в 3 раза больше первой.
$b = a \cdot 3 = 8 \text{ см} \cdot 3 = 24 \text{ см}$

2. Найдём длину третьей стороны ($c$)

Третья сторона ($c$) на 7 см меньше второй ($b$).
$c = b - 7 \text{ см} = 24 \text{ см} - 7 \text{ см} = 17 \text{ см}$

3. Найдём длину четвёртой стороны ($d$)

Также в условии сказано, что третья сторона ($c$) на 9 см больше четвёртой ($d$). Это значит, что четвёртая сторона на 9 см меньше третьей.
$d = c - 9 \text{ см} = 17 \text{ см} - 9 \text{ см} = 8 \text{ см}$

4. Вычислим периметр четырёхугольника ($P$)

Периметр равен сумме длин всех сторон.
$P = a + b + c + d = 8 \text{ см} + 24 \text{ см} + 17 \text{ см} + 8 \text{ см} = 57 \text{ см}$

Ответ: 57 см.

365. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.

Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. Пятиугольник имеет пять сторон. Обозначим их длины как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Тогда его периметр $P$ вычисляется по формуле:

$P = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

Для решения задачи сначала найдем длину каждой из пяти сторон, а затем вычислим их сумму.

1. Нахождение длин сторон пятиугольника

Из условия задачи известно, что длина первой стороны равна 4 см, а каждая следующая на 2 см длиннее предыдущей. Рассчитаем длины всех сторон последовательно:

• Первая сторона: $a_1 = 4$ см.
• Вторая сторона: $a_2 = a_1 + 2 = 4 + 2 = 6$ см.
• Третья сторона: $a_3 = a_2 + 2 = 6 + 2 = 8$ см.
• Четвертая сторона: $a_4 = a_3 + 2 = 8 + 2 = 10$ см.
• Пятая сторона: $a_5 = a_4 + 2 = 10 + 2 = 12$ см.

2. Вычисление периметра

Теперь, зная длины всех сторон, найдем их сумму для вычисления периметра:

$P = 4 + 6 + 8 + 10 + 12$

Сложим полученные значения:

$P = (4 + 6) + (8 + 12) + 10 = 10 + 20 + 10 = 40$ см.

Ответ: 40 см.

366. 1) Сколько диагоналей* можно провести из одной вершины:

2) Сколько всего диагоналей можно провести:

1)

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Из любой вершины n-угольника нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам (отрезки к ним являются сторонами). Таким образом, из общего числа вершин $n$ мы вычитаем 3 (саму вершину и две соседние). Формула для расчета количества диагоналей, исходящих из одной вершины: $n-3$.

а) пятиугольника;

У пятиугольника $n=5$. Количество диагоналей, которое можно провести из одной вершины, составляет: $5 - 3 = 2$.

Ответ: 2.

б) девятиугольника;

У девятиугольника $n=9$. Количество диагоналей из одной вершины равно: $9 - 3 = 6$.

Ответ: 6.

в) n-угольника, где n > 3?

Для многоугольника с $n$ вершинами количество диагоналей из одной вершины равно $n-3$.

Ответ: $n-3$.

2)

Чтобы найти общее количество диагоналей в n-угольнике, нужно учесть, что из каждой из $n$ вершин выходит $n-3$ диагонали. Если мы умножим количество вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой, то есть $n \cdot (n-3)$, то каждая диагональ будет посчитана дважды (один раз для каждой из её вершин). Поэтому, чтобы получить верное число, это произведение необходимо разделить на 2. Формула для общего числа диагоналей в n-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

а) в пятиугольнике;

Для пятиугольника $n=5$. Общее число диагоналей равно: $D = \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: 5.

б) в девятиугольнике;

Для девятиугольника $n=9$. Общее число диагоналей равно: $D = \frac{9 \cdot (9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

Ответ: 27.

в) в n-угольнике, где n > 3?

Для n-угольника общее число диагоналей вычисляется по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

367. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно расположить в квадрате со стороной 1 см?

Да, такой многоугольник существует. Чтобы доказать это, можно привести пример его построения. Идея состоит в том, чтобы создать фигуру, которая занимает ограниченную площадь, но имеет очень длинную, извилистую границу.

Рассмотрим квадрат со стороной 1 см. Его периметр равен 4 см, и он, очевидно, помещается в самом себе. Мы можем значительно увеличить его периметр, не выходя за его границы, если сделать одну из его сторон очень "зубчатой".

Построение и расчёт

1. Возьмём за основу квадрат с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Его периметр $P_0 = 4$ см.

2. Заменим его верхнюю сторону (отрезок, соединяющий точки (0,1) и (1,1)) новой ломаной линией. Эта ломаная будет состоять из $N$ одинаковых зубцов, направленных внутрь квадрата.

3. Разделим верхнюю сторону на $N$ равных отрезков длиной $1/N$. Вместо каждого такого горизонтального отрезка мы построим три отрезка: первый — вертикально вниз на длину $h$, второй — горизонтально направо на длину $1/N$, и третий — вертикально вверх на длину $h$.

4. Длина исходной верхней стороны была 1 см. Длина новой "зубчатой" стороны будет суммой длин всех составляющих её отрезков. Длина пути для одного зубца равна $h + 1/N + h = 2h + 1/N$. Поскольку у нас $N$ таких зубцов, общая длина новой верхней стороны составит:$P_{\text{верхняя}} = N \cdot (2h + 1/N) = 2Nh + 1$ см.

5. Новый периметр всего многоугольника будет равен сумме длин трёх старых сторон (нижней и боковых) и одной новой (верхней):$P_{\text{новый}} = 3 \cdot 1 + P_{\text{верхняя}} = 3 + (2Nh + 1) = 4 + 2Nh$.

6. Мы хотим, чтобы новый периметр был равен 1 000 000 см. То есть, $P_{\text{новый}} = 1\;000\;000$.$4 + 2Nh = 1\;000\;000$$2Nh = 999\;996$

7. Теперь нам нужно выбрать подходящие значения для $N$ (количество зубцов) и $h$ (глубина зубцов). Чтобы многоугольник помещался в исходном квадрате, глубина зубцов $h$ не должна превышать 1 см. Давайте выберем $h = 0.5$ см (то есть зубцы будут доходить до середины квадрата).

Подставим это значение в наше уравнение:$2 \cdot N \cdot 0.5 = 999\;996$$N = 999\;996$

Таким образом, мы можем построить многоугольник, у которого три стороны являются сторонами квадрата 1x1 см, а четвёртая сторона заменена на пилообразную линию, состоящую из 999 996 зубцов. Каждый из этих зубцов имеет глубину 0.5 см и ширину $1/999\;996$ см. Этот многоугольник не имеет самопересечений и полностью располагается внутри квадрата со стороной 1 см, а его периметр в точности равен $4 + 2 \cdot 999\;996 \cdot 0.5 = 4 + 999\;996 = 1\;000\;000$ см.

Такая конструкция доказывает, что подобный многоугольник существует.

Ответ: Да, существует.

368. Сравните:

1) 3986 г и 4 кг;

2) 6 м и 712 см;

3) 60 см и 602 мм;

4) 999 кг и 10 ц.

Чтобы сравнить значения, выраженные в разных единицах измерения, необходимо привести их к одной общей единице.

1) 3986 г и 4 кг

Переведем килограммы в граммы. Мы знаем, что в одном килограмме содержится 1000 граммов.

$4 \text{ кг} = 4 \times 1000 \text{ г} = 4000 \text{ г}$

Теперь сравним полученное значение с первым значением: $3986 \text{ г}$ и $4000 \text{ г}$.

Поскольку $3986 < 4000$, то $3986 \text{ г} < 4000 \text{ г}$.

Следовательно, $3986 \text{ г} < 4 \text{ кг}$.

Ответ: $3986 \text{ г} < 4 \text{ кг}$.

2) 6 м и 712 см

Переведем метры в сантиметры. Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров.

$6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$

Теперь сравним полученное значение со вторым значением: $600 \text{ см}$ и $712 \text{ см}$.

Поскольку $600 < 712$, то $600 \text{ см} < 712 \text{ см}$.

Следовательно, $6 \text{ м} < 712 \text{ см}$.

Ответ: $6 \text{ м} < 712 \text{ см}$.

3) 60 см и 602 мм

Переведем сантиметры в миллиметры. Мы знаем, что в одном сантиметре содержится 10 миллиметров.

$60 \text{ см} = 60 \times 10 \text{ мм} = 600 \text{ мм}$

Теперь сравним полученное значение со вторым значением: $600 \text{ мм}$ и $602 \text{ мм}$.

Поскольку $600 < 602$, то $600 \text{ мм} < 602 \text{ мм}$.

Следовательно, $60 \text{ см} < 602 \text{ мм}$.

Ответ: $60 \text{ см} < 602 \text{ мм}$.

4) 999 кг и 10 ц

Переведем центнеры (ц) в килограммы. Мы знаем, что в одном центнере содержится 100 килограммов.

$10 \text{ ц} = 10 \times 100 \text{ кг} = 1000 \text{ кг}$

Теперь сравним полученное значение с первым значением: $999 \text{ кг}$ и $1000 \text{ кг}$.

Поскольку $999 < 1000$, то $999 \text{ кг} < 1000 \text{ кг}$.

Следовательно, $999 \text{ кг} < 10 \text{ ц}$.

Ответ: $999 \text{ кг} < 10 \text{ ц}$.

369. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) $(636 + 927) + 364;$

2) $(425 + 798) + 675;$

3) $212 + 493 + 788 + 807;$

4) $161 + 455 + 839 + 945.$

1) Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами сложения. Это позволяет менять слагаемые местами и группировать их в любом порядке. В выражении $(636 + 927) + 364$ сгруппируем слагаемые 636 и 364, так как их сумма является круглым числом.
$(636 + 927) + 364 = (636 + 364) + 927$
Вычислим сумму в скобках:
$636 + 364 = 1000$
Теперь прибавим оставшееся слагаемое:
$1000 + 927 = 1927$
Ответ: 1927

2) В выражении $(425 + 798) + 675$ также изменим порядок вычислений, чтобы упростить сложение. Сгруппируем 425 и 675, потому что сумма их последних цифр ($5+5=10$) дает 0, что упрощает расчет.
$(425 + 798) + 675 = (425 + 675) + 798$
Найдем сумму в скобках:
$425 + 675 = 1100$
Прибавим к результату 798:
$1100 + 798 = 1898$
Ответ: 1898

3) В сумме $212 + 493 + 788 + 807$ четыре слагаемых. Найдем пары чисел, которые в сумме дают круглые числа. Удобно сложить 212 и 788 (так как $2+8=10$), а также 493 и 807 (так как $3+7=10$).
$212 + 493 + 788 + 807 = (212 + 788) + (493 + 807)$
Вычислим суммы в каждой паре:
$212 + 788 = 1000$
$493 + 807 = 1300$
Теперь сложим полученные результаты:
$1000 + 1300 = 2300$
Ответ: 2300

4) В выражении $161 + 455 + 839 + 945$ также сгруппируем слагаемые для удобства вычислений. Сложим 161 и 839 (так как $1+9=10$) и отдельно 455 и 945 (так как $5+5=10$).
$161 + 455 + 839 + 945 = (161 + 839) + (455 + 945)$
Вычислим сумму в первой паре:
$161 + 839 = 1000$
Вычислим сумму во второй паре:
$455 + 945 = 1400$
Сложим полученные суммы:
$1000 + 1400 = 2400$
Ответ: 2400

370. Высота самой высокой горы Западной Европы Монблан равна 4810 м. Она на 2150 м ниже самой высокой горы Южной Америки Аконкагуа, которая на 770 м выше самой высокой горы Северной Америки Денали. Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали? Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест), если она на 2953 м выше горы Килиманджаро?

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления последовательно, находя высоту каждой следующей горы на основе высоты предыдущей.

1. Найдём высоту горы Аконкагуа.

Высота горы Монблан составляет 4810 м, что на 2150 м ниже, чем гора Аконкагуа. Это означает, что Аконкагуа выше Монблана на 2150 м. Чтобы найти её высоту, нужно сложить высоту Монблана и разницу в высоте.

$4810 + 2150 = 6960$ м.

Таким образом, высота горы Аконкагуа — 6960 м.

2. Найдём высоту горы Денали.

Высота горы Аконкагуа (6960 м) на 770 м выше горы Денали. Следовательно, высота Денали на 770 м меньше высоты Аконкагуа. Чтобы найти высоту Денали, нужно из высоты Аконкагуа вычесть разницу.

$6960 - 770 = 6190$ м.

Таким образом, высота горы Денали — 6190 м.

Теперь мы можем ответить на главные вопросы задачи.

Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали?

Высота горы Килиманджаро на 295 м ниже высоты горы Денали (6190 м). Вычисляем её высоту:

$6190 - 295 = 5895$ м.

Ответ: высота самой высокой горы Африки Килиманджаро равна 5895 м.

Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест), если она на 2953 м выше горы Килиманджаро?

Высота горы Джомолунгма на 2953 м выше высоты горы Килиманджаро (5895 м). Вычисляем её высоту:

$5895 + 2953 = 8848$ м.

Ответ: высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест) равна 8848 м.