Номер 366, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 14. Многоугольники. Равные фигуры. Упражнения - номер 366, страница 96.

Условие.

366. 1) Сколько диагоналей* можно провести из одной вершины:

а) пятиугольника; б) девятиугольника; в) $n$-угольника, где $n > 3$?

2) Сколько всего диагоналей можно провести:

а) в пятиугольнике; б) в девятиугольнике; в) в $n$-угольнике, где $n > 3$?

Решение.

Решение 2.

1)

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Из любой вершины n-угольника нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним вершинам (отрезки к ним являются сторонами). Таким образом, из общего числа вершин $n$ мы вычитаем 3 (саму вершину и две соседние). Формула для расчета количества диагоналей, исходящих из одной вершины: $n-3$.

а) пятиугольника;

У пятиугольника $n=5$. Количество диагоналей, которое можно провести из одной вершины, составляет: $5 - 3 = 2$.

Ответ: 2.

б) девятиугольника;

У девятиугольника $n=9$. Количество диагоналей из одной вершины равно: $9 - 3 = 6$.

Ответ: 6.

в) n-угольника, где n > 3?

Для многоугольника с $n$ вершинами количество диагоналей из одной вершины равно $n-3$.

Ответ: $n-3$.

2)

Чтобы найти общее количество диагоналей в n-угольнике, нужно учесть, что из каждой из $n$ вершин выходит $n-3$ диагонали. Если мы умножим количество вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой, то есть $n \cdot (n-3)$, то каждая диагональ будет посчитана дважды (один раз для каждой из её вершин). Поэтому, чтобы получить верное число, это произведение необходимо разделить на 2. Формула для общего числа диагоналей в n-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

а) в пятиугольнике;

Для пятиугольника $n=5$. Общее число диагоналей равно: $D = \frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

Ответ: 5.

б) в девятиугольнике;

Для девятиугольника $n=9$. Общее число диагоналей равно: $D = \frac{9 \cdot (9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

Ответ: 27.

в) в n-угольнике, где n > 3?

Для n-угольника общее число диагоналей вычисляется по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.