Номер 367, страница 96 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 14. Многоугольники. Равные фигуры. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 367, страница 96.

367. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно расположить в квадрате со стороной 1 см?

Да, такой многоугольник существует. Чтобы доказать это, можно привести пример его построения. Идея состоит в том, чтобы создать фигуру, которая занимает ограниченную площадь, но имеет очень длинную, извилистую границу.

Рассмотрим квадрат со стороной 1 см. Его периметр равен 4 см, и он, очевидно, помещается в самом себе. Мы можем значительно увеличить его периметр, не выходя за его границы, если сделать одну из его сторон очень "зубчатой".

Построение и расчёт

1. Возьмём за основу квадрат с вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1) и (0,1). Его периметр $P_0 = 4$ см.

2. Заменим его верхнюю сторону (отрезок, соединяющий точки (0,1) и (1,1)) новой ломаной линией. Эта ломаная будет состоять из $N$ одинаковых зубцов, направленных внутрь квадрата.

3. Разделим верхнюю сторону на $N$ равных отрезков длиной $1/N$. Вместо каждого такого горизонтального отрезка мы построим три отрезка: первый — вертикально вниз на длину $h$, второй — горизонтально направо на длину $1/N$, и третий — вертикально вверх на длину $h$.

4. Длина исходной верхней стороны была 1 см. Длина новой "зубчатой" стороны будет суммой длин всех составляющих её отрезков. Длина пути для одного зубца равна $h + 1/N + h = 2h + 1/N$. Поскольку у нас $N$ таких зубцов, общая длина новой верхней стороны составит:$P_{\text{верхняя}} = N \cdot (2h + 1/N) = 2Nh + 1$ см.

5. Новый периметр всего многоугольника будет равен сумме длин трёх старых сторон (нижней и боковых) и одной новой (верхней):$P_{\text{новый}} = 3 \cdot 1 + P_{\text{верхняя}} = 3 + (2Nh + 1) = 4 + 2Nh$.

6. Мы хотим, чтобы новый периметр был равен 1 000 000 см. То есть, $P_{\text{новый}} = 1\;000\;000$.$4 + 2Nh = 1\;000\;000$$2Nh = 999\;996$

7. Теперь нам нужно выбрать подходящие значения для $N$ (количество зубцов) и $h$ (глубина зубцов). Чтобы многоугольник помещался в исходном квадрате, глубина зубцов $h$ не должна превышать 1 см. Давайте выберем $h = 0.5$ см (то есть зубцы будут доходить до середины квадрата).

Подставим это значение в наше уравнение:$2 \cdot N \cdot 0.5 = 999\;996$$N = 999\;996$

Таким образом, мы можем построить многоугольник, у которого три стороны являются сторонами квадрата 1x1 см, а четвёртая сторона заменена на пилообразную линию, состоящую из 999 996 зубцов. Каждый из этих зубцов имеет глубину 0.5 см и ширину $1/999\;996$ см. Этот многоугольник не имеет самопересечений и полностью располагается внутри квадрата со стороной 1 см, а его периметр в точности равен $4 + 2 \cdot 999\;996 \cdot 0.5 = 4 + 999\;996 = 1\;000\;000$ см.

Такая конструкция доказывает, что подобный многоугольник существует.

Ответ: Да, существует.